熱點(diǎn)探究課(五)平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第128頁(yè))命題解讀圓錐曲線(xiàn)是平面解析幾何的核心內(nèi)容，每年高考必考一道解答題，常以求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問(wèn)題為主這些試題的命制有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是起點(diǎn)低，但在第(2)問(wèn)或第(3)問(wèn)中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)考生解決問(wèn)題的能力要求較高，通常作為壓軸題的形式出現(xiàn)熱點(diǎn)1圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程在高考中占有十分重要的地位一般地，求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為解答題中考查“直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)”的第一小題，最常用的方法是定義法與待定系數(shù)法離心率是高考對(duì)圓錐曲線(xiàn)考查的另一重點(diǎn)，涉及a，b，c三者之間的關(guān)系另外拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)也是命題的熱點(diǎn)(20xx太原模擬)如圖1，橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線(xiàn)交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQPF1.圖1(1)若|PF1|2，|PF2|2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|PF1|PQ|，求橢圓的離心率e.解(1)由橢圓的定義，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2.3分即c，從而b1，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.5分(2)連接F1Q，如圖，由橢圓的定義知|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，又|PF1|PQ|PF2|QF2|(2a|PF1|)(2a|QF1|)，可得|QF1|4a2|PF1|. 又因?yàn)镻F1PQ且|PF1|PQ|，所以|QF1|PF1|.8分由可得|PF1|(42)a，從而|PF2|2a|PF1|(22)A由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即(42)2a2(22)2a24c2，10分可得(96)a2c2，即96，因此e.12分規(guī)律方法1.用定義法求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是常用的方法，同時(shí)應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用2圓錐曲線(xiàn)的離心率刻畫(huà)曲線(xiàn)的扁平程度，只需明確a，b，c中任意兩量的關(guān)系都可求出離心率，但一定注意不同曲線(xiàn)離心率取值范圍的限制對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線(xiàn)x24y的焦點(diǎn)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線(xiàn)yx1與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)A，求以A為圓心且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090306】解(1)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)x24y的焦點(diǎn)為(0,1)，所以b1.2分由離心率e，a2b2c21c2，從而得a，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.5分(2)由解得所以點(diǎn)A(2,1).8分因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y1，所以圓的半徑r1(1)2，所以圓的方程為(x2)2(y1)24.12分熱點(diǎn)2圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題定點(diǎn)、定值問(wèn)題一般涉及曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)、與曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問(wèn)題以及與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的弦長(zhǎng)、面積、橫(縱)坐標(biāo)等的定值問(wèn)題角度1圓錐曲線(xiàn)的定值問(wèn)題(20xx全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)yx2mx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況？說(shuō)明理由；(2)證明過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090307】解(1)不能出現(xiàn)ACBC的情況理由如下：設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿(mǎn)足x2mx20，所以x1x22.2分又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況.4分(2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得BC的中垂線(xiàn)方程為yx2.5分由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂線(xiàn)方程為x.6分聯(lián)立又xmx220，可得8分所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r.10分故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為23，即過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.12分規(guī)律方法1.求定值問(wèn)題的常用方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值2定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題，基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，證明要解決的問(wèn)題與參數(shù)無(wú)關(guān)在這類(lèi)問(wèn)題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的角度2圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)問(wèn)題設(shè)橢圓E：1(a>b>0)的離心率為e，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)是A，若直線(xiàn)l：xmyt0與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，試判定直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)由e2，可得a22b2，2分橢圓方程為1，代入點(diǎn)可得b22，a24，故橢圓E的方程為1.5分(2)由xmyt0得xmyt，把它代入E的方程得(m22)y22mtyt240，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)2t，x1x2(my1t)(my2t)m2y1y2tm(y1y2)t2.8分因?yàn)橐訫N為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，所以AMAN，所以(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y2240.10分因?yàn)镸，N與A均不重合，所以t2，所以t，直線(xiàn)l的方程是xmy，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)T，由于點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部，故滿(mǎn)足判別式大于0，所以直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)T.12分規(guī)律方法1.假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線(xiàn)系或曲線(xiàn)系方程，而該方程與參數(shù)無(wú)關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)2從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意熱點(diǎn)3圓錐曲線(xiàn)中的最值、范圍問(wèn)題圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題大致可分為兩類(lèi)：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問(wèn)題；二是求直線(xiàn)或圓錐曲線(xiàn)中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求解與之有關(guān)的一些問(wèn)題已知橢圓y21上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線(xiàn)ymx對(duì)稱(chēng)圖2(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)由題意知m0，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為yxB由消去y，得x2xb210.2分因?yàn)橹本€(xiàn)yxb與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以2b22>0.將線(xiàn)段AB中點(diǎn)M代入直線(xiàn)方程ymx，解得b.由得m<或m>.故m的取值范圍是.5分(2)令t，則|AB|，且O到直線(xiàn)AB的距離為d.7分設(shè)AOB的面積為S(t)，所以S(t)|AB|d，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即m時(shí)，等號(hào)成立故AOB面積的最大值為.12分規(guī)律方法范圍(最值)問(wèn)題的主要求解方法：(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)或等量關(guān)系，利用判別式、基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知橢圓C：1(a>b>0)的焦距為4，且過(guò)點(diǎn)(，2)(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)橢圓焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求的取值范圍解(1)由橢圓C：1(a>b>0)的焦距為4.得曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)F1(0，2)，F(xiàn)2(0,2).2分又點(diǎn)(，2)在橢圓C上，2a4，所以a2，b2，即橢圓C的方程是1.5分(2)若直線(xiàn)l垂直于x軸，則點(diǎn)E(0,2)，F(xiàn)(0，2)，8.若直線(xiàn)l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為ykx2，點(diǎn)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，將直線(xiàn)l的方程代入橢圓C的方程得到：(2k2)x24kx40，則x1x2，x1x2，8分所以x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)448.10分因?yàn)?<10，所以8<2.綜上可知，的取值范圍是(8,2.12分熱點(diǎn)4圓錐曲線(xiàn)中的探索性問(wèn)題(答題模板)圓錐曲線(xiàn)中的探索性問(wèn)題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)探索點(diǎn)是否存在；(2)探索曲線(xiàn)是否存在；(3)探索命題是否成立涉及這類(lèi)命題的求解主要是研究直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題(本小題滿(mǎn)分12分)(20xx全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C：y與直線(xiàn)l：ykxa(a0)交于M，N兩點(diǎn)(1)當(dāng)k0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線(xiàn)方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有OPMOPN？說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090308】規(guī)范解答(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).1分又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線(xiàn)方程為ya(x2)，即xya0.3分y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線(xiàn)方程為ya(x2)，即xya0.5分故所求切線(xiàn)方程為xya0或xya0.6分(2)存在符合題意的點(diǎn)證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線(xiàn)PM，PN的斜率分別為k1，k2.7分將ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24A8分從而k1k2.10分當(dāng)ba時(shí)，有k1k20，則直線(xiàn)PM的傾斜角與直線(xiàn)PN的傾斜角互補(bǔ)，故OPMOPN，所以點(diǎn)P(0，a)符合題意.12分答題模板第一步：分別求出曲線(xiàn)y在M點(diǎn)，N點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)第二步：利用點(diǎn)斜式分別寫(xiě)出在M點(diǎn)、N點(diǎn)的切線(xiàn)方程第三步：聯(lián)立直線(xiàn)ykxa與拋物線(xiàn)y，并寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系式第四步：由kPMkPN0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，探索點(diǎn)P的坐標(biāo)第五步：檢驗(yàn)反思，查關(guān)鍵點(diǎn)，規(guī)范步驟溫馨提示1.(1)在第(2)問(wèn)中，不能把條件OPMOPN適當(dāng)轉(zhuǎn)化為k1k20，找不到解題的思路和方法，而不能得分(2)運(yùn)算能力差或運(yùn)算不細(xì)心，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤而扣分或者不得分2數(shù)學(xué)閱卷時(shí)，主要看關(guān)鍵步驟、關(guān)鍵點(diǎn)，有則得分，無(wú)則扣分，所以解題時(shí)要寫(xiě)全關(guān)鍵步驟(1)本題的關(guān)鍵點(diǎn)一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程，二是把條件中轉(zhuǎn)化為只需直線(xiàn)PM，PN的斜率之和為0.(2)解析幾何對(duì)運(yùn)算能力要求較高，解題時(shí)一定要細(xì)心準(zhǔn)確，否則可能是思路正確，但是運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤，而不得分對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3如圖3，橢圓E：1(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且1.圖3(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且1，于是解得a2，b.4分所以橢圓E的方程為1.5分(2)當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立得(2k21)x24kx20.8分其判別式(4k)28(2k21)>0，所以x1x2，x1x2.從而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，當(dāng)1時(shí)，23.10分此時(shí)，3為定值當(dāng)直線(xiàn)AB斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB即為直線(xiàn)CD此時(shí)，213.故存在常數(shù)1，使得為定值3.12分