第六節(jié)拋物線考綱傳真1.了解拋物線的實(shí)際背影，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線方程).3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.4.了解拋物線的簡單應(yīng)用(對應(yīng)學(xué)生用書第123頁) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的集合叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸y0x0焦點(diǎn)FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半徑|PF|x0x0y0y0知識(shí)拓展1拋物線y22px(p0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|x0，也稱為拋物線的焦半徑2y2ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.3設(shè)AB是過拋物線y22px(p0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(4)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的集合一定是拋物線()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()(4)AB為拋物線y22px(p>0)的過焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)若拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()ABCD0BM到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y，設(shè)M(x，y)，則y1，y.3拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2，x24y，準(zhǔn)線方程為y1.4(20xx大同模擬)已知拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)B拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線為x且過點(diǎn)(1,1)，故1，解得p2，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)5(20xx浙江高考)若拋物線y24x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_9設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x1的距離為x01，由拋物線的定義知x0110，x09，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.(對應(yīng)學(xué)生用書第124頁)拋物線的定義及應(yīng)用(1)(20xx全國卷)已知拋物線C：y2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|x0，則x0()A1B2C4D8(2)已知拋物線y24x，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則|AC|BD|的最小值為_ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090304】(1)A(2)2(1)由y2x，知2p1，即p，因此焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l的方程為x.設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)到準(zhǔn)線l的距離為d，則由拋物線的定義可知d|AF|.從而x0x0，解得x01.(2)由y24x，知p2，焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線x1. 根據(jù)拋物線的定義，|AF|AC|1，|BF|BD|1.因此|AC|BD|AF|BF|2|AB|2.所以|AC|BD|取到最小值，當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值，又|AB|2p4為最小值故|AC|BD|的最小值為422.規(guī)律方法1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離處理如本例充分運(yùn)用拋物線定義實(shí)施轉(zhuǎn)化，使解答簡捷、明快2若P(x0，y0)為拋物線y22px(p>0)上一點(diǎn)，由定義易得|PF|x0；若過焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為|AB|x1x2p，x1x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出變式訓(xùn)練1(1)設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值為_(2)若拋物線y22x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，則|PA|PF|取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(1)(2)(2,2)(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線是x1，由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線x1的距離等于點(diǎn)P到F的距離于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小連接AF交拋物線于點(diǎn)P，此時(shí)最小值為|AF|.(2)將x3代入拋物線方程y22x，得y.2，A在拋物線內(nèi)部，如圖設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x的距離為d，由定義知|PA|PF|PA|d，當(dāng)PAl時(shí)，|PA|d最小，最小值為，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y22x，得x2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)(1)點(diǎn)M(5,3)到拋物線yax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236y(2)設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，曲線y(k>0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k()AB1CD2(1)D(2)D(1)將yax2化為x2y.當(dāng)a>0時(shí)，準(zhǔn)線y，則36，a.當(dāng)a<0時(shí)，準(zhǔn)線y，則6，a.拋物線方程為x212y或x236y.(2)由拋物線C：y24x知p2.焦點(diǎn)F(1,0)又曲線y(k>0)與曲線C交于點(diǎn)P，且PFx軸P(1,2)，將點(diǎn)P(1,2)代入y，得k2規(guī)律方法1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可(2)拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量2由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點(diǎn)位置、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，從而進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程變式訓(xùn)練2(1)(20xx鄭州模擬)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|4|OF|，MFO的面積為4，則拋物線的方程為 () 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090305】Ay26xBy28xCy216xDy2(20xx西安模擬)過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AF|3，則AOB的面積為_(1)B(2)(1)設(shè)M(x，y)，因?yàn)閨OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由拋物線定義知x2p，所以xp，所以yp.又MFO的面積為4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以拋物線的方程為y28x.(2)如圖，由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，又|AF|3，由拋物線定義知，點(diǎn)A到準(zhǔn)線x1的距離為3，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，將x2代入y24x得y28，由圖知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為y2，所以A(2,2)，所以直線AF的方程為y2(x1)，聯(lián)立直線與拋物線的方程解得或由圖知B，所以SAOB1|yAyB|.直線與拋物線的位置關(guān)系角度1直線與拋物線的交點(diǎn)問題(20xx全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y22px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N，連接ON并延長交C于點(diǎn)H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說明理由 解(1)如圖，由已知得M(0，t)，P.又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，故N，2分故直線ON的方程為yx，將其代入y22px，整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H.所以N為OH的中點(diǎn)，即2.5分(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn)理由如下：直線MH的方程為ytx，即x(yt).8分代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點(diǎn).12分規(guī)律方法1.(1)本題求解的關(guān)鍵是求出點(diǎn)N，H的坐標(biāo)(2)第(2)問將直線MH的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷2(1)判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.(2)解題時(shí)注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧角度2與拋物線弦長或中點(diǎn)有關(guān)的問題(20xx泰安模擬)已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：yx的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線l2與l1的垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|PB|，求FAB的面積解(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，8)，2分(8)22p8，2p8，拋物線方程為y28x.5分(2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M.6分由得y28y8m0，6432m>0，m>2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.8分由題意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直線l2：xy8，M(8,0).10分故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.12分規(guī)律方法1.拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式2涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等方法3涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解