1過點P(2,0)的直線與拋物線C：y24x相交于A、B兩點，且|PA|AB|，則點A到拋物線C的焦點的距離為()A. B.C. D2答案A解析設A(x1，y1)、B(x2，y2)，分別過點A、B作直線x2的垂線，垂足分別為點D、E.|PA|AB|，又得x1，則點A到拋物線C的焦點的距離為1.2設F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為()A. B.C. D.答案D解析由已知得F，故直線AB的方程為ytan30，即yx.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立將代入并整理得x2x0，x1x2，線段|AB|x1x2p12.又原點(0,0)到直線AB的距離為d.SOAB|AB|d12.3.已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為()A. B.C. D.答案D解析由題意可知準線方程x2，p4，拋物線方程為y28x.由已知易得過點A與拋物線y28x相切的直線斜率存在，設為k，且k>0，則可得切線方程為y3k(x2)聯(lián)立方程消去x得ky28y2416k0.(*)由相切得644k(2416k)0，解得k或k2(舍去)，代入(*)解得y8，把y8代入y28x，得x8，即切點B的坐標為(8,8)，又焦點F為(2,0)，故直線BF的斜率為.4已知F為拋物線y2x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，2(其中O為坐標原點)，則ABO與AFO面積之和的最小值是()A2 B3C. D.答案B解析設AB所在直線方程為xmyt.由消去x，得y2myt0.設A(y，y1)，B(y，y2)(不妨令y1>0，y2<0)，故yym，y1y2t.而yyy1y22.解得y1y22或y1y21(舍去)所以t2，即t2.所以直線AB過定點M(2,0)而SABOSAMOSBMO|OM|y1y2|y1y2，SAFO|OF|y1y1y1，故SABOSAFOy1y2y1y1y2.由y1y2y1(y2)223，得SABOSAFO的最小值為3，故選B.5在平面直角坐標系xOy中，P為雙曲線x2y21右支上的一個動點若點P到直線xy10的距離大于c恒成立，則實數(shù)c的最大值為_答案解析直線xy10與雙曲線x2y21的一條漸近線xy0平行，這兩條平行線之間的距離為，又P為雙曲線x2y21右支上的一個動點，點P到直線xy10的距離大于c恒成立，則c，即實數(shù)c的最大值為.6設F為拋物線C：y24x的焦點，過點P(1,0)的直線l交拋物線C于A，B兩點，點Q為線段AB的中點若|FQ|2，則直線l的斜率等于_答案1解析設直線AB方程為xmy1(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線和拋物線方程，整理得，y24my40，由根與系數(shù)關系得y1y24m，y1y24.故Q(2m21,2m)由|FQ|2知2，解得m21或m20(舍去)，故直線l的斜率等于1(此時直線AB與拋物線相切，為滿足題意的極限情況)7已知動點P到直線l：x1的距離等于它到圓C：x2y24x10的切線長(P到切點的距離)記動點P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)點Q是直線l上的動點，過圓心C作QC的垂線交曲線E于A，B兩點，設AB的中點為D，求的取值范圍解(1)由已知得，圓心為C(2,0)，半徑r.設P(x，y)，依題意可得|x1|，整理得y26x.故曲線E的方程為y26x.(2)設直線AB的方程為myx2，則直線CQ的方程為ym(x2)，可得Q(1,3m)將myx2代入y26x并整理可得y26my120，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y26m，y1y212，D(3m22,3m)，|QD|3m23.|AB|2 ，所以2，故.8已知橢圓E：1(a>b>0)過點(0，)，且離心率e.(1)求橢圓E的方程；(2)設直線l：xmy1(mR)交橢圓E于A，B兩點，判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由解解法一：(1)由已知得，解得所以橢圓E的方程為1.(2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為H(x0，y0)由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，從而y0.所以|GH|22y2y(m21)ymy0.(1m2)(yy1y2)，故|GH|2my0(1m2)y1y2>0，所以|GH|>.故點G在以AB為直徑的圓外解法二：(1)同解法一(2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，.由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，從而y1y2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)>0，所以cos，>0.又，不共線，所以AGB為銳角故點G在以AB為直徑的圓外9已知點A(0，2)，橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點(1)求E的方程；(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當OPQ的面積最大時，求l的方程解(1)設F(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當lx軸時不合題意，故設l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)將ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.當16(4k23)>0，即k2>時，x1,2.從而|PQ|x1x2|.又點O到直線PQ的距離d，所以OPQ的面積SOPQd|PQ|.設 t，則t>0，SOPQ.因為t4，當且僅當t2，即k時等號成立，且滿足>0.所以，當OPQ的面積最大時，l的方程為yx2或yx2.10圓x2y24的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P(如圖)雙曲線C1：1過點P且離心率為.(1)求C1的方程；(2)橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點，直線l過C2的右焦點且與C2交于A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓過點P，求l的方程解(1)設切點坐標為(x0，y0)(x0>0，y0>0)，則切線斜率為，切線方程為yy0(xx0)，即x0xy0y4.此時，兩個坐標軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S.由xy42x0y0，知當且僅當x0y0時x0y0有最大值，即S有最小值，因此點P的坐標為(，)由題意知解得a21，b22，故C1的方程為x21.(2)由(1)知C2的焦點坐標為(，0)，(，0)，由此設C2的方程為1，其中b1>0.由P(，)在C2上，得1，解得b3.因此C2的方程為1.顯然，l不是直線y0.設l的方程為xmy，點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22my30，又y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因為(x1，y1)，(x2，y2)由題意知0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40.將，代入式整理，得2m22m4110，解得m1或m1.因此直線l的方程為xy0或xy0.11如圖，已知兩條拋物線E1：y22p1x(p1>0)和E2：y22p2x(p2>0)，過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點(1)證明：A1B1A2B2；(2)過O作直線l(異于l1，l2)與E1，E2分別交于C1，C2兩點記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值解(1)證明：設直線l1，l2的方程分別為yk1x，yk2x(k1，k20)，則由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以2p1.2p2.故，所以A1B1A2B2.(2)由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2.所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知.故.