（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料章末復(fù)習(xí)課網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建核心歸納1集合的“三性”正確理解集合元素的三性，即確定性、互異性和無序性在集合運(yùn)算中，常利用元素的互異性檢驗(yàn)所得的結(jié)論是否正確，因互異性易被忽略，在解決含參集合問題時(shí)應(yīng)格外注意2集合與集合之間的關(guān)系集合與集合之間的關(guān)系有包含、真包含和相等判斷集合與集合之間的關(guān)系的本質(zhì)是判斷元素與集合的關(guān)系，包含關(guān)系的傳遞性是推理的重要依據(jù)空集比較特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集解題時(shí)，已知條件中出現(xiàn)AB時(shí)，不要遺漏A.3集合與集合之間的運(yùn)算并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，Venn圖與數(shù)軸是集合運(yùn)算的重要工具注意集合之間的運(yùn)算與集合間的關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，如ABABAABB.4函數(shù)與映射的概念(1)已知A，B是兩個(gè)非空集合，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下，對(duì)于A中的任意一個(gè)元素x，在B中都有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)對(duì)應(yīng)叫做從A到B的映射，記作f：AB.若f：AB是從A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，則這樣的映射叫做從A到B的一一映射(2)函數(shù)是一個(gè)特殊的映射，其特殊點(diǎn)在于A，B都為非空數(shù)集，函數(shù)有三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)5函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)的單調(diào)性主要涉及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式等相關(guān)問題深刻理解函數(shù)單調(diào)性的定義是解答此類問題的關(guān)鍵(2)函數(shù)單調(diào)性的證明根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義分為四個(gè)步驟證明，步驟如下：取值：任取x1，x2D，且x1<x2，得x2x1>0；作差變形：yy2y1f(x2)f(x1)，向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形；判斷符號(hào)：確定y的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以進(jìn)行分類討論；下結(jié)論：根據(jù)定義得出結(jié)論(3)證明函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)變形：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)>0f(x1)f(x2)(x1x2)>0；f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)<0f(x1)f(x2)(x1x2)<0.6函數(shù)的奇偶性判定函數(shù)奇偶性，一是用其定義判斷，即先看函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再檢驗(yàn)f(x)與f(x)的關(guān)系；二是用其圖象判斷，考察函數(shù)的圖象是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱去判斷，但必須注意它是函數(shù)這一大前提要點(diǎn)一集合的基本概念解決集合的概念問題的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時(shí)，注意弄清元素表示的意義是什么(2)對(duì)于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性【例1】集合Mx|ax23x20，aR中只有一個(gè)元素，求a的取值范圍解由題意可知若集合M中只有一個(gè)元素，則方程ax23x20只有一個(gè)根，當(dāng)a0時(shí)，方程為3x20，只有一個(gè)根x；當(dāng)a0時(shí)，(3)24a(2)0，得a.綜上所述，a的取值范圍是.【訓(xùn)練1】已知集合Am2,2m2m，若3A，則m的值為_解析因?yàn)?A，則m23或2m2m3，當(dāng)m23，即m1時(shí)，m22m2m，不符合題意，故舍去；當(dāng)2m2m3，即m1或m，m1不合題意，若m，m22m2m，滿足題意，故m.答案要點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系兩集合間關(guān)系的判斷(1)定義法判斷一個(gè)集合A中的任意元素是否屬于另一集合B，若是，則AB，否則A不是B的子集；判斷另一個(gè)集合B中的任意元素是否屬于第一個(gè)集合A，若是，則BA，否則B不是A的子集；若既有AB，又有BA，則AB.(2)數(shù)形結(jié)合法對(duì)于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素，直觀地進(jìn)行判斷，但要注意端點(diǎn)值的取值【例2】已知集合Ax|2x33x5，Bx|x2m1，若AB，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析解不等式2x33x5得x8，即Ax|x8，因?yàn)锳B，所以2m18，解得m.答案m【訓(xùn)練2】已知集合Ax|，xR，B1，m，若AB，則m的值為()A2B1C1或2D2或解析由，可得解得x2，A2，又B1，m，AB，m2.答案A考查方向要點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算集合基本運(yùn)算的方法及注意點(diǎn)(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況(2)進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要看集合的組成，并且要對(duì)有的集合進(jìn)行化簡(3)涉及含字母的集合時(shí)，要注意該集合是否可能為空集方向1集合的運(yùn)算【例31】設(shè)全集UxN*|x<6，集合A1,3，B3,5，則U(AB)等于()A1,4B1,5C2,5D2,4解析U1,2,3,4,5，AB1,3,5，所以U(AB)2,4答案D方向2利用集合運(yùn)算求參數(shù)【例32】(1)已知集合A1,3，B1，m，ABA，則m等于()A0或B0或3C1或D1或3(2)設(shè)集合A0,1，集合Bx|x>a，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa1Ba1Ca0Da0解析(1)由ABA知BA，所以m3或m，若m3，A1,3，B1,3，滿足ABA；若m，即m1或0，當(dāng)m1時(shí)，1，不合題意，舍去，當(dāng)m0時(shí)，A1,3,0，B1,0，滿足ABA，故選B(2)因?yàn)锳B，所以0B，且1B，所以a1.答案(1)B(2)B【訓(xùn)練3】(1)已知集合AxR|x|2，BxR|x1，則AB等于()AxR|x2BxR|1x2CxR|2x2DxR|2x1(2)設(shè)集合Mx|3x7，Nx|2xk0，若MN，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_解析(1)AxR|x|2xR|2x2，ABxR|2x2xR|x1xR|2x1(2)因?yàn)镹x|2xk0x|x，且MN，所以3k6.答案(1)D(2)k6要點(diǎn)四求函數(shù)的定義域求函數(shù)定義域的類型與方法(1)已給出函數(shù)解析式：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合(2)實(shí)際問題：求函數(shù)的定義域既要考慮解析式有意義，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題有意義(3)復(fù)合函數(shù)問題：若f(x)的定義域?yàn)閍，b，f(g(x)的定義域應(yīng)由ag(x)b解出；若f(g(x)的定義域?yàn)閍，b，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在a，b上的值域注意：f(x)中的x與f(g(x)中的g(x)地位相同；定義域所指永遠(yuǎn)是x的范圍【例4】(1)函數(shù)f(x)(2x1)0的定義域?yàn)?)ABCD(2)已知函數(shù)yf(x1)的定義域是1,2，則yf(13x)的定義域?yàn)?)ABC0,1D解析(1)由題意知解得x<1且x，即f(x)的定義域是.(2)由yf(x1)的定義域是1,2，則x12,1，即f(x)的定義域是2,1，令213x1解得0x1，即yf(13x)的定義域?yàn)?,1答案(1)D(2)C【訓(xùn)練4】已知函數(shù)f(x)2x3的值域?yàn)?,5，則它的定義域?yàn)?)A5,5B7,13C1,4D4,1解析可以畫出函數(shù)y2x3的圖象，再根據(jù)圖象來求；還可以運(yùn)用觀察法來求，當(dāng)f(x)5時(shí)，x4；當(dāng)f(x)5時(shí)，x1，所以定義域?yàn)?,4答案C要點(diǎn)五求函數(shù)的解析式求函數(shù)解析式的題型與相應(yīng)的解法(1)已知形如f(g(x)的解析式求f(x)的解析式，使用換元法或配湊法(2)已知函數(shù)的類型(往往是一次函數(shù)或二次函數(shù)，使用待定系數(shù)法)(3)含f(x)與f(x)或f(x)與f，使用解方程組法(4)已知一個(gè)區(qū)間的解析式，求另一個(gè)區(qū)間的解析式，可用奇偶性轉(zhuǎn)移法【例5】(1)已知f(2x3)2x23x，則f(x)_.(2)已知f(x)3f(x)2x1，則f(x)_.解析(1)令2x3t，得x(t3)，則f(t)2(t3)2(t3)t2t，所以f(x)x2x.(2)因?yàn)閒(x)3f(x)2x1，以x代替x得f(x)3f(x)2x1，兩式聯(lián)立得f(x)x.答案(1)x2x(2)x【訓(xùn)練5】已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式解設(shè)f(x)axb(a0)，則3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17，不論x為何值都成立，所以解得所以f(x)2x7.要點(diǎn)六函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性應(yīng)用的常見題型(1)用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性(2)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求單調(diào)區(qū)間(3)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性比較大小，解不等式(4)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求參數(shù)的取值范圍【例6】 已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(2).(1)求實(shí)數(shù)m和n的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間2，1上的最值解(1)f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，.比較得nn，n0.又f(2)，解得m2.因此，實(shí)數(shù)m和n的值分別是2和0.(2)由(1)知f(x).任取x1，x22，1，且x1x2，則f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).2x1x21，x1x20，x1x21，x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函數(shù)f(x)在2，1上為增函數(shù)，f(x)maxf(1)，f(x)minf(2).【訓(xùn)練6】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x)f(x)，f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，且f(2a2a1)<f(2a24a3)，求a的取值范圍解f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)又f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減又2a2a122>0，2a24a32(a1)21>0，由f(2a2a1)<f(2a24a3)知，2a2a1>2a24a3，得5a>2，a>.a的取值范圍是a>.要點(diǎn)七函數(shù)的圖象及應(yīng)用作函數(shù)圖象的方法(1)描點(diǎn)法求定義域；化簡；列表、描點(diǎn)、連線(2)變換法熟知函數(shù)的圖象的平移、伸縮、對(duì)稱、翻轉(zhuǎn)平移：yf(x) yf(xh)；yf(x) yf(x)k.(其中h>0，k>0)對(duì)稱：yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x) yf(x)特別提醒：要利用單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性簡化作圖【例7】已知函數(shù)f(x)x22|x|a，其中x3,3(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性(2)若a1，試說明函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出函數(shù)f(x)的值域解(1)因?yàn)槎x域3,3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)(x)22|x|ax22|x|af(x)，即f(x)f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)(2)當(dāng)0x3時(shí)，f(x)x22x1(x1)22；當(dāng)3x<0時(shí)，f(x)x22x1(x1)22.即f(x)根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)的圖象，如圖所示函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為3，1，(1,0)，0,1，(1,3f(x)在區(qū)間3，1，0,1上為減函數(shù)，在(1,0)，(1,3上為增函數(shù)當(dāng)0x3時(shí)，函數(shù)f(x)(x1)22的最小值為f(1)2，最大值為f(3)2；當(dāng)3x<0時(shí)，函數(shù)f(x)(x1)22的最小值為f(1)2，最大值為f(3)2.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2【訓(xùn)練7】對(duì)于任意xR，函數(shù)f(x)表示x3，x，x24x3中的較大者，則f(x)的最小值是_解析首先應(yīng)理解題意，“函數(shù)f(x)表示x3，x，x24x3中的較大者”是指對(duì)某個(gè)區(qū)間而言，函數(shù)f(x)表示x3，x，x24x3中最大的一個(gè)如圖，分別畫出三個(gè)函數(shù)的圖象，得到三個(gè)交點(diǎn)A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)從圖象觀察可得函數(shù)f(x)的表達(dá)式：f(x)f(x)的圖象是圖中的實(shí)線部分，圖象的最低點(diǎn)是點(diǎn)B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.答案2