跟蹤強化訓練(二十四)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．(20xx廣西三市第一次聯(lián)合調(diào)研)若拋物線y2＝2px(p>0)上的點A(x0，)到其焦點的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于(　　) A. B．1 C. D．2 [解析]　由題意3x0＝x0＋，x0＝，則＝2，∵p>0，∴p＝2.故選D. [答案]　D 2．(20xx深圳一模)過點(3,2)且與橢圓3x2＋8y2＝24有相同焦點的橢圓方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 [解析]　橢圓3x2＋8y2＝24的焦點為(，0)，可得c＝，設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1，可得＋＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的橢圓方程為＋＝1.故選C. [答案]　C 3．(20xx福州模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右頂點與拋物線y2＝8x的焦點重合，且其離心率e＝，則該雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [解析]　易知拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，所以雙曲線的右頂點是(2,0)，所以a＝2.又雙曲線的離心率e＝，所以c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以雙曲線的方程為－＝1，選A. [答案]　A 4．(20xx武漢調(diào)研)橢圓C：＋＝1的左、右頂點分別為A1、A2，點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. [解析]　橢圓的左頂點為A1(－2,0)、右頂點為A2(2,0)，設(shè)點P(x0，y0)，則＋＝1，得＝－.而kPA2＝，kPA1＝，所以kPA2kPA1＝＝－.又kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈.故選B. [答案]　B 5．(20xx合肥質(zhì)檢)已知雙曲線－x2＝1的兩條漸近線分別與拋物線y2＝2px(p>0)的準線交于A，B兩點．O為坐標原點．若△OAB的面積為1，則p的值為(　　) A．1 B. C．2 D．4 [解析]　雙曲線的兩條漸近線方程為y＝2x，拋物線的準線方程為x＝－，故A，B兩點的坐標為，|AB|＝2p，所以S△OAB＝2p＝＝1，解得p＝，故選B. [答案]　B 6．已知橢圓＋＝1(0<b<2)，左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|＋|AF2|的最大值為5，則b的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B. C. D. [解析]　由橢圓的方程，可知長半軸長a＝2；由橢圓的定義，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由橢圓的性質(zhì)，可知過橢圓焦點的弦中，通徑最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝，故選D. [答案]　D 7．(20xx長沙一模)A是拋物線y2＝2px(p>0)上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O為坐標原點，當|AF|＝4時，∠OFA＝120，則拋物線的準線方程是(　　) A．x＝－1 B．y＝－1 C．x＝－2 D．y＝－2 [解析]　過A向準線作垂線，設(shè)垂足為B，準線與x軸的交點為D.因為∠OFA＝120，所以△ABF為等邊三角形，∠DBF＝30，從而p＝|DF|＝2，因此拋物線的準線方程為x＝－1.選A. [答案]　A 8．(20xx廣州綜合測試)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓C上存在點P使∠F1PF2為鈍角，則橢圓C的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. [解析]　解法一：設(shè)P(x0，y0)，由題易知|x0|<a，因為∠F1PF2為鈍角，所以<0有解，即c2>x＋y有解，即c2>(x＋y)min，又y＝b2－x，x<a2，故x＋y＝b2＋x∈[b2，a2)，所以(x＋y)min＝b2，故c2>b2，又b2＝a2－c2，所以e2＝>，解得e>，又0<e<1，故橢圓C的離心率的取值范圍是，選A. 解法二：橢圓上存在點P使∠F1PF2為鈍角?以原點O為圓點，以c為半徑的圓與橢圓有四個不同的交點?b<c，如圖，由b<c，得a2－c2<c2，即a2<2c2，解得e＝>，又0<e<1，故橢圓C的離心率的取值范圍是，選A. [答案]　A 9．(20xx杭州第一次質(zhì)檢)設(shè)雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF2|＋|AF2|的最小值為(　　) A. B．11 C．12 D．16 [解析]　由雙曲線定義可得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，兩式相加可得|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB為經(jīng)過雙曲線的左焦點與左支相交的弦，而|AB|min＝＝3，故|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11.故選B. [答案]　B 10．(20xx武漢市武昌區(qū)高三三調(diào))已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點．若|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，且與反向，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. [解析]　設(shè)實軸長為2a，虛軸長為2b，令∠AOF＝α，則由題意知tanα＝，在△AOB中，∠AOB＝180－2α，tan∠AOB＝－tan2α＝，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，∴設(shè)|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理，得d＝m，∴－tan2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝＝a，∴e＝＝.故選C. [答案]　C 11．(20xx濟寧模擬)如圖，橢圓的中心在坐標原點O，頂點分別是A1，A2，B1，B2，焦點分別為F1，F(xiàn)2，延長B1F2與A2B2交于P點，若∠B1PA2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為(　　) A. B. C. D. [解析]　設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，∠B1PA2為鈍角可轉(zhuǎn)化為，所夾的角為鈍角，則(a，－b)(－c，－b)<0，得b2<ac，即a2－c2<ac，故2＋－1>0，即e2＋e－1>0，e>或e<，又0<e<1，∴<e<1，故選D. [答案]　D 12．(20xx蘭州模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線右支的一個交點為P，PF1與雙曲線相交于點Q，且|PQ|＝2|QF1|，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B．2 C. D. [解析]　如圖，連接PF2，QF2.由|PQ|＝2|QF1|，可設(shè)|QF1|＝m，則|PQ|＝2m，|PF1|＝3m；由|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝|PF1|－2a＝3m－2a；由|QF2|－|QF1|＝2a，得|QF2|＝|QF1|＋2a＝m＋2a.∵點P在以F1F2為直徑的圓上，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.由|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2，得(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝a， ∴|PF1|＝3m＝4a，|PF2|＝3m－2a＝2a.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|F1F2|＝2c，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，化簡得c2＝5a2，∴雙曲線的離心率e＝＝，故選A. [答案]　A 二、填空題 13．(20xx洛陽統(tǒng)考)已知F1、F2分別是雙曲線3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦點，P是拋物線y2＝8ax與雙曲線的一個交點，若|PF1|＋|PF2|＝12，則拋物線的準線方程為__________________． [解析]　將雙曲線方程化為標準方程得－＝1，∴其焦點坐標為(2a,0)，(2a,0)與拋物線的焦點重合，聯(lián)立拋物線與雙曲線方程得?x＝3a，而由?|PF2|＝6－a，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴拋物線的方程為y2＝8x，其準線方程為x＝－2. [答案]　x＝－2 14．(20xx?？谀M)橢圓＋＝1(a>b>0)的焦距為2，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上一點，∠F1PF2＝60，△PF1F2的面積為2，則橢圓的標準方程為__________________． [解析]　由題意，得c＝， ∴a2－b2＝c2＝3.∵∠F1PF2＝60， △PF1F2的面積為2， ∴|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝|PF1||PF2|＝2， ∴|PF1||PF2|＝8. 又∵|PF1|＋|PF2|＝2a，由余弦定理得4c2＝12＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4a2－38， 解得a2＝9，故b2＝6，因此橢圓的方程為＋＝1. [答案]?。? 15．(20xx全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60，則C的離心率為________． [解析]　∵AM＝AN＝b，∠MAN＝60，∴△MAN是等邊三角形， ∴在△MAN中，MN上的高h＝b. ∵點A(a,0)到漸近線bx－ay＝0的距離d＝＝，∴＝b，∴e＝＝＝. [答案]　 16．(20xx西安四校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于P、Q兩點，若P恰為線段F1Q的中點，且QF1⊥QF2，則此雙曲線的漸近線方程為____________． [解析]　根據(jù)題意，P是線段F1Q的中點，QF1⊥QF2，且O是線段F1F2的中點，故OP⊥F1Q，而兩條漸近線關(guān)于y軸對稱，故∠POF1＝∠QOF2，又∠POF1＝∠POQ，所以∠QOF2＝60，漸近線的斜率為，故漸近線方程為y＝x. [答案]　y＝x