第五節(jié)橢圓考綱傳真1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第120頁) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.若ac，則集合P為橢圓；若ac，則集合P為線段；若ac，則集合P為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0,1)a，b，c的關(guān)系a2b2c2知識(shí)拓展1點(diǎn)P(x0，y0)和橢圓的關(guān)系(1)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)1.(2)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上1.(3)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓外1.2焦點(diǎn)三角形橢圓1(ab0)上一點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形F1PF2中，若F1PF2，則SF1PF2|PF1|PF2|·sin ·b2b2tan 3過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)橢圓過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的半弦長(zhǎng)為.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的集合是橢圓()(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長(zhǎng)為2a2c(其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距)()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(4)橢圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形()答案(1)×(2)(3)×(4)2(教材改編)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是()A1B1C1D1D橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c1.又離心率為，故a2，b2a2c2413，故橢圓的方程為1.3(20xx·廣東高考)已知橢圓1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(4,0)，則m()A2B3 C4D9B由左焦點(diǎn)為F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m>0，故m3.4(20xx·全國(guó)卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為()AB CDB如圖，|OB|為橢圓中心到l的距離，則|OA|·|OF|AF|·|OB|，即bca·，所以e.5橢圓1的左焦點(diǎn)為F，直線xm與橢圓相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，F(xiàn)AB的面積是_3直線xm過右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，F(xiàn)AB的周長(zhǎng)最大，由橢圓定義知，其周長(zhǎng)為4a8，即a2，此時(shí)，|AB|2×3，SFAB×2×33.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第121頁)橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)如圖8­5­1所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是()圖8­5­1A橢圓B雙曲線C拋物線D圓(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1(，1)，P2(，)，則橢圓的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090290】(3)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為_(1)A(2)1(3)x2y21(1)由條件知|PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R>|OF|.P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓(2)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0且mn)橢圓經(jīng)過點(diǎn)P1，P2，點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)適合橢圓方程則兩式聯(lián)立，解得所求橢圓方程為1.(3)不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，設(shè)半焦距為c，則F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)AF2x軸，則A(c，b2)(其中c21b2,0<b<1)又|AF1|3|F1B|，得3，設(shè)B(x0，y0)，則(2c，b2)3(x0c，y0)，x0且y0，代入橢圓x21，得25c2b29，又c21b2，聯(lián)立，得b2.故橢圓E的方程為x2y21.規(guī)律方法1.(1)利用橢圓的定義定形狀時(shí)，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件(2)當(dāng)涉及到焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明時(shí)，常利用勾股定理、正(余)弦定理、橢圓定義，但一定要注意|PF1|PF2|與|PF1|·|PF2|的整體代換2求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定位，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，若焦點(diǎn)位置不確定，可把橢圓方程設(shè)為Ax2By21(A>0，B>0，AB)的形式變式訓(xùn)練1(1)與圓C1：(x3)2y21外切，且與圓C2：(x3)2y281內(nèi)切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為_(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且F1PF260°，SPF1F23，則b_.(3)已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3，則C的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090291】(1)1(2)3(3)1(1)設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上，得點(diǎn)P的軌跡方程為1.(2)由題意得|PF1|PF2|2a，又F1PF260°，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60°|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，所以SPF1F2|PF1|PF2|sin 60°×b2×b23，所以b3.(3)依題意，設(shè)橢圓C：1(a>b>0)過點(diǎn)F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長(zhǎng)|AB|3，點(diǎn)A必在橢圓上，1.又由c1，得1b2a2.由聯(lián)立，得b23，a24.故所求橢圓C的方程為1.橢圓的幾何性質(zhì)(1)(20xx·泉州質(zhì)檢)已知橢圓1的長(zhǎng)軸在x軸上，焦距為4，則m等于()A8B7C6D5(2)(20xx·江蘇高考)如圖8­5­2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，直線y與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且BFC90°，則該橢圓的離心率是 _.圖8­5­2(1)A(2)(1)橢圓1的長(zhǎng)軸在x軸上，解得6m10.焦距為4，c2m210m4，解得m8.(2)將y代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得1，所以x±a，故B，C.又因?yàn)镕(c,0)，所以，.因?yàn)锽FC90°，所以·0，所以20，即c2a2b20，將b2a2c2代入并化簡(jiǎn)，得a2c2，所以e2，所以e(負(fù)值舍去)規(guī)律方法1.與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析2求橢圓離心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解 變式訓(xùn)練2(1)已知橢圓1的離心率為，則k的值為()A21B21C或21D或21(2)過橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，若F1PF260°，則橢圓的離心率為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090292】A BCD(3)(20xx·全國(guó)卷)已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A BCD (1)D(2)B(3)A(1)當(dāng)94k0，即5k4時(shí)，a3，c29(4k)5k，解得k.當(dāng)94k，即k5時(shí)，a，c2k5，解得k21，所以k的值為或21.(2)由題意，可設(shè)P.因?yàn)樵赗tPF1F2中，|PF1|，|F1F2|2c，F(xiàn)1PF260°，所以.又因?yàn)閎2a2c2，所以c22aca20，即e22e0，解得e或e，又因?yàn)閑(0,1)，所以e.(3)由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為A又直線bxay2ab0與圓相切，圓心到直線的距離da，解得ab，e.故選A直線與橢圓的位置關(guān)系角度1由位置關(guān)系研究橢圓的方程與性質(zhì)已知橢圓E：1(a>b>0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0)，(0，b)的直線的距離為.圖8­5­3(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖8­5­3，AB是圓M：(x2)2(y1)2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程解(1)過點(diǎn)(c,0)，(0，b)的直線方程為bxcybc0，則原點(diǎn)O到該直線的距離d，3分由dc，得a2b2 ，解得離心率.5分(2)由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，圓心M(2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|.易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.8分設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.從而x1x282b2.10分于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故橢圓E的方程為1.12分角度2由位置關(guān)系研究直線的性質(zhì)(20xx·全國(guó)卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上(1)求C的方程(2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解(1)由題意有，1，解得a28，b24.3分所以C的方程為1.5分(2)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).7分將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.9分故xM，yMk·xMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOM·k.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.12分規(guī)律方法1.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程解決相關(guān)問題涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單2設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|(k為直線斜率)