第二節(jié)基本不等式考綱傳真1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題(對應學生用書第81頁) 基礎知識填充1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號(3)稱為正數(shù)a，b的算術平均數(shù).稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)2幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR當且僅當ab時，取等號)；(2)2(a，b同號且不為零，當且僅當ab時，取等號)；(3)ab2(a，bR，當且僅當ab時，取等號)；(4)2(a，bR，當且僅當ab時，取等號)3利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果xy是定值s，那么當且僅當xy時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)yx的最小值是2.()(2)函數(shù)f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)x>0，y>0是2的充要條件()(4)若a>0，則a3的最小值為2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2若a，bR，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()Aa2b2>2abBab2C>D2Da2b22ab(ab)20，A錯誤；對于B，C，當a<0，b<0時，明顯錯誤對于D，ab>0，22.3(20xx·福州模擬)若直線1(a0，b0)過點(1,1)，則ab的最小值等于()A2B3C4D5C因為直線1(a0，b0)過點(1,1)，所以1.所以ab(ab)·2224，當且僅當ab2時取“”，故選C4若函數(shù)f(x)x(x>2)在xa處取最小值，則a等于()A1B1 C3D4C當x>2時，x2>0，f(x)(x2)2224，當且僅當x2(x>2)，即x3時取等號，即當f(x)取得最小值時，x3，即a3，選C5(教材改編)若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2. 【導學號：00090198】25設矩形的一邊為x m，矩形場地的面積為y，則另一邊為×(202x)(10x)m，則yx(10x)225，當且僅當x10x，即x5時，ymax25.(對應學生用書第81頁)直接法或配湊法求最值(1)(20xx·湖南高考)若實數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()AB2C2D4(2)已知x，則f(x)4x2的最大值為_(1)C(2)1(1)由知a>0，b>0，所以2，即ab2，當且僅當即a，b2時取“”，所以ab的最小值為2.(2)因為x，所以54x0，則f(x)4x2323231.當且僅當54x，即x1時，等號成立故f(x)4x2的最大值為1.規(guī)律方法(1)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件(2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式變式訓練1(1)若函數(shù)f(x)x(x2)在xa處取最小值，則a等于()A1B1C3D4(2)(20xx·平頂山模擬)若對于任意的x0，不等式a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()AaBaCaDa(1)C(2)A(1)當x2時，x20，f(x)(x2)2224，當且僅當x2(x2)，即x3時取等號，即當f(x)取得最小值時，即a3，選C(2)由x0，得，當且僅當x1時，等號成立則a，故選A常數(shù)代換法或消元法求最值(1)(20xx·河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬)已知正實數(shù)x，y滿足2xy2，則的最小值為_(2)(20xx·鄭州模擬)已知正數(shù)x，y滿足x22xy30，則2xy的最小值是_ 【導學號：00090199】(1)(2)3(1)正實數(shù)x，y滿足2xy2，則(2xy)，當且僅當xy時取等號的最小值為.(2)由x22xy30得yx，則2xy2xx23，當且僅當x1時，等號成立，所以2xy的最小值為3.規(guī)律方法條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，然后代入代數(shù)式轉化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解易錯警示：(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應用條件；(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致變式訓練2(1)已知x0，y0且xy1，則的最小值為_(2)(20xx·淮北模擬)已知正數(shù)x，y滿足x2yxy0，則x2y的最小值為()A8B4C2D0(1)18(2)A(1)因為x0，y0，且xy1，所以(xy)1010218，當且僅當，即x2y時等號成立，所以當x，y時，有最小值18.(2)法一：(常數(shù)代換法)由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y(x2y)×4448.法二：(不等式法)由x0，y0得x2yxy·2即(x2y)28(x2y)0解得x2y8或x2y0(舍去)從而x2y的最小值為8.基本不等式的實際應用運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50x100(單位：千米/時)假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時14元(1)求這次行車總費用y關于x的表達式；(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值. 【導學號：00090200】解(1)設所用時間為t(h)，y×2×14×，x50,100.2分所以這次行車總費用y關于x的表達式是yx，x.(或yx，x).5分(2)yx26 ，當且僅當x，即x18，等號成立.8分故當x18千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26元.12分規(guī)律方法1.設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)2根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值3在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解變式訓練3某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長l(單位：米)的值有關，其公式為F.(1)如果不限定車型，l6.05，則最大車流量為_輛/時；(2)如果限定車型，l5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加_輛/時. 【導學號：00090201】(1)1 900(2)100(1)當l6.05時，F(xiàn)，F(xiàn)1 900，當且僅當v，即v11時取“”最大車流量F為1 900輛/時(2)當l5時，F(xiàn)，F(xiàn)2 000，當且僅當v，即v10時取“”最大車流量比(1)中的最大車流量增加2 0001 900100輛/時