第四節(jié)歸納與類比考綱傳真1.了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡單的歸納推理和類比推理，體會合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的含義，了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異；掌握演繹推理的“三段論”，能運用“三段論”進(jìn)行一些簡單的演繹推理(對應(yīng)學(xué)生用書第87頁) 基礎(chǔ)知識填充1歸納推理：根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個都有這種屬性我們將這種推理方式稱為歸納推理簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理2類比推理：由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理3歸納推理和類比推理是最常見的合情推理，合情推理的結(jié)果不一定正確4演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理()(2)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適()(3)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的()(4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確()答案(1)(2)(3)(4)2由“半徑為R的圓內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大”，推出“半徑為R的球的內(nèi)接長方體中，正方體的體積最大”是()A歸納推理B類比推理C演繹推理D以上都不是B類比推理的一般步驟是：(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)所以，由“半徑為R的圓內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大”，推理出“半徑為R的球的內(nèi)接長方體中，正方體的體積最大”是類比推理，選B3(教材改編)已知數(shù)列an中，a11，n2時，anan12n1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()Aan3n1Ban4n3Cann2Dan3n1Ca11，a24，a39，a416，猜想ann2.4“因為指數(shù)函數(shù)yax是增函數(shù)(大前提)，而yx是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)yx是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯誤在于()A大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤B小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤C推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤D大前提和小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤A“指數(shù)函數(shù)yax是增函數(shù)”是本推理的大前提，它是錯誤的因為實數(shù)a的取值范圍沒有確定，所以導(dǎo)致結(jié)論是錯誤的5(20xx開封模擬)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市由此可判斷乙去過的城市為_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090211】A由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A，由此可知，乙去過的城市為A(對應(yīng)學(xué)生用書第88頁)歸納推理(1)數(shù)列，的第20項是()ABCD(2)(20xx山東高考)觀察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此規(guī)律，2222_.(1)C(2)n(n1)(1)數(shù)列在數(shù)列中是第123m項，當(dāng)m5時，即是數(shù)列中第15項，則第20項是，故選C(2)通過觀察已給出等式的特點，可知等式右邊的是個固定數(shù)，后面第一個數(shù)是等式左邊最后一個數(shù)括號內(nèi)角度值分子中的系數(shù)的一半，后面第二個數(shù)是第一個數(shù)的下一個自然數(shù)，所以，所求結(jié)果為n(n1)，即n(n1)規(guī)律方法1.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納，合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡?歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題變式訓(xùn)練1(1)已知x(0，)，觀察下列各式：x2，x3，x4，類比得xn1(nN*)，則a_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090212】(2)下面圖形由小正方形組成，請觀察圖641(1)至圖(4)的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是_圖641(1)nn(nN*)(2)(nN*)(1)第一個式子是n1的情況，此時a111；第二個式子是n2的情況，此時a224；第三個式子是n3的情況，此時a3327，歸納可知ann.(2)由題圖知第n個圖形的小正方形個數(shù)為123n.所以總個數(shù)為(nN*)類比推理(1)(20xx陜西師大附中模擬)若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn也是等差數(shù)列，類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為()AdnBdnCdnDdn(2)在平面幾何中，ABC的C的平分線CE分AB所成線段的比為.把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖642)，平面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到類比的結(jié)論是_圖642(1)D(2)(1)法一：從商類比開方，從和類比到積，則算術(shù)平均數(shù)可以類比幾何平均數(shù)，故dn的表達(dá)式為dn.法二：若an是等差數(shù)列，則a1a2anna1d，bna1dna1，即bn為等差數(shù)列；若cn是等比數(shù)列，則c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn為等比數(shù)列，故選D(2)由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得.規(guī)律方法1.進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對比，提出猜想，其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵2類比推理常見的情形有：平面與空間類比；低維與高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；運算類比(和與積、乘與乘方，差與除，除與開方)數(shù)的運算與向量運算類比；圓錐曲線間的類比等變式訓(xùn)練2(20xx江淮十校聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在中“”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值x，這可以通過方程x確定出來x2，類似地不難得到1() 【導(dǎo)學(xué)號：00090213】A BCDC1x，即1x，即x2x10，解得x，故1，故選C演繹推理數(shù)列an的前n項和記為Sn，已知a11，an1Sn(nN*)證明：(1)數(shù)列是等比數(shù)列；(2)Sn14an.證明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2分2，又10，(小前提)故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)5分(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)8分又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)對于任意正整數(shù)n，都有Sn14an.(結(jié)論)(第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件)12分規(guī)律方法演繹推理的一般模式為三段論，三段論推理的依據(jù)是：如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.應(yīng)用三段論解決問題時，首先應(yīng)該明確什么是大前提，小前提，然后再找結(jié)論變式訓(xùn)練3(20xx全國卷)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績看后甲對大家說：我還是不知道我的成績根據(jù)以上信息，則()A乙可以知道四人的成績B丁可以知道四人的成績C乙、丁可以知道對方的成績D乙、丁可以知道自己的成績D由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀、1個良好”乙看丙的成績，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績故選D