第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法 考綱傳真1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)(對應(yīng)學(xué)生用書第67頁) 基礎(chǔ)知識填充1數(shù)列的定義按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)anf(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值2數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限單調(diào)性遞增數(shù)列an1>an其中nN*遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1an擺動數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和通項(xiàng)公式法4數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子anf(n)來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式5數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式6an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an知識拓展1數(shù)列an是遞增數(shù)列an1an恒成立2數(shù)列an是遞減數(shù)列an1an恒成立基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)()(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)()(3)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對任意nN*，都有an1Sn1Sn.()(4)若已知數(shù)列an的遞推公式為an1，且a21，則可以寫出數(shù)列an的任何一項(xiàng)()答案(1)(2)(3)(4)2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，則a8的值為()A15B16C49D64A當(dāng)n8時(shí)，a8S8S7827215.3把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖511)圖511則第7個(gè)三角形數(shù)是() 【導(dǎo)學(xué)號：00090153】A27B28 C29D30B由題圖可知，第7個(gè)三角形數(shù)是123456728.4(教材改編)數(shù)列1，的一個(gè)通項(xiàng)公式an是_由已知得，數(shù)列可寫成，故通項(xiàng)為.5(20xx張掖模擬)數(shù)列an滿足an1，a82，則a1_.由an1，得an1，a82，a71，a611，a512，an是以3為周期的數(shù)列，a1a7.(對應(yīng)學(xué)生用書第68頁)由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)3,33,333,3 333，.(4)1,1，2,2，3,3解(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)數(shù)列中各項(xiàng)的符號可通過(1)n1表示每一項(xiàng)絕對值的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，所以an.(3)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)(4)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為1，2，3，可用表示數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為1,2,3，可用表示因此an規(guī)律方法1.求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個(gè)特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后變化的部分和不變的部分的特征；(4)各項(xiàng)符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想2若關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現(xiàn)出來對于正負(fù)符號變化，可用(1)n或(1)n1來調(diào)整，可代入驗(yàn)證歸納的正確性變式訓(xùn)練1(1)數(shù)列0，的一個(gè)通項(xiàng)公式為() 【導(dǎo)學(xué)號：00090154】Aan(nN*)Ban(nN*)Can(nN*)Dan(nN*)(2)數(shù)列an的前4項(xiàng)是，1，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an_.(1)C(2)(1)注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項(xiàng)排除即可(2)數(shù)列an的前4項(xiàng)可變形為，故an.由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an(1)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式an_.(1)(2)(2)n1(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S13122112；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿足上式故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(2)由Snan，得當(dāng)n2時(shí)，Sn1an1，兩式相減，得ananan1，當(dāng)n2時(shí)，an2an1，即2.又n1時(shí)，S1a1a1，a11，an(2)n1.規(guī)律方法由Sn求an的步驟(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式；(3)對n1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)寫成分段函數(shù)的形式易錯(cuò)警示：利用anSnSn1求通項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意n2這一前提條件，易忽視驗(yàn)證n1致誤變式訓(xùn)練2(1)(20xx河南八校聯(lián)考)在數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn2an1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090156】(1)2n1(2)(1)依題意得Sn12an11，Sn2an1，兩式相減得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以數(shù)列an是以a11為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，an2n1.(2)當(dāng)n1時(shí)，a1S1314，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n13n1123n1.顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿足上式an由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式：(1)a12，an1an3n2；(2)a11，an12nan；(3)a11，an13an2. 【導(dǎo)學(xué)號：00090157】解(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當(dāng)n1時(shí)，a1(311)2符合公式，ann2.(2)an12nan，2n1(n2)，ana12n12n2212123(n1)2.又a11適合上式，故an2.(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故數(shù)列an1是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，an123n1，因此an23n11.規(guī)律方法1.已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an；已知a1(a10)，且f(n)，可用“累乘法”求an.2已知a1，且an1qanb，則an1kq(ank)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為ank為等比數(shù)列易錯(cuò)警示：本題(1)，(2)中常見的錯(cuò)誤是忽視驗(yàn)證a1是否適合所求式，(3)中常見錯(cuò)誤是忽視判定首項(xiàng)是否為零變式訓(xùn)練3根據(jù)下列條件，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)a11，an1an2n；(2)a1，anan1(n2)(3)a11，an12an3.解(1)由題意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(2)因?yàn)閍nan1(n2)，所以當(dāng)n2時(shí)，所以，以上n1個(gè)式子相乘得，即21，所以an.當(dāng)n1時(shí)，a1，也與已知a1相符，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(3)由an12an3得an132(an3)又a11，a134.故數(shù)列an3是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列an342n12n1，an2n13.