2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué)第二章 2.4A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績XN(110,52)，據(jù)此估計，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)(C)A(90,110B(95,125C(100,120D(105,115解析由于XN(110,52)，110，5.因此考試成績在區(qū)間(105,115，(100,120，(95,125上的概率分別應(yīng)是0.6826,0.9544, 0.9974.由于一共有60人參加考試，成績位于上述三個區(qū)間的人數(shù)分別是：60×0.682641人，60×0.954457人，60×0.997460人故選C2(2016·武漢高二檢測)某班有50名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績N(110,102)，若P(100110)0.34，則估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在120分以上的人數(shù)為(C)A10B9C8D7解析考試的成績服從正態(tài)分布N(110,102)，考試成績的概率分布關(guān)于110對稱，P(100110)0.34，P(120)P(100)(10.34×2)0.16，該班數(shù)學(xué)成績在120分以上的人數(shù)為0.16×508.故選C3如圖是當(dāng)取三個不同值1，2，3時的三種正態(tài)曲線，那么1，2，3的大小關(guān)系是(D)A1>1>2>3>0B0<1<2<1<3C1>2>3>0D0<1<21<3解析由正態(tài)曲線的特點知越大，其最大值越小，所以1<2<3，又，21.故選D4某廠生產(chǎn)的零件外直徑XN(8.0,0.0225)，單位mm，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機取出一個，測得其外直徑分別為7.9mm和7.5mm，則可認(rèn)為(C)A上、下午生產(chǎn)情況均為正常B上、下午生產(chǎn)情況均為異常C上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常D上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常解析根據(jù)3原則，在(83×0.15,83×0.15即(7.55,8.45之外時為異常結(jié)合已知可知上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常5某市進行一次高三教學(xué)質(zhì)量抽樣檢測，考試后統(tǒng)計的所有考生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布已知數(shù)學(xué)成績平均分為90分，60分以下的人數(shù)占10%，則數(shù)學(xué)成績在90分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為(D)A10%B20%C30%D40%解析由條件知90，P(<60)0.1，P(>120)0.1，P(90<120)12P(<60)×(10.2)0.4，故選D6以(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間(，x)內(nèi)取值的概率，若隨機變量服從正態(tài)分布N(，2)，則概率P(|<)等于(B)A()()B(1)(1)CD2()解析設(shè)，則P(|<)P(|<1)P(1<<1)(1)(1)故選B二、填空題7正態(tài)變量的概率密度函數(shù)f(x)e，xR的圖象關(guān)于直線_x3_對稱，f(x)的最大值為.8(2016·宜昌高二檢測)已知隨機變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(<4)0.8，則P(0<<2)等于_0.3_.解析N(2，2)，P(4)1P(<4)0.2.P(0<<2)P(0<<4)×12P(4)×12×0.20.3.9已知正態(tài)分布N(，2)的密度曲線是f(x)e，xR.給出以下四個命題：對任意xR，f(x)f(x)成立；如果隨機變量X服從N(，2)，且F(x)P(X<x)，那么F(x)是R上的增函數(shù)；如果隨機變量X服從N(108,100)，那么X的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是100；隨機變量X服從N(，2)，P(X<1)，P(X>2)p，則P(0<X<2)12p.其中真命題的序號是_.(寫出所有真命題的序號)解析畫出正態(tài)分布N(，2)的密度曲線如下圖：由圖可得：圖象關(guān)于x對稱；故正確；隨著x的增加，F(xiàn)(x)P(X<x)也隨著增加，故正確；如果隨機變量X服從N(108,100)，那么X的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是10；由圖象的對稱性，可得正確，故填：.三、解答題10某個工廠的工人月收入服從正態(tài)分布N(500,202)，該工廠共有1200名工人，試估計月收入在440元以下和560元以上的工人大約有多少？解析設(shè)該工廠工人的月收入為，則N(500,202)，所以500，20，所以月收入在區(qū)間(5003×20,5003×20)內(nèi)取值的概率是0.9974，該區(qū)間即(440,560)因此月收入在440元以下和560元以上的工人大約有1200×(10.9974)1200×0.00263(人)B級素養(yǎng)提升一、選擇題1(2015·湖北理，4)設(shè)XN(1，)，YN(2，)，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示下列結(jié)論中正確的是(C)AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C對任意正數(shù)t，P(Xt)P(Yt)D對任意正數(shù)t，P(Xt)P(Yt)解析由圖象可知1<2，1<2，P(Y2)<P(Y1)，A錯；P(X2)>P(X1)，B錯；對任意實數(shù)t，P(Xt)<P(Yt)，D錯，P(Xt)P(Yt)，C正確，故選C2(2016·黑龍江省龍東南四校高二檢測)隨機變量服從正態(tài)分布N(40，2)，若P(30)0.2，則P(30<<50)(C)A0.2B0.4C0.6D0.8解析根據(jù)題意，由隨機變量服從正態(tài)分布N(40，2)，P(30)0.2，則可知P(30<<50)1P(30)P(50)10.2×20.6，故選C二、填空題3某廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布N(25,0.032)，為使該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有95%以上的合格率，則該廠生產(chǎn)的零件尺寸允許值范圍為_(24.94,25.06)_.解析正態(tài)總體N(25,0.032)在區(qū)間(252×0.03，252×0.03)內(nèi)取值的概率在95%以上，故該廠生產(chǎn)的零件尺寸允許值范圍為(24.94,25.06)4設(shè)某城市居民私家車平均每輛車每月汽油費用為隨機變量(單位為：元)，經(jīng)統(tǒng)計得N(520,14 400)，從該城市私家車中隨機選取容量為10 000的樣本，其中每月汽油費用在(400,640)之間的私家車估計有_6826_輛.(附：若N(，2)，則P(<<)0.6826，P(2<<2)0.9544，P(3<<3)0.9974)解析由已知得：520，120，P(400<<640)P(520120<<520120)0.6826，每月汽油費用在(400,640)之間的私家車估計有：0.6826×100006826.三、解答題5一投資者在兩個投資方案中選擇一個，這兩個投資方案的利潤X(萬元)分別服從正態(tài)分布N(8,32)和N(7,12)，投資者要求“利潤超過5萬元”的概率盡量大，那么他應(yīng)該選擇哪一個方案？解析對于第一個方案有XN(8,32)，其中8，3，P(X>5)P(5<X11)；對于第二個方案有XN(7,12)，其中7，1，P(x>5).顯然第二個方案“利潤超過5萬元”的概率比較大，故他應(yīng)該選擇第二個方案6(2016·天水高二檢測)某市教育局為了了解高三學(xué)生體育達標(biāo)情況，對全市高三學(xué)生進行了體能測試，經(jīng)分析，全市學(xué)生體能測試成績X服從正態(tài)分布N(80，2)(滿分為100分)，已知P(X<75)0.3，P(X95)0.1，現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機抽取三位同學(xué).(1)求抽到的三位同學(xué)該次體能測試成績在區(qū)間80,85)，85,95)，95,100內(nèi)各有一位同學(xué)的概率；(2)記抽到的三位同學(xué)該次體能測試成績在區(qū)間75,85的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望E()解析(1)P(80X<85)P(X75)0.2，P(85X<95)P(X85)P(X95)P(X<75)P(X95)0.30.10.2，所以所求概率PA×0.2×0.2×0.10.024.(2)P(75X85)12P(X<75)0.4，所以服從二項分布B(3,0.4)，P(0)0.630.216，P(1)3×0.4×0.620.432，P(2)3×0.42×0.60.288，P(3)0.430.064，所以隨機變量的分布列是： 0123P0.2160.4320.2880.064E()3×0.41.2(人)C級能力拔高某磚瓦廠生產(chǎn)的磚的抗斷強度X服從正態(tài)分布N(30，0.82)，質(zhì)檢人員從該廠某一天生產(chǎn)的1000塊磚中隨機抽查一塊，測得它的抗斷強度為27.5，你認(rèn)為該廠這一天生產(chǎn)的這批磚是否合格？為什么？解析解決本題的關(guān)鍵是看隨機抽查的一塊磚的抗斷強度是否符合3原則，若符合，則認(rèn)為這批磚合格，否則不合格因為30，0.8，所以容易計算3和3.欲判定這批磚是否合格，關(guān)鍵是看隨機抽查的一塊磚的抗斷強度是在區(qū)間(3，3內(nèi)，還是在區(qū)間(3，3外由于在一次試驗中X落在區(qū)間(3，3內(nèi)的概率為0.9974，故X幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi)于是把30，0.8代入，得3303×0.827.6，3303×0.832.4，即算出的區(qū)間(3，3(27.6,32.4，而27.5(27.6,32.4，所以據(jù)此認(rèn)為這批磚不合格