精品資料人教版初中數(shù)學(xué) 221.2 二次函數(shù) yax2的圖象和性質(zhì) 1會用描點(diǎn)法畫出yax2的圖象，理解拋物線的概念 2掌握形如yax2的二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，并會應(yīng)用 一、情境導(dǎo)入 自由落體公式h12gt2(g為常量)，h與t之間是什么關(guān)系呢？它是什么函數(shù)？它的圖象是什么形狀呢？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：二次函數(shù)yax2的圖象 【類型一】圖象的識別 已知a0， 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)yax與yax2的圖象有可能是( ) 解析：本題進(jìn)行分類討論：(1)當(dāng)a0時，函數(shù)yax2的圖象開口向上，函數(shù)yax圖象經(jīng)過一、 三象限， 故排除選項(xiàng) B； (2)當(dāng)a0 時，函數(shù)yax2的圖象開口向下，函數(shù)yax圖象經(jīng)過二、四象限，故排除選項(xiàng) D；又因?yàn)樵谕恢苯亲鴺?biāo)系中，函數(shù)yax與yax2的圖象必有除原點(diǎn)(0，0)以外的交點(diǎn)，故選擇 C. 方法總結(jié)： 分a0 與a0 兩種情況加以討論，并且結(jié)合一些特殊點(diǎn)，采取“排除法” 【類型二】實(shí)際問題中圖象的識別 已知h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為h12gt2(g為正常數(shù)，t為時間)， 則函數(shù)圖象為( ) 解析：根據(jù)h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為h12gt2，其中g(shù)為正常數(shù)，t為時間，因此函數(shù)h12gt2圖象是受一定實(shí)際范圍限制的，圖象應(yīng)該在第一象限，是拋物線的一部分，故選 A. 方法總結(jié)：在識別二次函數(shù)圖象時，應(yīng)該注意考慮函數(shù)的實(shí)際意義 探究點(diǎn)二：二次函數(shù)yax2的性質(zhì) 【類型一】 利用圖象判斷二次函數(shù)的增減性 作出函數(shù)yx2的圖象， 觀察圖象，并利用圖象回答下列問題： (1)在y軸左側(cè)圖象上任取兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2x10，試比較y1與y2的大??； (2)在y軸右側(cè)圖象上任取兩點(diǎn)C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3x40，試比較y3與y4的大??； (3)由(1)、(2)你能得出什么結(jié)論？ 解析： 根據(jù)畫出的函數(shù)圖象來確定有關(guān)數(shù)值的大小，是一種比較常用的方法 解：(1)圖象如圖所示，由圖象可知y1y2， (2)由圖象可知y3y4； (3)在y軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，在y軸右側(cè)，y隨x的增大而減小 方法總結(jié)：解有關(guān)二次函數(shù)的性質(zhì)問題，最好利用數(shù)形結(jié)合思想，在草稿紙上畫出拋物線的草圖進(jìn)行觀察和分析以免解題時產(chǎn)生錯誤 【類型二】 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合題 已知函數(shù)y(m3)xm23m2是關(guān)于x的二次函數(shù) (1)求m的值； (2)當(dāng)m為何值時，該函數(shù)圖象的開口向下？ (3)當(dāng)m為何值時，該函數(shù)有最小值？ (4)試說明函數(shù)的增減性 解析：(1)由二次函數(shù)的定義可得m23m22，m30，故可求m的值 (2)圖象的開口向下，則m30； (3)函數(shù)有最小值，則m30； (4)函數(shù)的增減性由函數(shù)的開口方向及對稱軸來確定 解： (1)根據(jù)題意， 得m23m22，m30，解得m14，m21，m3.當(dāng)m4 或m1時，原函數(shù)為二次函數(shù) (2)圖象開口向下，m30，m3，m4.當(dāng)m4 時，該函數(shù)圖象的開口向下 (3)函數(shù)有最小值，m30，m3，m1，當(dāng)m1 時，原函數(shù)有最小值 (4)當(dāng)m4 時，此函數(shù)為yx2，開口向下，對稱軸為y軸，當(dāng)x0 時，y隨x的增大而增大； 當(dāng)x0 時，y隨x的增大而減小 當(dāng)m1 時，此函數(shù)為y4x2，開口向上，對稱軸為y軸，當(dāng)x0 時，y隨x的增大而減??； 當(dāng)x0 時，y隨x的增大而增大 方法總結(jié)： 二次函數(shù)的最值是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，當(dāng)a0 時，開口向上，頂點(diǎn)最低，此時縱坐標(biāo)為最小值；當(dāng)a0 時，開口向下，頂點(diǎn)最高，此時縱坐標(biāo)為最大值考慮二次函數(shù)的增減性要考慮開口方向和對稱軸兩方面的因素，因此最好畫圖觀察 探究點(diǎn)三： 確定二次函數(shù)yax2的表達(dá)式 【類型一】 利用圖象確定yax2的解析式 一個二次函數(shù)yax2(a0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2， 2)關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點(diǎn)B，求其關(guān)系式 解析： 坐標(biāo)軸包含x軸和y軸， 故點(diǎn)A(2，2)關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點(diǎn)不是一個點(diǎn)， 而是兩個點(diǎn) 點(diǎn)A(2， 2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B1(2，2)， 點(diǎn)A(2， 2)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B2(2，2) 解：點(diǎn)B與點(diǎn)A(2，2)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，B1(2，2)，B2(2，2)當(dāng)yax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)B1(2，2)時，2a22，a12， y12x2； 當(dāng)yax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)B1(2，2)時，2a(2)2，a12，y12x2.二次函數(shù)的關(guān)系式為y12x2或y12x2. 方法總結(jié)： 當(dāng)題目給出的條件不止一個答案時， 應(yīng)運(yùn)用分類討論的方法逐一進(jìn)行討論，從而求得多個答案 【類型二】 二次函數(shù)yax2的圖象與幾何圖形的綜合應(yīng)用 已知二次函數(shù)yax2(a0)與直線y2x3 相交于點(diǎn)A(1，b)，求： (1)a，b的值； (2)函數(shù)yax2的圖象的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)及直線與拋物線的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo) 解析： 直線與函數(shù)yax2的圖象交點(diǎn)坐標(biāo)可利用方程求解 解：(1)點(diǎn)A(1，b)是直線與函數(shù)yax2圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足二次函數(shù)和直線的關(guān)系式，ba12，b213，a1，b1. (2)由(1)知二次函數(shù)為yx2，頂點(diǎn)M(即坐標(biāo)原點(diǎn))的坐標(biāo)為(0， 0)， 由x22x3，解得x11，x23，y11，y29，直線與拋物線的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，9) 【類型三】 二次函數(shù)yax2的實(shí)際應(yīng)用 如圖所示，有一拋物線形狀的橋洞橋洞離水面最大距離OM為 3m，跨度AB6m. (1)請你建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并求出在此坐標(biāo)系下的拋物線的關(guān)系式； (2)一艘小船上平放著一些長 3m， 寬 2m且厚度均勻的矩形木板， 要使小船能通過此橋洞，則這些木板最高可堆放多少米？ 解析：可令O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于AB的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則可設(shè)此拋物線函數(shù)關(guān) 系式為yax2.由題意可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，3)，由此可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式， 然后利用此拋物線的函數(shù)關(guān)系式去探究其他問題 解：(1)以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于線段AB的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為yax2.由題意可得B點(diǎn)坐標(biāo)為(3， 3)， 3a32，解得a13，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y13x2. (2)當(dāng)x1 時，y131213.OM3，木板最高可堆放 31383(米) 方法總結(jié)：解決實(shí)際問題時，要善于把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題， 即建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的思想 三、板書設(shè)計(jì) 教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流， 在操作中探究二次函數(shù) yax2的圖象與性質(zhì)， 體會數(shù)學(xué)建模的數(shù)形結(jié)合的思想方法.