第七節(jié)雙曲線考綱傳真1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第125頁(yè)) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1雙曲線的定義(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線，兩焦點(diǎn)之間的距離叫作焦距其中a，c為常數(shù)且a0，c0.(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形條件2a2c，c2a2b2，a0，b0，c0范圍xa或xa且yRya或ya且xR對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸坐標(biāo)軸、對(duì)稱(chēng)中心原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)漸近線yxyx實(shí)軸、虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)度|A1A2|2a；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)度|B1B2|2b；b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)焦距|F1F2|2c(c2a2b2)離心率e(1，)，e越接近于時(shí)，雙曲線開(kāi)口越大；e越接近于1時(shí)，雙曲線開(kāi)口越小3. 等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為yx，離心率為e.知識(shí)拓展1巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線1(a0，b0)有共同漸近線的方程可設(shè)為(0)(2)等軸雙曲線可設(shè)為x2y2(0)(3)過(guò)已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(mn0)2焦點(diǎn)三角形的面積雙曲線1(a0，b0)上一點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形F1PF2中，若F1PF2，則SF1PF2|PF1|PF2|sin b2.3離心率與漸近線的斜率的關(guān)系e21，其中是漸近線的斜率4過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的半弦長(zhǎng)為.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a()A2BCD1D依題意，e2，2a，則a21，a1.3(20xx福州質(zhì)檢)若雙曲線E：1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于()A11B9 C5D3B由題意知a3，b4，c5.由雙曲線的定義|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.4(20xx全國(guó)卷)已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則APF的面積為()A BCDD因?yàn)镕是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，所以F(2,0)因?yàn)镻Fx軸，所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2，yP)因?yàn)镻是C上一點(diǎn)，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3.又因?yàn)锳(1,3)，所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1，所以SAPF|PF|131.故選D5(20xx北京高考改編)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線為2xy0，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則雙曲線的方程為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090297】x21由于2xy0是1的一條漸近線，2，即b2a，又雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則c，由a2b2c2，得a2b25，聯(lián)立得a21，b24.所求雙曲線的方程為x21.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第126頁(yè))雙曲線的定義及應(yīng)用(1)(20xx長(zhǎng)春模擬)已知雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)若|PF1|PF2|，則F1PF2的面積為()A48B24C12D6(2)已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090298】(1)B(2)x21(x1)(1)由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形，因此SPF1F2|PF1|PF2|24.(2)如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B，動(dòng)圓M的半徑為r，根據(jù)兩圓外切的條件得|MC1|1r|MC2|3r所以|MC2|MC1|2所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，則b28.故點(diǎn)M的軌跡方程為x21(x1)規(guī)律方法1.應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問(wèn)題：在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)間的距離”若定義中的“絕對(duì)值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支同時(shí)需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用2在焦點(diǎn)三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將|PF1|PF2|2a平方，建立與|PF1|PF2|間的聯(lián)系變式訓(xùn)練1(1)已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上若|F1A|2|F2A|，則cosAF2F1()ABCD(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線1的左，右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，則|AP|AF2|的最小值為()A4 B4C2D2(1)A(2)C(1)由e2得c2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|F2A|2A又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1.(2)由題意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|的最小值為|AP|AF1|2a2.故選C雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)(20xx天津高考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為()A1 B1Cy21Dx21(2)(20xx天津高考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為()Ay21Bx21C1D1(1)D(2)A(1)根據(jù)題意畫(huà)出草圖如圖所示.由AOF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形得到AOF60，c|OF|2.又點(diǎn)A在雙曲線的漸近線yx上，tan 60.又a2b24，a1，b，雙曲線的方程為x21.故選D(2)由焦距為2得c.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以雙曲線的方程為y21.規(guī)律方法1.確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程需要一個(gè)“定位”條件，兩個(gè)“定量”條件“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法若雙曲線的焦點(diǎn)位置不能確定時(shí)，可設(shè)其方程為Ax2By21(AB<0)2對(duì)于共焦點(diǎn)、共漸近線的雙曲線方程，可靈活設(shè)出恰當(dāng)?shù)男问角蠼馊粢阎獫u近線方程為mxny0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2n2y2(0)變式訓(xùn)練2(1)(20xx全國(guó)卷)已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為yx，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090299】(2)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)(1)y21(2)1(1)雙曲線的漸近線方程為yx，可設(shè)雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，)，164()24，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P，則|PF1|PF2|8.由雙曲線的定義知：a4，b3.故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，即1.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)(20xx全國(guó)卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()ABCD2(2)(20xx石家莊調(diào)研)設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過(guò)F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)(1)A(2)xy0(1)如圖，因?yàn)镸F1x軸，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負(fù)值舍去)(2)由題設(shè)易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.因?yàn)锳1BA2C，所以1，整理得aB因此該雙曲線的漸近線方程為yx，即xy0.規(guī)律方法1.(1)求雙曲線的漸近線，要注意雙曲線焦點(diǎn)位置的影響；(2)求離心率的關(guān)鍵是確定含a，b，c的齊次方程，但一定注意e>1這一條件2雙曲線中c2a2b2，可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系.抓住雙曲線中“六點(diǎn)”“四線”“兩三角形”，研究a，b，c，e間相互關(guān)系及轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題過(guò)程變式訓(xùn)練3(1)(20xx全國(guó)卷)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為()AB2 CD(2)已知雙曲線x21的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最小值為()A2BC1D0(1)D(2)A (1)不妨取點(diǎn)M在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則|BM|AB|2a，MBx18012060，M點(diǎn)的坐標(biāo)為.M點(diǎn)在雙曲線上，1，ab，ca，e.故選D(2)由已知可得A1(1,0)，F(xiàn)2(2,0)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)(x1)，則(1x，y)(2x，y)x2x2y2，因?yàn)閤21，即y23(x21)，所以4x2x542，故當(dāng)x1時(shí)，有最小值2.