第四節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì)題型95 證明空間中直線、平面的平行關(guān)系1（20xx廣東文8）設(shè)為直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是A若，則 B若，則C若，則 D若，則2. （20xx浙江文4）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面， A.若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則3. （20xx山東文19） 如圖，四棱錐中，分別為的中點（1）求證：平面；（2）求證：平面平面4. （20xx江蘇16）如圖，在三棱錐中，平面平面，過作，垂足為，點分別是棱的中點.求證：（1）平面平面；（2）.5.（20xx遼寧文18）如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，是圓上的點.（1）求證：平面；（2）設(shè)為的中點，為的重心，求證：平面.6. (20xx陜西文18）如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，.（1）證明：平面平面；（2）求三棱柱的體積.1.（20xx山東文18）如圖所示，四棱錐中分別為線段的中點.（1）求證：；（2）求證：.2.（20xx安徽文19） 如圖所示，四棱錐的底面是邊長為的正方形，四條側(cè)棱長均為.點分別是棱上共面的四點，平面平面，平面.（1）求證：（2）若，求四邊形的面積.1.（20xx廣東文18）如圖所示， 所在的平面與長方形所在的平面垂直，(1)求證：平面；(2)求證：；(3)求點到平面的距離1. 解析 （1）因為四邊形是長方形，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）因為四邊形是長方形，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.因為平面，所以.（3）解法一：取的中點，連接和，如圖所示.因為，所以.在中，.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.由（2）知平面，由（1）知，所以平面.因為平面，所以.設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，即，所以點到平面的距離是.解法二：過點作交的延長線于點，取的中點，連接，如圖所示.由（2）知平面，由（1）知，所以平面.又平面，所以. 因為，所以平面.則的長度即為點到平面的距離.因為，所以.在與中，所以，所以.在中，.則，得.故點到平面的距離為.2.（20xx江蘇16）如圖所示，在直三棱柱中，已知，設(shè)的中點為，求證：（1）平面；（2）2.解析 （1）因為四邊形是矩形，所以是的中點. 又是的中點，因此是的中位線，故.又平面，平面，所以平面（2）因為平面，平面，所以，又，從而平面.因為平面，所以因為，為的中點，所以.因為，所以平面.又因為平面，所以1.(20xx浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直線.若直線，滿足，則（ ）.A. B. C. D. 1.C 解析 對于選項A，因為，所以.又因為，所以與平行或異面.故選項A不正確；對于選項B和D，因為，所以或.又因為，所以與的關(guān)系平行、相交或異面都有可能.故選項B和D不正確；對于選項C，因為所以因為所以，故選項C正確，故選C.2.(20xx上海文16)如圖所示，在正方體中，分別為的中點，則下列直線中與直線相交的是（ ）.A.直線 B.直線 C.直線 D.直線2.D 解析 易知與在兩個平行平面內(nèi)，故不可能相交；平面，平面，故不可能相交；同理與也不可能相交；與均在平面內(nèi)，且與不平行，故相交，其交點如圖所示.故選D.3.（20xx江蘇16）如圖所示，在直三棱柱中，分別為的中點，點在側(cè)棱上，且，.求證：（1）直線平面；（2）平面平面.3.解析 （1）因為分別為的中點，所以為的中位線，所以，又因為三棱柱為直棱柱，故，所以，又因為平面，且，故平面.（2）三棱柱為直棱柱，所以平面.又平面，故.又，且，平面，所以平面.又因為平面，所以.又因為，且平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.4.（20xx天津文17）如圖所示，四邊形是平行四邊形，平面平面，為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.4.解析 （1）如圖所示，取的中點為，聯(lián)結(jié)，.在中，因為是的中點，所以且.又因為，所以且，即四邊形是平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面（2）在中，.由余弦定理可得，進而可得，即.又因為平面平面，平面，平面平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（3）因為，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角.過點作于點，連接，如圖所示. 又因為平面平面，由（2）知平面，所以直線與平面所成角即為.在中，.由余弦定理可得，所以，因此.在中，所以直線與平面所成角的正弦值為.5（20xx山東文18）在如圖所示的幾何體中，是的中點，.（1）已知，. 求證：；（2）已知分別是和的中點.求證：平面.5. 解析 （1）因為，所以與確定一個平面，連接，如圖（1）所示. 因為為的中點，所以；同理可得. 又因為，所以平面，因為平面，所以.（2）設(shè)的中點為，連接，如圖（2）所示. 在中，是的中點，所以.又，所以；在中，是的中點，所以.又，所以平面平面.因為平面，所以平面. （1） (2)6.（20xx全國丙文19）如圖所示，四棱錐中，底面，為線段上一點，為的中點.（1）證明平面；（2）求四面體的體積.6.解析（1）取中點，連接、，因為是中點，且，又，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形.所以.又平面，平面，所以平面.(2)由(1) 平面.所以.所以.1.（20xx全國1文6）如圖所示，在下列四個正方體中，為正方體的兩個頂點，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是（ ）.1.解析 由選項B，則直線平面；由選項C，則直線平面；由選項D，則直線平面.故選項A不滿足.故選A.2.（20xx全國2文18）如圖所示，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，.（1）證明：直線平面；（2）若面積為，求四棱錐的體積.解析 （1）在平面內(nèi)，因為，所以.又平面，平面，故平面.（2）取的中點，聯(lián)結(jié)，.由，及，得四邊形為正方形，則.因為側(cè)面是等邊三角形且垂直于底面，平面平面，所以，因為平面，所以平面.因為平面，所以.設(shè)，則，.取的中點，聯(lián)結(jié)，則，所以.因為的面積為，所以，解得（舍去），于是，.所以四棱錐的體積.3.（20xx山東文18）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為正方形，為與的交點，為的中點，平面.（1）證明：平面；（2）設(shè)是的中點，證明：平面平面.解析（1）如圖所示，取中點，聯(lián)結(jié)，由于為四棱柱，所以，因此四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因為四邊形是正方形，所以，分別為和的中點，所以.又 面，平面，所以.因為 ，所以.又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.解析（1）如圖所示，取中點，聯(lián)結(jié)，由于為四棱柱，所以，因此四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因為四邊形是正方形，所以，分別為和的中點，所以.又 面，平面，所以.因為 ，所以.又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.4.（20xx江蘇15）如圖所示，在三棱錐中， 平面平面， 點（與不重合）分別在棱上，且求證：（1）平面； （2）解析 （1）在平面內(nèi)，因為，且點與點不重合，所以.又因為平面，平面，所以平面.（2）因為平面平面，平面平面， 平面，所以平面.因為平面，所以.又，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以.題型96 與平行有關(guān)的開放性、探究性問題27.（20xx四川文18）在如圖所示的多面體中，四邊形和都為矩形.（1）若，求證：直線平面；（2）設(shè)，分別是線段，的中點，在線段上是否存在一點，使直線平面？請證明你的結(jié)論.1.（20xx陜西文18）如圖1所示，在直角梯形中，是的中點，是與的交點，將沿折起到圖2中的位置，得到四棱錐時，四棱錐的體積為，求的值.1.解析 (1)在圖1中，因為，是的中點，且所以四邊形是正方形，故.又在圖2中，從而平面.又 且，所以，即可證得平面；(2)由已知，平面平面，且平面平面.又由(1)知，所以平面，即是四棱錐的高，且.平行四邊形面積，從而四棱錐的體積，由，得.1.（20xx四川文17）如圖所示，在四棱錐中，.（1）在平面內(nèi)找一點，使得直線平面，并說明理由； （2）證明：平面平面 1.解析（1）取棱的中點平面，點即為所求的一個點.證明如下：因為，所以，且所以四邊形是平行四邊形，從而又平面，平面，所以平面 (說明：取棱的中點，則所找的點可以是直線上任意一點). （2）由已知，因為，所以直線與相交，所以平面從而因為，所以，且 所以四邊形是平行四邊形.所以，所以又，所以平面又平面，所以平面平面2.（20xx北京文18）如圖所示，在四棱錐中，平面，.（1）求證：平面； （2）求證：平面平面；（3）設(shè)點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面?說明理由.2.解析 （1）因為平面，所以.又因為，.所以平面.（2）由（1）知，平面，又，所以平面. 又平面，所以平面平面（3）棱上存在點，使得平面.證明如下.取中點，聯(lián)結(jié).又因為為的中點，所以.又因為平面，所以平面.