精品資料人教版初中數(shù)學(xué)課題22.1 一元二次方程（一）課型新知課教學(xué)目標了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a0）及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單題目 1通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義 2一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念 3解決一些概念性的題目 4態(tài)度、情感、價值觀 4通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情教學(xué)重點一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題教學(xué)難點通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念教具準備教學(xué)過程主要教學(xué)過程個人修改【課堂引入】學(xué)生活動：列方程 問題（1）九章算術(shù)“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？” 大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？ 如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個門的寬為_尺，根據(jù)題意，得_ 整理、化簡，得：_問題（2）如圖，如果，那么點C叫做線段AB的黃金分割點 如果假設(shè)AB=1，AC=x，那么BC=_，根據(jù)題意，得：_ 整理得：_ 問題（3）有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個正方形，那么這個正方形的邊長是多少？ 如果假設(shè)剪后的正方形邊長為x，那么原來長方形長是_，寬是_，根據(jù)題意，得：_ 整理，得：_ 老師點評并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并整理【探索新知】學(xué)生活動：請口答下面問題 （1）上面三個方程整理后含有幾個未知數(shù)？ （2）按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？ （3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？ 老師點評：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號，是方程 因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式 一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項【例題講解】例1將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0）因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等 解：去括號，得： 40-16x-10x+4x2=18 移項，得：4x2-26x+22=0 其中二次項系數(shù)為4，一次項系數(shù)為-26，常數(shù)項為22 例2（學(xué)生活動：請二至三位同學(xué)上臺演練） 將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次項系數(shù)；常數(shù)項 分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a0）的形式 解：去括號，得： x2+2x+1+x2-4=1 移項，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次項2x2，二次項系數(shù)2；一次項2x，一次項系數(shù)2；常數(shù)項-4【隨堂練習(xí)】教材P 練習(xí)1、2【應(yīng)用拓展】例3求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程 分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+170即可 證明：m2-8m+17=（m-4）2+1 （m-4）20 （m-4）2+1>0，即（m-4）2+10 不論m取何值，該方程都是一元二次方程【歸納小結(jié)】本節(jié)課要掌握： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a0）和二次項、二次項系數(shù)，一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項的概念及其它們的運用【課后練習(xí)】教后反思：課題22.1 一元二次方程（二）課型新知課教學(xué)目標了解一元二次方程根的概念，會判定一個數(shù)是否是一個一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問題 提出問題，根據(jù)問題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解；由解給出根的概念；再由根的概念判定一個數(shù)是否是根同時應(yīng)用以上的幾個知識點解決一些具體問題教學(xué)重點判定一個數(shù)是否是方程的根；教學(xué)難點由實際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實際問題的根教具準備教學(xué)過程主要教學(xué)過程個人修改【課堂引入】學(xué)生活動：請同學(xué)獨立完成下列問題問題1如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m，那么梯子的底端距墻多少米？_10_8 設(shè)梯子底端距墻為xm，那么， 根據(jù)題意，可得方程為_ 整理，得_列表：x012345678 問題2一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m，苗圃的長和寬各是多少？ 設(shè)苗圃的寬為xm，則長為_m 根據(jù)題意，得_ 整理，得_列表：x01234567891011【探索新知】提問：（1）問題1中一元二次方程的解是多少？問題2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果拋開實際問題，問題1中還有其它解嗎？問題2呢？ 老師點評：（1）問題1中x=6是x2-36=0的解，問題2中，x=10是x2+2x-120=0的解 （3）如果拋開實際問題，問題（1）中還有x=-6的解；問題2中還有x=-12的解 為了與以前所學(xué)的一元一次方程等只有一個解的區(qū)別，我們稱： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根 回過頭來看：x2-36=0有兩個根，一個是6，另一個是6，但-6不滿足題意；同理，問題2中的x=-12的根也滿足題意因此，由實際問題列出方程并解得的根，并不一定是實際問題的根，還要考慮這些根是否確實是實際問題的解【例題講解】例1下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的兩根 例2你能用以前所學(xué)的知識求出下列方程的根嗎？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 解：（1）移項得x2=64 根據(jù)平方根的意義，得：x=8 即x1=8，x2=-8 （2）移項、整理，得x2=2 根據(jù)平方根的意義，得x= 即x1=，x2=- （3）因為x2-3x=x（x-3） 所以x2-3x=0，就是x（x-3）=0 所以x=0或x-3=0 即x1=0，x2=3【隨堂練習(xí)】 教材P 思考題 練習(xí)1、2【應(yīng)用拓展】例3要剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應(yīng)該怎樣剪？ 設(shè)長為xcm，則寬為（x-5）cm 列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0 請根據(jù)列方程回答以下問題： （1）x可能小于5嗎？可能等于10嗎？說說你的理由（2）完成下表： x1011121314151617x2-5x-150 （3）你知道鐵片的長x是多少嗎？ 解：（1）x不可能小于5理由：如果x<5，則寬（x-5）<0，不合題意 x不可能等于10理由：如果x=10，則面積x2-5x-150=-100，也不可能（2） x 10 11 12 1314151617x2-5x-150-10-84-66-46-2402654 （3）鐵片長x=15cm【歸納小結(jié)】本節(jié)課應(yīng)掌握： （1）一元二次方程根的概念及它與以前的解的相同處與不同處； （2）要會判斷一個數(shù)是否是一元二次方程的根； （3）要會用一些方法求一元二次方程的根【課后練習(xí)】分析：要判定一個數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數(shù)，可用直接觀察結(jié)合平方根的意義分析：x2-5x-150=0與上面兩道例題明顯不同，不能用平方根的意義和八年級上冊的整式中的分解因式的方法去求根，但是我們可以用一種新的方法“夾逼”方法求出該方程的根教后反思：課題22.2.1 直接開平方法課型新知課教學(xué)目標理解一元二次方程“降次”轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題 提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程教學(xué)重點運用開平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；領(lǐng)會降次轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想教學(xué)難點通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n0）的方程教具準備教學(xué)過程主要教學(xué)過程個人修改【課堂引入】學(xué)生活動：請同學(xué)們完成下列各題 問題1填空 （1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2問題2如圖，在ABC中，B=90，點P從點B開始，沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點同時出發(fā)，幾秒后PBQ的面積等于8cm2？老師點評： 問題1：根據(jù)完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 _B_A_Q_P 問題2：設(shè)x秒后PBQ的面積等于8cm2 則PB=x，BQ=2x 依題意，得：x2x=8 x2=8 根據(jù)平方根的意義，得x=2 即x1=2，x2=-2 可以驗證，2和-2都是方程x2x=8的兩根，但是移動時間不能是負值 所以2秒后PBQ的面積等于8cm2【探索新知】上面我們已經(jīng)講了x2=8，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=2，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？ （學(xué)生分組討論） 老師點評：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t+1=2 即2t+1=2，2t+1=-2 方程的兩根為t1=-，t2=-【例題講解】例1：解方程：x2+4x+4=1解：由已知，得：（x+2）2=1 直接開平方，得：x+2=1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的兩根x1=-1，x2=-3 例2市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率 解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x， 則：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接開平方，得1+x=1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因為每年人均住房面積的增長率應(yīng)為正的，因此，x2=-2.2應(yīng)舍去 所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20% （學(xué)生小結(jié)）老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？ 共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”【隨堂練習(xí)】教材P 練習(xí)【應(yīng)用拓展】例3某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？ 解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）當成一個數(shù)，配方得： （1+x+）2=2.56，即（x+）2=256 x+=1.6，即x+=1.6，x+=-1.6 方程的根為x1=10%，x2=-3.1 因為增長率為正數(shù)， 所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%【歸納小結(jié)】由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p0），那么x=轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=，達到降次轉(zhuǎn)化之目的【課后練習(xí)】分析：很清楚，x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為（x+2）2=1分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為x一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 分析：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x，那么二月份的營業(yè)額就應(yīng)該是（1+x），三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長的，應(yīng)是（1+x）2教后反思：課題22.2.2 配方法（一）課型新知課教學(xué)目標理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題 通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p（p0）或（mx+n）2=p（p0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟教學(xué)重點講清“直接降次有困難，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟教學(xué)難點不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧教具準備教學(xué)過程主要教學(xué)過程個人修改【課堂引入】（學(xué)生活動）請同學(xué)們解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 老師點評：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0） 如：4x2+16x+16=（2x+4）2【探索新知】列出下面二個問題的方程并回答： （1）列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三個方程的解法呢？ 問題1：印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調(diào)皮，告我總數(shù)共多少，兩隊猴子在一起” 大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數(shù)是猴子總數(shù)的的平方，另一隊猴子數(shù)是12，那么猴子總數(shù)是多少？你能解決這個問題嗎？問題2：如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路，余下的六個相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2，道路的寬為多少？ 老師點評：問題1：設(shè)總共有x只猴子，根據(jù)題意，得： x=（x）2+12 整理得：x2-64x+768=0 問題2：設(shè)道路的寬為x，則可列方程：（20-x）（32-2x）=500 整理，得：x2-36x+70=0 （1）列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而后二個不具有 （2）不能 既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)化： x2-64x+768=0 移項 x=2-64x=-768兩邊加（）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 x2-64x+322=-768+1024 左邊寫成平方形式 （x-32）2=256 降次x-32=16 即 x-32=16或x-32=-16 解一次方程x1=48，x2=16 可以驗證：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子【例題講解】例1按以上的方程完成x2-36x+70=0的解題 老師點評：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=，x-18=或x-18=-，x134，x22 可以驗證x134，x22都是原方程的根，但x34不合題意，所以道路的寬應(yīng)為2 例2解下列關(guān)于x的方程 （1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0 【隨堂練習(xí)】教材P38 討論改為課堂練習(xí)，并說明理由 教材P39 練習(xí)1 2（1）、（2）【應(yīng)用拓展】例3如圖，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，點P、Q同時由A，B兩點出發(fā)分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半_B_C_Q_P 分析：設(shè)x秒后PCQ的面積為RtABC面積的一半，PCQ也是直角三角形根據(jù)已知列出等式 解：設(shè)x秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半 根據(jù)題意，得：（8-x）（6-x）=86 整理，得：x2-14x+24=0 （x-7）2=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合題意，舍去 所以2秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半【歸納小結(jié)】本節(jié)課應(yīng)掌握： 左邊不含有x的完全平方形式，左邊是非負數(shù)的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負數(shù)，可以直接降次解方程的方程【課后練習(xí)】分析：（1）顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上教后反思：課題22.2.2 配方法（二）課型新知課教學(xué)目標了解配方法的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟 通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運用配方法解決一些具體題目教學(xué)重點講清配方法的解題步驟教學(xué)難點把常數(shù)項移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)是一次項系數(shù)一半的平方教具準備教學(xué)過程主要教學(xué)過程個人修改【課堂引入】 解下列方程： （1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0 解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9 x-4=3即x1=7，x2=1 （2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22 （x+2）2=3即x+2= x1=-2，x2=-2【探索新知】像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法 可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解 例1解下列方程 （1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個含有x的完全平方 解：（1）移項，得：x2+6x=-5 配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=2，即x1=-1，x2=-5 （2）移項，得：2x2+6x=-2 二次項系數(shù)化為1，得：x2+3x=-1 配方x2+3x+（）2=-1+（）2（x+）2= 由此可得x+=，即x1=-，x2=- （3）去括號，整理得：x2+4x-1=0 移項，得x2+4x=1 配方，得（x+2）2=5 x+2=，即x1=-2，x2=-2【隨堂練習(xí)】教材P 練習(xí) 2（3）、（4）、（5）、（6）【應(yīng)用拓展】例2用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6 解：設(shè)6x+7=y 則3x+4=y+，x+1=y- 依題意，得：y2（y+）（y-）=6 去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72， y4-y2=72 （y2-）2= y2-= y2=9或y2=-8（舍） y=3 當y=3時，6x+7=3 6x=-4 x=- 當y=-3時，6x+7=-3 6x=-10 x=- 所以，原方程的根為x1=-，x2=-【歸納小結(jié)】 本節(jié)課應(yīng)掌握： 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟【課后練習(xí)】 答案:一、1D 2B 3B 二、11，-5 2正 3x-y=三、1（1）y2-2y-=0，y2-2y=，（y-1）2=，y-1=，y1=+1，y2=1- （2）x2-2x=-3 （x-）2=0，x1=x2=2（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，原式=3（1）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，則（40-x）（20+2x）=1200，x2-30x+200=0，x1=10，x2=20（2）設(shè)每件襯衫降價x元時，商場平均每天贏利最多為y，則y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2（x-15）2-225+800=-2（x-15）2+1250 -2（x-15）20，x=15時，贏利最多，y=1250元 答：略分析：因為如果展開（6x+7）2，那么方程就變得很復(fù)雜，如果把（6x+7）看為一個數(shù)y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就轉(zhuǎn)化為y的方程，像這樣的轉(zhuǎn)化，我們把它稱為換元法教后反思：課題22.2.3 公式法 課型新知課教學(xué)目標理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程 復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a0）的求根公式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程教學(xué)重點求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用教學(xué)難點一元二次方程求根公式法的推導(dǎo)教具準備教學(xué)過程主要教學(xué)過程個人修改【課堂引入】用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學(xué)生總結(jié)，老師點評） （1）移項； （2）化二次項系數(shù)為1； （3）方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方； （4）原方程變形為（x+m）2=n的形式； （5）如果右邊是非負數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負數(shù)，則一元二次方程無解【探索新知】如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學(xué)獨立完成下面這個問題 問題：已知ax2+bx+c=0（a0）且b2-4ac0，試推導(dǎo)它的兩個根x1=，x2= 解：略 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b-4ac0時，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根 （2）這個式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根【例題講解】例1用公式法解下列方程（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 【隨堂練習(xí)】教材P 練習(xí)1（1）、（3）、（5）【應(yīng)用拓展】例2某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列問題 （1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程 （2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出你能解決這個問題嗎？解：（1）存在根據(jù)題意，得：m2+1=2 m2=1 m=1 當m=1時，m+1=1+1=20 當m=-1時，m+1=-1+1=0（不合題意，舍去） 當m=1時，方程為2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-42（-1）=1+8=9 x= x1=1，x2=- 因此，該方程是一元二次方程時，m=1，兩根x1=1，x2=- （2）存在根據(jù)題意，得：m2+1=1，m2=0，m=0 因為當m=0時，（m+1）+（m-2）=2m-1=-10 所以m=0滿足題意 當m2+1=0，m不存在 當m+1=0，即m=-1時，m-2=-30 所以m=-1也滿足題意 當m=0時，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 當m=-1時，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=- 因此，當m=0或-1時，該方程是一元一次方程，并且當m=0時，其根為x=-1；當m=-1時，其一元一次方程的根為x=-【歸納小結(jié)】本節(jié)課應(yīng)掌握： （1）求根公式的概念及其推導(dǎo)過程； （2）公式法的概念； （3）應(yīng)用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情況【課后練習(xí)】x1=1x2=分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a、b、c也當成一個具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去（1）x1=x2=（2）x1=2，x2=-（3）x1=，x2=無實數(shù)根教后反思：課題22.3 實際問題與一元二次方程(1)課型新知課教學(xué)目標掌握用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決一些具體問題 通過復(fù)習(xí)二元一次方程組等建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實際問題，引入用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實際問題教學(xué)重點用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型教學(xué)難點用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型教具準備教學(xué)過程主要教學(xué)過程個人修改【課堂引入】問題1：列方程解應(yīng)用題下表是某一周甲、乙兩種股票每天每股的收盤價（收盤價：股票每天交易結(jié)果時的價格）：星期一二三四五 甲12元12.5元12.9元12.45元12.75元 乙13.5元13.3元13.9元13.4元13.75元 某人在這周內(nèi)持有若干甲、乙兩種股票，若按照兩種股票每天的收盤價計算（不計手續(xù)費、稅費等），則在他帳戶上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，這人持有的甲、乙股票各多少股？ 老師點評分析：一般用直接設(shè)元，即問什么就設(shè)什么，即設(shè)這人持有的甲、乙股票各x、y張，由于從表中知道每天每股的收盤價，因此，兩種股票當天的帳戶總數(shù)就是x或y乘以相應(yīng)的每天每股的收盤價，再根據(jù)已知的等量關(guān)系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式 解：設(shè)這人持有的甲、乙股票各x、y張 則 解得 答：（略）【探索新知】上面這道題大家都做得很好，這是一種利用二元一次方程組的數(shù)量關(guān)系建立的數(shù)學(xué)模型，那么還有沒有利用其它形式，也就是利用我們前面所學(xué)過的一元二次方程建立數(shù)學(xué)模型解應(yīng)用題呢？請同學(xué)們完成下面問題 （學(xué)生活動）問題2：某工廠第一季度的一月份生產(chǎn)電視機是1萬臺，第一季度生產(chǎn)電視機的總臺數(shù)是3.31萬臺，求二月份、三月份生產(chǎn)電視機平均增長的百分率是多少？ 老師點評分析：直接假設(shè)二月份、三月份生產(chǎn)電視機平均增長率為x因為一月份是1萬臺，那么二月份應(yīng)是（1+x）臺，三月份應(yīng)是在二月份的基礎(chǔ)上以二月份比一月份增長的同樣“倍數(shù)”增長，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易從第一季度總臺數(shù)列出等式 解：設(shè)二月份、三月份生產(chǎn)電視機平均增長的百分率為x，則1+（1+x）+（1+x）2=3.31 去括號：1+1+x+1+2x+x2=3.31 整理，得：x2+3x-0.31=0 解得：x=10% 答：（略） 以上這一道題與我們以前所學(xué)的一元一次、二元一次方程（組）、分式方程等為背景建立數(shù)學(xué)模型是一樣的，而我們借助的是一元二次方程為背景建立數(shù)學(xué)模型來分析實際問題和解決問題的類型【例題講解】例1某電腦公司2001年的各項經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額為200萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共950萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個增長率 分析：設(shè)這個增長率為x，由一月份的營業(yè)額就可列出用x表示的二、三月份的營業(yè)額，又由三月份的總營業(yè)額列出等量關(guān)系 解：設(shè)平均增長率為x 則200+200（1+x）+200（1+x）2=950 整理，得：x2+3x-1.75=0 解得：x=50% 答：所求的增長率為50%【隨堂練習(xí)】（1）某林場現(xiàn)有木材a立方米，預(yù)計在今后兩年內(nèi)年平均增長p%，那么兩年后該林場有木材多少立方米?（2）某化工廠今年一月份生產(chǎn)化工原料15萬噸，通過優(yōu)化管理，產(chǎn)量逐年上升，第一季度共生產(chǎn)化工原料60萬噸，設(shè)二、三月份平均增長的百分率相同，均為x，可列出方程為_【應(yīng)用拓展】例2某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率 分析：設(shè)這種存款方式的年利率為x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x80%；第二次存，本金就變?yōu)?000+2000x80%，其它依此類推 解：設(shè)這種存款方式的年利率為x 則：1000+2000x80%+（1000+2000x8%）x80%=1320 整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去），x2=0.125=12.5%答：所求的年利率是125%【歸納小結(jié)】本節(jié)課應(yīng)掌握： 利用“倍數(shù)關(guān)系”建立關(guān)于一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并利用恰當方法解它【課后練習(xí)】教后反思：課題22.3 實際問題與一元二次方程(2) 課型新知課教學(xué)目標掌握建立數(shù)學(xué)模型以解決如何全面地比較幾個對象的變化狀況的問題復(fù)習(xí)一種對象變化狀況的解題過程，引入兩種或兩種以上對象的變化狀況的解題方法教學(xué)重點如何全面地比較幾個對象的變化狀況教學(xué)難點某些量的變化狀況，不能衡量另外一些量的變化狀況教具準備教學(xué)過程主要教學(xué)過程個人修改【課堂引入】問題：某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價多少元? 解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價x元, 則（0.3-x）（500+）=120 解得：x=0.1 答：每張賀年卡應(yīng)降價0.1元【例題講解】剛才，我們分析了一種賀年卡原來平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了減少庫存降價銷售，并知每降價0.1元，便可多售出100元，為了達到某個目的，每張賀年卡應(yīng)降價多少元?如果本題中有兩種賀年卡或者兩種其它東西，量與量之間又有怎樣的關(guān)系呢?即絕對量與相對量之間的關(guān)系 例1某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進甲、乙兩種賀年卡，甲種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，乙種賀年卡平均每天可售出200張，每張盈利0.75元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果甲種賀年卡的售價每降價0.1元，那么商場平均每天可多售出100張；如果乙種賀年卡的售價每降價0.25元，那么商場平均每天可多售出34張如果商場要想每種賀年卡平均每天盈利120元，那么哪種賀年卡每張降價的絕對量大 解：（1）從“復(fù)習(xí)引入”中，我們可知，商場要想平均每天盈利120元，甲種賀年卡應(yīng)降價0.1元 （2）乙種賀年卡：設(shè)每張乙種賀年卡應(yīng)降價y元， 則：（0.75-y）（200+34）=120 即（-y）（200+136y）=120 整理：得68y2+49y-15=0 y= y-0.98（不符題意，應(yīng)舍去） y0.23元 答：乙種賀年卡每張降價的絕對量大 因此，我們從以上一些絕對量的比較，不能說明其它絕對量或者相對量也有同樣的變化規(guī)律例2兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大? 解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x， 則一年后甲種藥品成本為5000（1-x）元，兩年后甲種藥品成本為5000（1-x）元 依題意，得5000（1-x）2=3000 解得：x10.225，x21.775（不合題意，舍去） 設(shè)乙種藥品成本的平均下降率為y 則：6000（1-y）2=3600 整理，得：（1-y）2=0.6 解得：y0.225 答：兩種藥品成本的年平均下降率一樣大 因此，雖然絕對量相差很多，但其相對量也可能相等【隨堂練習(xí)】新華商場銷售甲、乙兩種冰箱，甲種冰箱每臺進貨價為2500元，市場調(diào)研表明：當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺乙種冰箱每臺進貨價為2000元，市場調(diào)研表明：當銷售價為2500元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降低45元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這兩種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，那么兩種冰箱的定價應(yīng)各是多少?【應(yīng)用拓展】例3某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若每千克50元銷售，一個月能售出500kg，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對這種水產(chǎn)品情況，請解答以下問題： （1）當銷售單價定為每千克55元時，計算銷售量和月銷售利潤 （2）設(shè)銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關(guān)系式 （3）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應(yīng)為多少? 解：（1）銷售量：500-510=450（kg）；銷售利潤：450（55-40）=45015=6750元 （2）y=（x-40）500-10（x-50）=-10x2+1400x-40000 （3）由于水產(chǎn)品不超過1000040=250kg，定價為x元，則（x-400）500-10（x-50）=8000 解得：x1=80，x2=60 當x1=80時，進貨500-10（80-50）=200kg<250kg，滿足題意 當x2=60時，進貨500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）【歸納小結(jié)】本節(jié)課應(yīng)掌握： 建立多種一元二次方程的數(shù)學(xué)建模以解決如何全面地比較幾個對象的變化狀況的問題【課后練習(xí)】老師點評：總利潤=每件平均利潤總件數(shù)設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價x元，則每件平均利潤應(yīng)是（0.3-x）元，總件數(shù)應(yīng)是（500+100）分析：原來，兩種賀年卡平均每天的盈利一樣多，都是150元；，從這些數(shù)目看，好象兩種賀年卡每張降價的絕對量一樣大，下面我們就通過解題來說明這個問題老師點評： 絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）2=1000元，乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3000）2=1200元，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大 相對量：從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢?也就是能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢?下面我們通過計算來說明這個問題教后反思：課題22.3 實際問題與一元二次方程(3)課型新知課教學(xué)目標掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運用它解決實際問題利用提問的方法復(fù)習(xí)幾種特殊圖形的面積公式來引入新課，解決新課中的問題教學(xué)重點根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二元方程的數(shù)學(xué)模型并運用它解決實際問題教學(xué)難點根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型教具準備教學(xué)過程主要教學(xué)過程個人修改【課堂引入】1直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？ 2正方形的面積公式是什么呢？長方形的面積公式又是什么？ 3梯形的面積公式是什么？ 4菱形的面積公式是什么？ 5平行四邊形的面積公式是什么？ 6圓的面積公式是什么？【例題講解】現(xiàn)在，我們根據(jù)剛才所復(fù)習(xí)的面積公式來建立一些數(shù)學(xué)模型，解決一些實際問題 例1某林場計劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m （1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？ （2）如果計劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？ 分析：因為渠深最小，為了便于計算，不妨設(shè)渠深為xm，則上口寬為x+2，渠底為x+0.4，那么，根據(jù)梯形的面積公式便可建模 解：（1）設(shè)渠深為xm 則渠底為（x+0.4）m，上口寬為（x+2）m 依題意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6 整理，得：5x2+6x-8=0 解得：x1=0.8m，x2=-2（舍） 上口寬為2.8m，渠底為1.2m （2）=25天 答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道例2如圖，要設(shè)計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？ 老師點評：依據(jù)題意知：中央矩形的長寬之比等于封面的長寬之比9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：中央矩形的長為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm 因為四周的彩色邊襯所點面積是封面面積的，則中央矩形的面積是封面面積的 所以（27-18x）（21-14x）=2721 整理，得：16x2-48x+9=0 解方程，得：x=， x12.8cm，x20.2 所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm 因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm【鞏固練習(xí)】 有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊臺布的面積是桌面面積的2倍，并且鋪在桌面上時，各邊垂下的長度相同，求臺布的長和寬各是多少?（精確到01尺）【應(yīng)用拓展】 例3如圖（a）、（b）所示，在ABC中B=90，AB=6cm，BC=8cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度運動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度運動 （1）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使SPBQ=8cm2 （2）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進，Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進，經(jīng)過幾秒鐘，使PCQ的面積等于12.6cm2（友情提示：過點Q作DQCB，垂足為D，則：） 分析：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使SPBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面積公式便可得到一元二次方程的數(shù)學(xué)模型 （2）設(shè)經(jīng)過y秒鐘，這里的y>6使PCQ的面積等于12.6cm2因為AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根據(jù)三角形的面積公式即可建模 解：（1）設(shè)x秒，點P在AB上，點Q在BC上，且使PBQ的面積為8cm2 則：（6-x）2x=8 整理，得：x2-6x+8=0 解得：x1=2，x2=4 經(jīng)過2秒，點P到離A點12=2cm處，點Q離B點22=4cm處，經(jīng)過4秒，點P到離A點14=4cm處，點Q離B點24=8cm處，所以它們都符合要求 （2）設(shè)y秒后點P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，點Q在CA上移動，且使CQ=（2y-8）cm，過點Q作DQCB，垂足為D，則有 AB=6，BC=8 由勾股定理，得：AC=10 DQ= 則：（14-y）=12.6 整理，得：y2-18y+77=0 解得：y1=7，y2=11 即經(jīng)過7秒，點P在BC上距C點7cm處（CP=14-y=7），點Q在CA上距C點6cm處（CQ=2y-8=6），使PCD的面積為12.6cm2 經(jīng)過11秒，點P在BC上距C點3cm處，點Q在CA上距C點14cm>10，點Q已超過CA的范圍，即此解不存在本小題只有一解y1=7【歸納小結(jié)】 本節(jié)課應(yīng)掌握：利用已學(xué)的特殊圖形的