第三節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 考綱傳真1.會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決(對應(yīng)學(xué)生用書第83頁) 基礎(chǔ)知識填充1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC>0直線AxByC0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2. 線性規(guī)劃中的相關(guān)概念名稱意義線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題知識拓展確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域的位置把二元一次不等式AxByC0(0)表示為ykxb或ykxb的形式若ykxb，則平面區(qū)域?yàn)橹本€AxByC0的上方，若ykxb，則平面區(qū)域?yàn)橹本€AxByC0的下方基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)不等式AxByC>0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一()(3)目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()(4)不等式x2y2<0表示的平面區(qū)域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域()答案(1)×(2)(3)×(4)2(教材改編)不等式組表示的平面區(qū)域是()Cx3y6<0表示直線x3y60左上方的平面區(qū)域，xy20表示直線xy20及其右下方的平面區(qū)域，故選C3(20xx·全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則zxy的最大值為()A0B1C2D3D根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示，由zxy得yxz.作出直線yx，并平移該直線，當(dāng)直線yxz過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值由圖知A(3,0)，故zmax303.故選D4(20xx·保定調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P(m,1)到直線4x3y10的距離為4，且點(diǎn)P(m,1)在不等式2xy3表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090190】6由題意得4及2m13，解得m6.5在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_1不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示，由x1，xy0得A(1，1)，由x1，xy40得B(1，3)，由xy0，xy40得C(2，2)，|AB|2，SABC×2×11.(對應(yīng)學(xué)生用書第84頁)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)(20xx·浙江高考)若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是()ABCD(2)(20xx·衡水中學(xué)調(diào)研)若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是()Aa<5Ba7 C5a<7Da<5或a7(1)B(2)C(1)根據(jù)約束條件作出可行域如圖陰影部分，當(dāng)斜率為1的直線分別過A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)滿足條件，聯(lián)立方程組求得A(1,2)，聯(lián)立方程組求得B(2,1)，可求得分別過A，B點(diǎn)且斜率為1的兩條直線方程為xy10和xy10，由兩平行線間的距離公式得距離為，故選B(2)如圖，當(dāng)直線ya位于直線y5和y7之間(不含y7)時(shí)滿足條件，故選C規(guī)律方法1.可用“直線定界、特殊點(diǎn)定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面區(qū)域，若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選取原點(diǎn)2不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的交集，畫出圖形后，面積關(guān)系結(jié)合平面幾何知識求解變式訓(xùn)練1(1)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090191】(2)(20xx·濰坊模擬)已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為3，則實(shí)數(shù)k的值為_(1)4(2)(1)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分由得A(0,2)，B(2,0)，C(8，2)直線x2y40與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,0)因此SABCSABDSBCD×2×2×2×24.(2)直線kxy20恒過點(diǎn)(0,2)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，則A(2,2k2)，B(2,0)，C(0,2)，由題意知×2×(2k2)3，解得k.簡單的線性規(guī)劃問題角度1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值(1)(20xx·全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是()A15B9 C1D9(2)(20xx·福州質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足且數(shù)列4x，z,2y為等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)z的最大值是_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090192】(1)A(2)3(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示將目標(biāo)函數(shù)z2xy化為y2xz，作出直線y2x并平移，當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A(6，3)時(shí)，z取最小值，且zmin2×(6)315.故選A(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橐裕?1,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界)，又由題意易得z2xy，所以當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z2xy經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(1,1)時(shí)，z2xy取得最大值zmax2×113.角度2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值(1)(20xx·山東高考)若變量x，y滿足則x2y2的最大值是 () 【導(dǎo)學(xué)號：00090193】A4B9C10D12(2)(20xx·湖北七市4月聯(lián)考)若變量x，y滿足約束條件則z的取值范圍是_(1)C(2)(1)作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示x2y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由得A(3，1)，由圖易得(x2y2)max|OA|232(1)210.故選C(2)作出不等式組所表示的區(qū)域，如圖中ABC所表示的區(qū)域(含邊界)，其中點(diǎn)A(1,1)，B(1，1)，C.z表示ABC區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)M(2,0)的連線的斜率，顯然kMAzkMB，即z，化簡得1z.角度3線性規(guī)劃中的參數(shù)問題(20xx·河北石家莊質(zhì)檢)已知x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zymx(m>0)的最大值為1，則m的值是()AB1 C2D5B作出可行域，如圖所示的陰影部分m>0，當(dāng)zymx經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取最大值，由解得即A(1,2)，2m1，解得m1.故選B規(guī)律方法1.求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一作圖、二平移、三求值其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義2常見的目標(biāo)函數(shù)有：(1)截距型：形如zaxby.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)常將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值(2)距離型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.易錯(cuò)警示：注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用(20xx·天津高考)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元分別用x，y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)(1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤解(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分5分(2)設(shè)利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z2x3y.考慮z2x3y，將它變形為yx，它的圖像是斜率為，隨z變化的一族平行直線，為直線在y軸上的截距，當(dāng)取最大值時(shí)，z的值最大根據(jù)x，y滿足的約束條件，由圖可知，當(dāng)直線z2x3y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大7分解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20,24)，所以zmax2×203×24112.答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時(shí)利潤最大，且最大利潤為112萬元.12分規(guī)律方法1.解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟(1)轉(zhuǎn)化設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題；(2)求解解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題；(3)作答將數(shù)學(xué)問題的答案還原為實(shí)際問題的答案2解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件；寫出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題變式訓(xùn)練2(20xx·全國卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元216 000設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A為x件，產(chǎn)品B為y件，則目標(biāo)函數(shù)z2 100x900y.作出可行域?yàn)閳D中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，圖中陰影四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)當(dāng)直線z2 100x900y經(jīng)過點(diǎn)(60,100)時(shí)，z取得最大值，zmax2 100×60900×100216 000(元)