人教版高中數(shù)學(xué)精品資料第1課時(shí)綜合法和分析法核心必知1預(yù)習(xí)教材，問(wèn)題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P36P41的內(nèi)容，回答下列問(wèn)題(1)閱讀教材P36“已知a，b>0，求證a(b2c2)b(c2a2)4abc”的證明過(guò)程，思考下列問(wèn)題：該題的條件和結(jié)論各是什么？提示：條件：a，b>0；結(jié)論：a(b2c2)b(c2a2)4abc.本題的證明過(guò)程是從“已知條件”出發(fā)，還是從“要證明的結(jié)論”出發(fā)？即證明該題的順序是什么？提示：本題是從已知條件a，b>0出發(fā)，借助基本不等式證明待證結(jié)論的(2)閱讀教材中證明基本不等式“(a>0，b>0)”的過(guò)程，回答下列問(wèn)題：該證明過(guò)程是從“條件”還是從“結(jié)論”開(kāi)始證明的？提示：從結(jié)論開(kāi)始證明的該證明過(guò)程是綜合法嗎？提示：不是該證明過(guò)程的實(shí)質(zhì)是尋找使結(jié)論成立的什么條件？提示：充分條件2歸納總結(jié)，核心必記(1)綜合法綜合法的定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法綜合法的框圖表示(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論)(2)分析法分析法的定義從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)，這種證明的方法叫做分析法分析法的框圖表示問(wèn)題思考(1)綜合法與分析法的推理過(guò)程是合情推理還是演繹推理？提示：綜合法與分析法的推理過(guò)程是演繹推理，它們的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理，從而得到的每一個(gè)結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”(2)綜合法與分析法有什么區(qū)別？提示：綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因?qū)Ч?；分析法是從待求結(jié)論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因(3)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc1，求證：8.證明過(guò)程如下：a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc1.10，10，10，8，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)，不等式成立這種證明方法是綜合法還是分析法？提示：綜合法課前反思(1)綜合法的定義是什么？如何用框圖表示綜合法？；(2)分析法的定義是什么？如何用框圖表示分析法？.講一講1設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1)abbcac；(2)1.嘗試解答(1)由a2b22ab，b2c2 2bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.利用綜合法證明問(wèn)題的步驟(1)分析條件選擇方向：仔細(xì)分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法(2)轉(zhuǎn)化條件組織過(guò)程：把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語(yǔ)言，主要是文字、符號(hào)、圖形三種語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化，組織過(guò)程時(shí)要有嚴(yán)密的邏輯，簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言，清晰的思路(3)適當(dāng)調(diào)整回顧反思：解題后回顧解題過(guò)程，可對(duì)部分步驟進(jìn)行調(diào)整，并對(duì)一些語(yǔ)言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎棧此伎偨Y(jié)解題方法的選取練一練1已知xyzm.求證：x2y2z2.證明：xyzm，(xyz)2x2y2z22(xyyzzx)m2.又x2y22xy，y2z22yz，z2x22xz，2(x2y2z2)2(xyyzzx)，即x2y2z2xyyzzx，m2x2y2z22(xyyzzx)3(x2y2z2)x2y2z2.思考1分析法的證明過(guò)程是什么？名師指津：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理的過(guò)程，實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件思考2分析法的書(shū)寫格式是什么？名師指津：分析法的書(shū)寫格式是：“要證，只需證，只需證，由于顯然成立(已知，已證)，所以原結(jié)論成立”其中的關(guān)聯(lián)詞語(yǔ)不能省略講一講2已知a0，求證： a2.嘗試解答要證 a2.只需證 2a.因?yàn)閍0，故只需證22，即a244a2222，從而只需證2，只需證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立 (1)當(dāng)問(wèn)題的證明用綜合法不易尋找思路時(shí)，可從待證的結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后得到一個(gè)明顯成立的條件，從而得原問(wèn)題成立(2)含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式的證明，若從正面不易推導(dǎo)時(shí)，可以考慮用分析法(3)書(shū)寫形式：要證，只需證，即證，然后得到一個(gè)明顯成立的條件，所以結(jié)論成立練一練2當(dāng)a2時(shí)，求證：<.證明：要證<，只需證<，只需證()2<()2，只需證a1a22<aa12，只需證<，只需證(a1)(a2)<a(a1)，即證2<0，而2<0顯然成立，所以<成立講一講3已知a，b，c表示ABC的三邊長(zhǎng)，m0，求證：.先用分析法將要證明的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用綜合法證明嘗試解答要證明.只需證明0即可而.因?yàn)閍0，b0，c0，m0，所以(am)(bm)(cm)0.因?yàn)閍(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2.因?yàn)锳BC中任意兩邊之和大于第三邊，所以abc0，所以(abc)m20，所以2abmabc(abc)m20，所以.對(duì)于比較復(fù)雜的證明題，常用分析綜合法，即先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件之間的關(guān)系，找到解決問(wèn)題的思路，再運(yùn)用綜合法證明，或在證明過(guò)程中將兩種方法交叉使用練一練3已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0<x<1.求證：logxlogxlogx<logxalogxblogxc.證明：要證logxlogxlogx<logxalogxblogxc，只需要證明logx<logx(abc)，由0<x<1知，只需證明>abc.由基本不等式得>0，>0，>0，又a，b，c是不全相等的正數(shù)，>abc.即>abc成立logxlogxlogx<logxalogxblogxc成立課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是綜合法和分析法的應(yīng)用，難點(diǎn)是分析綜合法的應(yīng)用2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)利用綜合法解決問(wèn)題，見(jiàn)講1；(2)利用分析法解決問(wèn)題，見(jiàn)講2；(3)利用分析綜合法解決問(wèn)題，見(jiàn)講3.3在利用分析法證明問(wèn)題時(shí)，一定要恰當(dāng)使用好“要證”、“只需證”、“即證”等詞語(yǔ)，這也是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)課下能力提升(五)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1綜合法的應(yīng)用1在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，則ABC一定是()A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形 D等邊三角形解析：選C由sin Asin Bcos Acos B得cos Acos Bsin Asin B0，即cos(AB)0，cos C0，cos C0，從而角C必為鈍角，ABC一定為鈍角三角形2使不等式1成立的正整數(shù)a的最大值是()A13 B12 C11 D10解析：選B由1得a(1)2.而(1)23812221242412.68.因此使不等式成立的正整數(shù)a的最大值為12.3在銳角ABC中，已知3b2asin B，且cos Bcos C，求證：ABC是等邊三角形證明：ABC為銳角三角形，A，B，C，由正弦定理及條件，可得3sin B2sin Asin B.B，sin B0.32sin Asin A.A，A.又cos Bcos C，且B，C.BC.又BC，ABC.從而ABC是等邊三角形題組2分析法的應(yīng)用4. <成立的充要條件是()Aab(ba)>0 Bab>0且a>bCab<0且a<b Dab(ba)<0解析：選D <，()3<()3，ab33<ab， < ，ab2<a2b，ab(ba)<0.5將下面用分析法證明ab的步驟補(bǔ)充完整：要證ab，只需證a2b22ab，也就是證_，即證_，由于_顯然成立，因此原不等式成立解析：用分析法證明ab的步驟為：要證ab成立，只需證a2b22ab，也就是證a2b22ab0，即證(ab)20.由于(ab)20顯然成立，所以原不等式成立答案：a2b22ab0(ab)20(ab)206已知a，b，ab1，求證：2.證明：要證2，只需證2(ab)228.因?yàn)閍b1，即證2.因?yàn)閍，b，所以2a10,2b10，所以2.即2成立，因此原不等式成立題組3綜合法與分析法的綜合應(yīng)用7設(shè)a，b(0，)，且ab，求證：a3b3a2bab2.證明：法一：要證a3b3a2bab2成立，只需證(ab)(a2abb2)ab(ab)成立又因?yàn)閍b0，所以只需證a2abb2ab成立即需證a22abb20成立，即需證(ab)20成立而依題設(shè)ab，則(ab)20顯然成立由此命題得證法二：abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.因?yàn)閍0，b0，所以ab0，(ab)(a2abb2)ab(ab)所以a3b3a2bab2.8已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，求證：(ab)1(bc)13(abc)1.證明：法一：(分析法)要證(ab)1(bc)13(abc)1，即證，只需證3，化簡(jiǎn)，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需證c2a2b2ac.因?yàn)锳BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B60，所以cos B，即a2c2b2ac成立所以(ab)1(bc)13(abc)1成立法二：(綜合法)因?yàn)锳BC的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60.所以c2a2acb2，兩邊加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，兩邊同時(shí)除以(ab)(bc)，得1，所以3，即，所以(ab)1(bc)13(abc)1.能力提升綜合練1下列函數(shù)f(x)中，滿足“對(duì)任意x1，x2(0，)，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)解析：選A本題就是找哪一個(gè)函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)，A項(xiàng)中，f(x)0，f(x)在(0，)上為減函數(shù)2已知a0，b0，mlg，nlg，則m與n的大小關(guān)系為()Amn BmnCmn D不能確定解析：選A由a0，b0，得0，所以ab2ab，所以()2()2，所以，所以lglg，即mn，故選A.3設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)1，f(2)，則a的取值范圍是()Aa Ba，且a1Ca或a1 D1a解析：選Df(x)以3為周期，f(2)f(1)又f(x)是R上的奇函數(shù)，f(1)f(1)，則f(2)f(1)f(1)再由f(1)1，可得f(2)1，即1，解得1a.4已知a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，且，則()A. B.C. D以上均可能解析：選A先取特殊值檢驗(yàn)，可取a1，b3，c1，d2，則，滿足.要證，a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，只需證a(bd)b(ac)，即證adbc.只需證.而成立，.同理可證.故A正確5若lg xlg y2lg(x2y)，則log_.解析：由條件知lg xylg(x2y)2，所以xy(x2y)2，即x25xy4y20，即2540，所以4或1.又x2y，故4，所以loglog44.答案：46已知sin cos 且，則cos 2_.解析：因?yàn)閟in cos ，所以1sin 2，所以sin 2.因?yàn)椋?.所以cos 2.答案：7設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列；(3)若Tn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：Tn.解：(1)當(dāng)n1時(shí)，2a1a212，解得a24.(2)證明：2Snnan1n3n2n.當(dāng)n2時(shí)，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，得2annan1(n1)ann2n.整理得nan1(n1)ann(n1)，即1，1，當(dāng)n1時(shí)，211.所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(3)由(2)可知n，即ann2. (n2)，Tn11.8設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，若函數(shù)f(x1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：f為偶函數(shù)證明：要證f為偶函數(shù)，只需證明其對(duì)稱軸為直線x0，即只需證0，只需證ab(中間結(jié)果)，由已知，拋物線f(x1)的對(duì)稱軸x1與拋物線f(x)的對(duì)稱軸x關(guān)于y軸對(duì)稱所以1.于是得ab(中間結(jié)果)所以f為偶函數(shù)第2課時(shí)反證法核心必知1預(yù)習(xí)教材，問(wèn)題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P42P43的內(nèi)容，回答下列問(wèn)題著名的“道旁苦李”的故事：王戎小時(shí)候愛(ài)和小朋友在路上玩耍一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹(shù)上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒(méi)動(dòng)等到小朋友摘了李子一嘗，原來(lái)是苦的他們都問(wèn)王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說(shuō)：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這棵樹(shù)上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的”王戎的論述運(yùn)用了什么推理思想？提示：反證法思想2歸納總結(jié)，核心必記(1)反證法假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法(2)反證法常見(jiàn)矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等問(wèn)題思考(1)反證法解題的實(shí)質(zhì)是什么？提示：反證法解題的實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題結(jié)論正確(2)用反證法證明命題時(shí)，“a、b、c都是偶數(shù)”的否定是什么？提示：a、b、c不都是偶數(shù)課前反思通過(guò)以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)(1)反證法的定義是什么？；(2)反證法常見(jiàn)的矛盾類型有哪些？.講一講1已知f(x)ax(a>1)，證明方程f(x)0沒(méi)有負(fù)實(shí)根嘗試解答假設(shè)方程f(x)0有負(fù)實(shí)根x0，則x0<0且x01且ax0，由0<ax0<10<<1，解得<x0<2，這與x0<0矛盾故方程f(x)0沒(méi)有負(fù)實(shí)根(1)用反證法證明否定性命題的適用類型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題，此類問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法(2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟練一練1設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)求證：f(x)0無(wú)整數(shù)根證明：假設(shè)f(x)0有整數(shù)根n，則an2bnc0(nZ)，而f(0)，f(1)均為奇數(shù)，即c為奇數(shù)，ab為偶數(shù)，則an2bnc為奇數(shù)，即n(anb)為奇數(shù)n，anb均為奇數(shù)，又ab為偶數(shù)，ana為奇數(shù)，即a(n1)為奇數(shù)，n1為奇數(shù)，這與n為奇數(shù)矛盾f(x)0無(wú)整數(shù)根講一講2已知a，b，c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.嘗試解答假設(shè)(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.因?yàn)閍，b，c(0,1)，所以1a0,1b0,1c0.所以.同理，.三式相加得，即，矛盾所以(1a)b，(1b)c，(1c) a不能都大于.證明時(shí)常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”練一練2已知函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)求證：函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上至多有一個(gè)零點(diǎn)證明：假設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)x1，x2(x1x2)為函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1x2，則f(x1)f(x2)0.因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)，x1，x2(a，b)且x1x2，f(x1)f(x2)，與f(x1)f(x2)0矛盾，假設(shè)不成立，故原命題正確.講一講3已知：一點(diǎn)A和平面.求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A只能有一條直線和平面垂直 嘗試解答根據(jù)點(diǎn)A和平面的位置關(guān)系，分兩種情況證明(1)如圖，點(diǎn)A在平面內(nèi)，假設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A至少有平面的兩條垂線AB，AC，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個(gè)平面，平面和平面相交于經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一條直線a.因?yàn)锳B平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中經(jīng)過(guò)直線上一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾(2)如圖，點(diǎn)A在平面外，假設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A至少有平面的兩條垂線AB，AC(B，C為垂足)，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個(gè)平面，平面和平面相交于直線BC，因?yàn)锳B平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.在平面內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾何中經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾綜上，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)A只能有平面的一條垂線證明“唯一性”問(wèn)題的方法“唯一性”包含“有一個(gè)”和“除了這個(gè)沒(méi)有另外一個(gè)”兩層意思證明后一層意思時(shí)，采用直接證明往往會(huì)相當(dāng)困難，因此一般情況下都采用間接證明，即用反證法(假設(shè)“有另外一個(gè)”，推出矛盾)或同一法(假設(shè)“有另外一個(gè)”，推出它就是“已知那一個(gè)”)證明，而用反證法有時(shí)比用同一法更方便提醒：證明“有且只有”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性練一練3用反證法證明：過(guò)已知直線a外一點(diǎn)A有且只有一條直線b與已知直線a平行證明：由兩條直線平行的定義可知，過(guò)點(diǎn)A至少有一條直線與直線a平行假設(shè)過(guò)點(diǎn)A還有一條直線b與已知直線a平行，即bbA，ba.因?yàn)閎a，由平行公理知bb.這與假設(shè)bbA矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是反證法及其應(yīng)用，難點(diǎn)是用反證法證明相關(guān)問(wèn)題2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)用反證法證明“否定性”命題，見(jiàn)講1；(2)用反證法證明“至多”、“至少”型命題，見(jiàn)講2；(3)用反證法證明“唯一性”命題，見(jiàn)講3.3要正確掌握常見(jiàn)“結(jié)論詞”的“反設(shè)詞”，這是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)課下能力提升(六)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1用反證法證明“否定性”命題1應(yīng)用反證法推出矛盾的推理過(guò)程中，可作為條件使用的是()結(jié)論的否定；已知條件；公理、定理、定義等；原結(jié)論A BC D解析：選C根據(jù)反證法的基本思想，應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中可把“結(jié)論的否定”、“已知條件”、“公理、定理、定義”等作為條件使用2用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：ABC9090C>180，這與三角形內(nèi)角和為180矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角假設(shè)ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)A90，B90.上述步驟的正確順序?yàn)開(kāi)答案：3等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列解：(1)設(shè)公差為d，由已知得解得d2，故an2n1， Snn(n)(2)證明：由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr，即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0.又p，q，rN*，所以所以2pr.(pr)20，所以pr，這與pr矛盾所以數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列題組2用反證法證明“至多”、“至少”型命題4用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60”時(shí)，假設(shè)正確的是()A假設(shè)三內(nèi)角都不大于60B假設(shè)三內(nèi)角都大于60C假設(shè)三內(nèi)角至少有一個(gè)大于60D假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60解析：選B“至少有一個(gè)”即“全部中最少有一個(gè)”5設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足abc1，則a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于_解析：假設(shè)a、b、c都小于，則abc1與abc1矛盾故a、b、c中至少有一個(gè)不小于.答案：6若x>0，y>0，且xy>2，求證：與中至少有一個(gè)小于2.解：假設(shè)與都不小于2，即2，2.又x>0，y>0，1x2y,1y2x.兩式相加得2xy2(xy)，即xy2.這與已知xy>2矛盾所以假設(shè)不成立，所以與中至少有一個(gè)小于2.題組3用反證法證明“唯一性”命題7用反證法證明命題“關(guān)于x的方程axb(a0)有且只有一個(gè)解”時(shí)，反設(shè)是關(guān)于x的方程axb(a0)()A無(wú)解 B有兩解C至少有兩解 D無(wú)解或至少有兩解解析：選D“唯一”的否定上“至少兩解或無(wú)解”8“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定正確的為()Aa，b，c都是奇數(shù)Ba，b，c都是偶數(shù)Ca，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)Da，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)解析：選D自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：(1)3個(gè)都是奇數(shù)；(2)2個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)；(3)1個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)；(4)3個(gè)都是偶數(shù)所以否定正確的是a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)9求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)證明：因?yàn)閮芍本€為相交直線，故至少有一個(gè)交點(diǎn)，假設(shè)兩條直線a，b不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，這樣同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的直線就有兩條，這與“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾綜上所述，兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)能力提升綜合練1用反證法證明命題“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個(gè)能被5整除”，則假設(shè)的內(nèi)容是()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除 Da，b有1個(gè)不能被5整除解析：選B用反證法只否定結(jié)論即可，而“至少有一個(gè)”的反面是“一個(gè)也沒(méi)有”，故B正確2有以下結(jié)論：已知p3q32，求證pq2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)pq2；已知a，bR，|a|b|<1，求證方程x2axb0的兩根的絕對(duì)值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1，即假設(shè)|x1|1.下列說(shuō)法中正確的是()A與的假設(shè)都錯(cuò)誤B與的假設(shè)都正確C的假設(shè)正確；的假設(shè)錯(cuò)誤D的假設(shè)錯(cuò)誤；的假設(shè)正確解析：選D用反證法證題時(shí)一定要將對(duì)立面找準(zhǔn)在中應(yīng)假設(shè)pq>2.故的假設(shè)是錯(cuò)誤的，而的假設(shè)是正確的3設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a，b，c()A都大于2 B至少有一個(gè)大于2C至少有一個(gè)不大于2 D至少有一個(gè)不小于2解析：選D因?yàn)閍、b、c都是正數(shù)，則有6.故三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2.4已知數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式分別為anan2，bnbn1(a，b是常數(shù))，且ab，那么兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與數(shù)值均相同的項(xiàng)的個(gè)數(shù)有()A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D無(wú)窮多個(gè)解析：選A假設(shè)存在序號(hào)和數(shù)值均相等的項(xiàng)，即存在n使得anbn，由題意ab，nN*，則恒有anbn，從而an2bn1恒成立，不存在n使得anbn.5已知平面平面直線a，直線b，直線c，baA，ca，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應(yīng)假設(shè)_解析：空間中兩直線的位置關(guān)系有3種：異面、平行、相交，應(yīng)假設(shè)b與c平行或相交答案：b與c平行或相交6完成反證法證題的全過(guò)程題目：設(shè)a1，a2，a7是1,2，7的一個(gè)排列，求證：乘積p(a11)(a22)(a77)為偶數(shù)證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則_均為奇數(shù)因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)_0.這與0為偶數(shù)矛盾，說(shuō)明p為偶數(shù)解析：證明過(guò)程應(yīng)為：假設(shè)p為奇數(shù)，則有a11，a22，a77均為奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.這與0為偶數(shù)矛盾，說(shuō)明p為偶數(shù)答案：a11，a22，a77(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)7設(shè)a，b是異面直線，在a上任取兩點(diǎn)A1，A2，在b上任取兩點(diǎn)B1，B2，試證：A1B1與A2B2也是異面直線證明：假設(shè)A1B1與A2B2不是異面直線，則A1B1與A2B2可以確定一個(gè)平面，點(diǎn)A1，A2，B1，B2都在平面內(nèi)，于是A1A2，B1B2，即a，b，這與已知a，b是異面直線矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤所以A1B1與A2B2也是異面直線8用反證法證明：對(duì)于直線l：yxk，不存在這樣的非零實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2y21的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線yx對(duì)稱證明：假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線yx對(duì)稱，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則線段AB的中點(diǎn)M在直線yx上，由得2x22kx1k20.x1x2k，可得M.這與M在直線yx上矛盾所以假設(shè)不成立，故不存在非零實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線yx對(duì)稱