第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系A(chǔ)組基礎(chǔ)題組1.直線kx+y-2=0(kR)與圓x2+y2+2x-2y+1=0的位置關(guān)系是()A.相交B.相切C.相離D.與k值有關(guān)2.已知圓的方程是x2+y2=1,則在y軸上截距為2的切線方程為()A.y=x+2B.y=-x+2C.y=x+2或y=-x+2D.x=1或y=x+23.若直線y=kx與圓(x-2)2+y2=1的兩個交點(diǎn)關(guān)于直線2x+y+b=0對稱,則k,b的值分別為()A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-44.(20xx山東,7,5分)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22.則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離5.已知圓x2+y2=4,點(diǎn)A(3,0),動點(diǎn)M在圓上運(yùn)動,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OMA的最大值為()A.蟺6B.蟺4C.蟺3D.蟺26.已知圓O:x2+y2=5和點(diǎn)A(1,2),則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于.7.過點(diǎn)(1,2)的直線l將圓(x-2)2+y2=4分成兩段,當(dāng)其中劣弧所對的圓心角最小時,直線l的斜率k=.8.已知直線x-y+a=0與圓心為C的圓x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B兩點(diǎn),且ACBC,則實(shí)數(shù)a的值為.9.(20xx湖南,13,5分)若直線3x-4y+5=0與圓x2+y2=r2(r>0)相交于A,B兩點(diǎn),且AOB=120(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則r=.10.已知點(diǎn)P(2+1,2-2),M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程;(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程,并求出切線長.11.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,-1)并和直線x+y=1相切,且圓心在直線y=-2x上.(1)求圓C的方程;(2)已知直線l經(jīng)過原點(diǎn),并且被圓C截得的弦長為2,求直線l的方程.B組提升題組12.若圓C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(aR)與圓C2:x2+y2-2by-1+b2=0(bR)恰有三條公切線,則a+b的最大值為()A.-32B.-3C.3D.3213.已知AC,BD為圓O:x2+y2=4的兩條互相垂直的弦,且垂足為M(1,2),則四邊形ABCD面積的最大值為()A.5B.10C.15D.2014.圓C:(x-3)2+(y-3)2=9上到直線l:3x+4y-11=0的距離為1的點(diǎn)有個.15.設(shè)m,nR,若直線(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切,則m+n的取值范圍是.16.已知以點(diǎn)Ct,2t(tR,t0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A,與y軸交于點(diǎn)O、B,其中O為原點(diǎn).(1)求證:OAB的面積為定值;(2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M、N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程.17.(20xx湖南東部六校聯(lián)考)已知直線l:4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與l相切,圓心C在x軸上且在直線l的右上方.(1)求圓C的方程;(2)過點(diǎn)M(1,0)的直線與圓C交于A,B兩點(diǎn)(A在x軸上方),問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N,使得x軸平分ANB?若存在,請求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.答案全解全析A組基礎(chǔ)題組1.D圓心為(-1,1),所以圓心到直線的距離為|-k+1-2|1+k2=|k+1|1+k2,所以直線與圓的位置關(guān)系和k值有關(guān),故選D.2.C由題意知切線斜率存在,故設(shè)切線方程為y=kx+2,則2k2+1=1,所以k=1,故所求切線方程為y=x+2或y=-x+2.3.A因為直線y=kx與圓(x-2)2+y2=1的兩個交點(diǎn)關(guān)于直線2x+y+b=0對稱,所以直線y=kx與直線2x+y+b=0垂直,且直線2x+y+b=0過圓心,所以所以k=12,b=-4.4.B由題意知圓M的圓心為(0,a),半徑R=a,因為圓M截直線x+y=0所得線段的長度為22,所以圓心M到直線x+y=0的距離d=|a|2=a2-2(a>0),解得a=2,又知圓N的圓心為(1,1),半徑r=1,所以|MN|=2,則R-r<2<R+r,所以兩圓的位置關(guān)系為相交,故選B.5.C設(shè)|MA|=x(x>0),由題意知|OM|=2,|AO|=3,當(dāng)O、M、A共線時,OMA為0角.當(dāng)O、M、A不共線時,由余弦定理可知cosOMA=4+x2-34x=14x+1x142=12(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立),所以O(shè)MA的最大值為蟺3.6.答案254解析因為點(diǎn)A(1,2)在圓x2+y2=5上,故過點(diǎn)A的圓的切線方程為x+2y=5,令x=0,得y=52;令y=0,得x=5,故所求面積S=12525=254.7.答案22解析(1-2)2+(2)2=3<4,點(diǎn)(1,2)在圓(x-2)2+y2=4的內(nèi)部,當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時,圓心(2,0)與點(diǎn)(1,2)的連線垂直于直線l.2-01-2=-2,所求直線l的斜率k=22.8.答案0或6解析由x2+y2+2x-4y-4=0,得(x+1)2+(y-2)2=9,圓C的圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑為3.由ACBC,知ABC為等腰直角三角形,所以C到直線AB的距離d=322,即|-1-2+a|12+(-1)2=322,所以|a-3|=3,即a=0或a=6.9.答案2解析過O作OCAB于C,則OC=|5|32+(-4)2=1,在RtAOC中,AOC=60,則r=OA=2.10.解析由題意得圓心C(1,2),半徑r=2.(1)(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,點(diǎn)P在圓C上.又kPC=2-2-22+1-1=-1,切線的斜率k=-1kPC=1.過點(diǎn)P的圓C的切線方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.(2)(3-1)2+(1-2)2=5>4,點(diǎn)M在圓C外部.當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時,直線方程為x=3,即x-3=0.又點(diǎn)C(1,2)到直線x-3=0的距離d=3-1=2=r,即此時滿足題意,所以直線x=3是圓的切線.當(dāng)切線的斜率存在時,設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,則圓心C到切線的距離d=|k-2+1-3k|k2+1=r=2,解得k=34.切線方程為y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.綜上可得,過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0.|MC|=(3-1)2+(1-2)2=5,過點(diǎn)M的圓C的切線長為|MC|2-r2=5-4=1.11.解析(1)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,-2a),則(a-2)2+(-2a+1)2=|a-2a-1|2.化簡,得a2-2a+1=0,解得a=1.C(1,-2),半徑r=|AC|=(1-2)2+(-2+1)2=2.圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=2.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=0,此時直線l被圓C截得的弦長為2,滿足條件.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx,由題意得|k+2|1+k2=1,解得k=-34,直線l的方程為y=-34x.綜上所述,直線l的方程為x=0或y=-34x.B組提升題組12.D易知圓C1的圓心為C1(-a,0),半徑為r1=2;圓C2的圓心為C2(0,b),半徑為r2=1.因為兩圓恰有三條公切線,所以兩圓外切,所以|C1C2|=r1+r2,即a2+b2=9.因為a+b22a2+b22,所以a+b32當(dāng)且僅當(dāng)a=b=32時取“=”,所以a+b的最大值為32.13.A如圖,作OPAC于P,OQBD于Q,連OM,則OP2+OQ2=OM2=3,AC2+BD2=4(4-OP2)+4(4-OQ2)=20.又AC2+BD22ACBD,則ACBD10,S四邊形ABCD=12ACBD1210=5,當(dāng)且僅當(dāng)AC=BD=10時等號成立,四邊形ABCD面積的最大值為5.故選A.14.答案3解析圓(x-3)2+(y-3)2=9的圓心為C(3,3),半徑r=3.設(shè)圓心C到直線3x+4y-11=0的距離為d,則d=2<3,r-d=3-2=1.如圖,滿足題意的點(diǎn)有3個,分別為A、B、D(圖中l(wèi)1l,l2l,且l1、l2與l的距離都為1).15.答案(-,2-222+22,+)解析直線與圓相切,圓心到直線的距離d=半徑r,d=|m+1+n+1-2|(m+1)2+(n+1)2=1,整理得m+n+1=mn,又m,nR,有mn(m+n)24,m+n+1(m+n)24,即(m+n)2-4(m+n)-40,解得m+n2-22或m+n2+22.16.解析(1)證明:圓C過原點(diǎn)O,|OC|2=t2+4t2.設(shè)圓C的方程是(x-t)2+y-2t2=t2+4t2,令x=0,得y1=0,y2=4t;令y=0,得x1=0,x2=2t,SOAB=12|OA|OB|=12|2t|4t=4,即OAB的面積為定值.(2)|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,OC垂直平分線段MN.kMN=-2,kOC=12.直線OC的方程是y=12x.2t=12t,解得t=2或t=-2.當(dāng)t=2時,圓心C的坐標(biāo)為(2,1),OC=5,此時圓心C到直線y=-2x+4的距離d=15<5,則圓C與直線y=-2x+4相交于兩點(diǎn).當(dāng)t=-2時,圓心C的坐標(biāo)為(-2,-1),OC=5,此時圓心C到直線y=-2x+4的距離d=95>5,則圓C與直線y=-2x+4相離,t=-2不符合題意,舍去.圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.17.解析(1)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,0)a>-52,則|4a+10|42+32=2a=0或a=-5(舍去).所以圓C:x2+y2=4.(2)存在.當(dāng)直線ABx軸時,對于x軸正半軸上任意點(diǎn)N,x軸都平分ANB.當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由x2+y2=4,y=k(x-1)得,(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,所以x1+x2=2k2k2+1,x1x2=k2-4k2+1.若x軸平分ANB,則kAN=-kBNy1x1-t+y2x2-t=0k(x1-1)x1-t+k(x2-1)x2-t=02x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=02(k2-4)k2+1-2k2(t+1)k2+1+2t=0t=4.所以當(dāng)點(diǎn)N為(4,0)時,能使得ANM=BNM總成立.