第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系考綱傳真1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩平行直線間的距離(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第112頁) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1l2.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1·k21.當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1l2.2兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解若方程組有唯一解，則兩直線相交；若方程組無解，則兩條直線平行；若方程組有無數(shù)個(gè)解，則兩條直線重合3距離P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2|P1P2|點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d平行線AxByC10與AxByC20間的距離d知識(shí)拓展1直線系方程(1)與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC)(2)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAyn0(nR)2兩直線平行或重合的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20平行或重合的充要條件是A1B2A2B10.3兩直線垂直的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20垂直的充要條件是A1A2B1B20.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(3)點(diǎn)P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()(4)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A1A2B1B20.()(5)若點(diǎn)P，Q分別是兩條平行線l1，l2上的任意一點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)的最小距離就是兩條平行線的距離()答案(1)×(2)×(3)×(4)(5)2(教材改編)已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：xy30的距離為1，則a等于()AB2C1D1C由題意得1，即|a1|，又a>0，a1.3直線l：(a2)x(a1)y60，則直線l恒過定點(diǎn)_(2，2)直線l的方程變形為a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直線l恒過定點(diǎn)(2，2)4已知直線l1：ax(3a)y10，l2：x2y0.若l1l2，則實(shí)數(shù)a的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090269】2由2，得a2.5已知直線3x4y30與直線6xmy140平行，則它們之間的距離是_2，m8，直線6xmy140可化為3x4y70，兩平行線之間的距離d2.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第113頁)兩條直線的平行與垂直(1)設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件(2)(20xx·濰坊模擬)過點(diǎn)(1,3)且垂直于直線x2y30的直線方程為()A2xy10B2xy50Cx2y50Dx2y70(1)A(2)A(1)當(dāng)a1時(shí)，顯然l1l2，若l1l2，則a(a1)2×10，所以a1或a2.所以a1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件(2)直線x2y30的斜率為，從而所求直線的斜率為2.又直線過點(diǎn)(1,3)，所以所求直線的方程為y32(x1)，即2xy10.規(guī)律方法1.判斷直線間的位置關(guān)系，要注意直線方程中字母參數(shù)取值的影響，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，還要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件2在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論，可避免討論另外當(dāng)A2B2C20時(shí)，比例式與，的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時(shí)，有時(shí)比較方便變式訓(xùn)練1已知過點(diǎn)A(2，m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1，直線2xy10為l2，直線xny10為l3.若l1l2，l2l3，則實(shí)數(shù)mn的值為()A10B2C0D8Al1l2，kAB2，解得m8.又l2l3，×(2)1，解得n2，mn10.兩直線的交點(diǎn)與距離問題(1)直線l過點(diǎn)P(1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(4,5)的距離相等，則直線l的方程為_(2)過點(diǎn)P(3,0)作一直線l，使它被兩直線l1：2xy20和l2：xy30所截的線段AB以P為中點(diǎn)，求此直線l的方程(1)x3y50或x1法一：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由題意知，即|3k1|3k3|，k，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x1，也符合題意法二：當(dāng)ABl時(shí)，有kkAB，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為(1,4)，直線l的方程為x1.故所求直線l的方程為x3y50或x1.(2)設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0，y0)，則直線l與l2的交點(diǎn)B(6x0，y0)，2分由題意知解得6分即A，從而直線l的斜率k8，10分直線l的方程為y8(x3)，即8xy240.12分規(guī)律方法1.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程；也可利用過交點(diǎn)的直線系方程，再求參數(shù)2利用距離公式應(yīng)注意：點(diǎn)P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等變式訓(xùn)練2(1)已知直線ykx2k1與直線yx2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090270】(2)(20xx·石家莊模擬)若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2間的距離為_(1)(2)法一：由方程組解得(若2k10，即k，則兩直線平行)交點(diǎn)坐標(biāo)為.又交點(diǎn)位于第一象限，解得k.法二：如圖，已知直線yx2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4,0)，B(0,2)而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2)，表示這是一條過定點(diǎn)P(2,1)，斜率為k的動(dòng)直線兩直線的交點(diǎn)在第一象限，兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn))，動(dòng)直線的斜率k需滿足kPAkkPBkPA，kPB.k.(2)由a(a2)3得a3或a1，經(jīng)檢驗(yàn)a3時(shí)兩直線重合，因此a1，此時(shí)l1的方程為xy60，l2的方程為xy0，兩條直線間的距離為d.對(duì)稱問題(1)平面直角坐標(biāo)系中直線y2x1關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的直線l方程是_(2)光線從A(4，2)點(diǎn)射出，到直線yx上的B點(diǎn)后被直線yx反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)D(1,6)，則BC所在的直線方程是_(1)y2x3(2)10x3y80(1)法一：在直線l上任取一點(diǎn)P(x，y)，其關(guān)于點(diǎn)(1,1)的對(duì)稱點(diǎn)P(2x,2y)必在直線y2x1上，2y2(2x)1，即2xy30.因此，直線l的方程為y2x3.法二：由題意，l與直線y2x1平行，設(shè)l的方程為2xyc0(c1)，則點(diǎn)(1,1)到兩平行線的距離相等，解得c3.因此所求直線l的方程為y2x3.法三：在直線y2x1上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0,1)，B(1,3)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)M(2,1)，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)N(1，1)由兩點(diǎn)式求出對(duì)稱直線MN的方程為，即y2x3.(2)作出草圖，如圖所示，設(shè)A關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為A，D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，則易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直線經(jīng)過點(diǎn)B與C故BC所在的直線方程為，即10x3y80.母題探究1在題(1)中“將結(jié)論”改為“求點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y2x1的對(duì)稱點(diǎn)”，則結(jié)果如何？解設(shè)點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y2x1的對(duì)稱點(diǎn)為A(a，b)，2分則AA的中點(diǎn)為，4分所以解得10分故點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y2x1的對(duì)稱點(diǎn)為.12分母題探究2在題(1)中“關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱”改為“關(guān)于直線xy0對(duì)稱”，則結(jié)果如何？解在直線y2x1上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0,1)，B(1,3)，則點(diǎn)A關(guān)于直線xy0的對(duì)稱點(diǎn)為M(1,0)，點(diǎn)B關(guān)于直線xy0的對(duì)稱點(diǎn)為N(3,1)，6分根據(jù)兩點(diǎn)式，得所求直線的方程為，即x2y10.12分規(guī)律方法1.第(1)題求解的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將直線關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱2解決軸對(duì)稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)問題，關(guān)鍵是要抓住兩點(diǎn)，一是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是以已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上變式訓(xùn)練3(1)(20xx·廣州模擬)直線x2y10關(guān)于直線xy20對(duì)稱的直線方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30Dx2y30(2)直線l1：3xy10與直線l2：3xy70關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為_ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090271】(1)B(2)3xy40(1)由題意得直線x2y10與直線xy20的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)在直線x2y10上取點(diǎn)A(1,0)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于直線xy20的對(duì)稱點(diǎn)為B(m，n)，則解得故所求直線的方程為，即2xy10.(2)由題意知l1l2，設(shè)直線l的方程為3xym0，則，即|m1|m7|解得m4，故直線l的方程為3xy40