精品資料·人教版初中數(shù)學(xué)25.2 列舉法求概率教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能目標(biāo)：學(xué)習(xí)用列表法、畫樹形圖法計(jì)算概率，并通過比較概率大小作出合理的決策。過程與方法目標(biāo)，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、列表、統(tǒng)計(jì)、運(yùn)算、設(shè)計(jì)等活動(dòng)，學(xué)生在具體情境中分析事件，計(jì)算其發(fā)生的概率。滲透數(shù)形結(jié)合，分類討論，由特殊到一般的思想，提高分析問題和解決問題的能力。情感與態(tài)度目標(biāo)，通過豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，交流成功的經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索和創(chuàng)造，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)積極思維的學(xué)習(xí)習(xí)慣。教學(xué)重點(diǎn)：習(xí)運(yùn)用列表法或樹形圖法計(jì)算事件的概率。教學(xué)難點(diǎn)：能根據(jù)不同情況選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行列舉，解決較復(fù)雜事件概率的計(jì)算問題。教學(xué)過程1.創(chuàng)設(shè)情景，發(fā)現(xiàn)新知 教材是通過P151P152的例5、例6來介紹列表法和樹形圖法的。例5（教材P151）：同時(shí)擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，計(jì)算下列事件的概率：(1) 兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)相同；(2) 兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)的和是9；(3) 至少有一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)為2。這個(gè)例題難度較大，事件可能出現(xiàn)的結(jié)果有36種。若首先就拿這個(gè)例題給學(xué)生講解，大多數(shù)學(xué)生理解起來會(huì)比較困難。所以在這里，我將新課的引入方式改為了一個(gè)有實(shí)際背景的轉(zhuǎn)盤游戲（前一課已有例作基礎(chǔ)）。（1）創(chuàng)設(shè)情景引例：為活躍聯(lián)歡晚會(huì)的氣氛，組織者設(shè)計(jì)了以下轉(zhuǎn)盤游戲：A、B兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字分別是1，6，8，轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是4，5，7（兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外，其他完全相同）。每次選擇2名同學(xué)分別撥動(dòng)A、B兩個(gè)轉(zhuǎn)盤上的指針，使之產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，指針停止后所指數(shù)字較大的一方為獲勝者，負(fù)者則表演一個(gè)節(jié)目（若箭頭恰好停留在分界線上，則重轉(zhuǎn)一次）。作為游戲者，你會(huì)選擇哪個(gè)裝置呢？并請說明理由。 168A457B圖2 聯(lián)歡晚會(huì)游戲轉(zhuǎn)盤 【設(shè)計(jì)意圖】 選用這個(gè)引例，是基于以下考慮：以貼近學(xué)生生活的聯(lián)歡晚會(huì)為背景，創(chuàng)設(shè)轉(zhuǎn)盤游戲引入，能在最短時(shí)間內(nèi)激發(fā)學(xué)生的興趣，引起學(xué)生高度的注意力，進(jìn)入情境。（2）學(xué)生分組討論，探索交流在這個(gè)環(huán)節(jié)里，首先要求學(xué)生分組討論，探索交流。然后引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即：“停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，哪個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)笖?shù)字較大的可能性更大呢？”由于事件的隨機(jī)性，我們必須考慮事件發(fā)生概率的大小。此時(shí)我首先引導(dǎo)學(xué)生觀看轉(zhuǎn)盤動(dòng)畫，同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)游戲涉及A、B兩轉(zhuǎn)盤， 即涉及2個(gè)因素，與前一課所講授單轉(zhuǎn)盤概率問題（教材P148例2）相比，可能產(chǎn)生的結(jié)果數(shù)目增多了，列舉時(shí)很容易造成重復(fù)或遺漏。怎樣避免這個(gè)問題呢？實(shí)際上，可以將這個(gè)游戲分兩步進(jìn)行。 于是，指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造表格（3）指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造表格A B457168首先考慮轉(zhuǎn)動(dòng)A盤：指針可能指向1，6，8三個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)，可能出現(xiàn)的結(jié)果就會(huì)有3個(gè)。接著考慮轉(zhuǎn)動(dòng)B盤：當(dāng)A盤指針指向1時(shí)，B盤指針可能指向4、5、7三個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)，這是列舉法的簡單情況。當(dāng)A盤指針指向6或8時(shí)，B盤指針同樣可能指向4、5、7三個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)。一共會(huì)產(chǎn)生9種不同的結(jié)果?！驹O(shè)計(jì)意圖】這樣既分散了難點(diǎn)，又激發(fā)了學(xué)生興趣，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。（4）學(xué)生獨(dú)立填寫表格，通過觀察與計(jì)算，得出結(jié)論（即列表法）A B4571（1，4）（1，5）（1，7）6（6，4）（6，5）（6，7）8（8，4）（8，5）（8，7）從表中可以發(fā)現(xiàn)：A盤數(shù)字大于B盤數(shù)字的結(jié)果共有5種。P(A數(shù)較大)= , P(B數(shù)較大)=. P(A數(shù)較大) P(B數(shù)較大) 選擇A裝置的獲勝可能性較大。在學(xué)生填寫表格過程中，注意向?qū)W生強(qiáng)調(diào)數(shù)對的有序性。由于游戲是分兩步進(jìn)行的，我們也可用其他的方法來列舉。即先轉(zhuǎn)動(dòng)盤，可能出現(xiàn)1，6，8三種結(jié)果；第二步考慮轉(zhuǎn)動(dòng)盤，可能出現(xiàn)4，5，7三種結(jié)果。168開始A裝置457457457B裝置（5）解法二： 由圖知：可能的結(jié)果為： （1，4），（1，5），（1，7），（6，4），（6，5），（6，7），（8，4），（8，5），（8，7）。共計(jì)9種。P(A數(shù)較大)= , P(B數(shù)較大)=. P(A數(shù)較大) P(B數(shù)較大) 選擇A裝置的獲勝可能性較大。然后，引導(dǎo)學(xué)生對所畫圖形進(jìn)行觀察：若將圖形倒置，你會(huì)聯(lián)想到什么？這個(gè)圖形很像一棵樹，所以稱為樹形圖（在幻燈片上放映）。列表和樹形圖是列舉法求概率的兩種常用的方法?！驹O(shè)計(jì)意圖】自然地學(xué)生感染了分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)思想。2.自主分析，再探新知通過引例的分析，學(xué)生對列表法和樹形圖法求概率有了初步的了解，為了幫助學(xué)生熟練掌握這兩種方法，我選用了下列兩道例題（本節(jié)教材P151P152的例5和例6）。例1：同時(shí)擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，計(jì)算下列事件的概率：(1) 兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)相同；(2) 兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)的和是9；(3) 至少有一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)為2。例1是教材上一道“擲骰子”的問題，有了引例作基礎(chǔ)，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：引例涉及兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，這里涉及兩個(gè)骰子，實(shí)質(zhì)都是涉及兩個(gè)因素。于是，學(xué)生通過類比列出下列表。 第2個(gè)第1個(gè)1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）由上表可以看出，同時(shí)擲兩個(gè)骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果有36個(gè)，它們出現(xiàn)的可能性相等。由所列表格可以發(fā)現(xiàn)：（1）滿足兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)相同（記為事件A）的結(jié)果有6個(gè)，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)=。滿足條件的結(jié)果在表格的對角線上（2）滿足兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)的和是9（記為事件B）的結(jié)果有4個(gè)，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)=。滿足條件的結(jié)果在（3，6）和（6，3）所在的斜線上（3）至少有一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)為2（記為事件C）的結(jié)果有11個(gè)，所以P(C)=。滿足條件的結(jié)果在數(shù)字2所在行和2所在的列上接著，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后小結(jié)：當(dāng)一個(gè)事件要涉及兩個(gè)因素并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，通常采用列表法。運(yùn)用列表法求概率的步驟如下：列表 ； 通過表格計(jì)數(shù)，確定公式P(A)=中m和n的值；利用公式P(A)=計(jì)算事件的概率。分析到這里，我會(huì)問學(xué)生：“例1題目中的“擲兩個(gè)骰子”改為“擲三個(gè)骰子”，還可以使用列表法來做嗎？”由此引出下一個(gè)例題。例2： 甲口袋中裝有2個(gè)相同的球，它們分別寫有字母A和B；乙口袋中3個(gè)相同的球，它們分別寫有字母C、D和E；丙口袋中2個(gè)相同的球，它們分別寫有字母H和I。從三個(gè)口袋中各隨機(jī)地取出1個(gè)球。（1）取出的三個(gè)球上恰好有1個(gè)、2個(gè)和3個(gè)元音字母的概率分別為多少？（2）取出的三個(gè)球上全是輔音字母的概率是多少？例2與前面兩題比較，有所不同：要從三個(gè)袋子里摸球，即涉及到3個(gè)因素。此時(shí)同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)用列表法就不太方便，可以嘗試樹形圖法。本游戲可分三步進(jìn)行。分步畫圖和分類排列相關(guān)的結(jié)論是解題的關(guān)鍵。ACDEHIHIHIBCDEHIHIHI甲乙丙從圖形上可以看出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12個(gè)，即：ACHACIADHADIAEHAEIBCHBDHBDIBEHBEIBCI（幻燈片上用顏色區(qū)分）這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。（1）只有一個(gè)元音字母的結(jié)果（黃色）有5個(gè)，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以；有兩個(gè)元音的結(jié)果（白色）有4個(gè)，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以；全部為元音字母的結(jié)果（綠色）只有1個(gè)，即AEI ，所以。（2）全是輔音字母的結(jié)果（紅色）共有2個(gè)，即BCH，BDH，所以。通過例2的解答，很容易得出題后小結(jié)：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素時(shí)，通常采用“畫樹形圖”。運(yùn)用樹形圖法求概率的步驟如下：（幻燈片）畫樹形圖 ； 列出結(jié)果，確定公式P(A)=中m和n的值；利用公式P(A)=計(jì)算事件概率。接著我向?qū)W生提問：到現(xiàn)在為止，我們所學(xué)過的用列舉法求概率分為哪幾種情況？ 列表法和畫樹形圖法求概率有什么優(yōu)越性？什么時(shí)候使用“列表法”方便，什么時(shí)候使用“樹形圖法”更好呢？【設(shè)計(jì)意圖】 通過對上述問題的思考，可以加深學(xué)生對新方法的理解，更好的認(rèn)識(shí)到列表法和畫樹形圖法求概率的優(yōu)越性在于能夠直觀、快捷、準(zhǔn)確地獲取所需信息，有利于學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況選擇正確的方法。3.應(yīng)用新知，深化拓展為了檢驗(yàn)學(xué)生對列表法和畫樹形圖法的掌握情況，提高應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，在此我選擇了教材P154課后練習(xí)作為隨堂練習(xí)。（1）經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)前行，也可能向左或向右，如果這三種可能性大小相同。三輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口，求下列事件的概率：三輛車全部繼續(xù)前行；兩輛車向右轉(zhuǎn)，一輛車向左轉(zhuǎn)；至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)。隨堂練習(xí)（1）是一道與實(shí)際生活相關(guān)的交通問題，可用樹形圖法來解決。（2）在6張卡片上分別寫有16的整數(shù)，隨機(jī)地抽取一張后放回，再隨機(jī)地抽取一張，那么第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的概率是多少？通過解答隨堂練習(xí)（2），學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)列出的表格和例1的表格完全一樣。不同的是：變換了實(shí)際背景，設(shè)置的問題也不一樣。這時(shí)，我提出：我們是否可以根據(jù)這個(gè)表格再編一道用列舉法求概率的題目來呢？為了進(jìn)一步拓展思維，我向?qū)W生提出了這樣一個(gè)問題，供學(xué)生課后思考：在前面的引例中，轉(zhuǎn)盤的游戲規(guī)則是不公平的，你能把它改成一個(gè)公平的游戲嗎？【設(shè)計(jì)意圖】 以上問題的提出和解決有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，做到舉一反三，融會(huì)貫通。4.歸納總結(jié)，形成能力我將引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、情感三方面來談一談這節(jié)課的收獲。要求每個(gè)學(xué)生在組內(nèi)交流，派小組代表發(fā)言。【設(shè)計(jì)意圖】 通過這個(gè)環(huán)節(jié)，可以提高學(xué)生概括能力、表達(dá)能力，有助于學(xué)生全面地了解自己的學(xué)習(xí)過程，感受自己的成長與進(jìn)步，增強(qiáng)自信，也為教師全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、因材施教提供了重要依據(jù)。5.布置作業(yè)，鞏固提高考慮到學(xué)生的個(gè)體差異，為促使每一個(gè)學(xué)生得到不同的發(fā)展，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)進(jìn)行反思，在第五個(gè)環(huán)節(jié)“布置作業(yè)，鞏固提高”里作如下安排：（1）必做題：書本P154/ 3，P155/ 4，5（2）選做題：請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)游戲，并用列舉法計(jì)算游戲者獲勝的概率。研究性課題：通過調(diào)查學(xué)校周圍道路的交通狀況，為交通部門提出合理的建議等。【設(shè)計(jì)意圖】 通過教學(xué)實(shí)踐作業(yè)和社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生把動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手三者結(jié)合起來，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)協(xié)作精神和科學(xué)的態(tài)度。