第22練 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題訓(xùn)練目標(biāo)(1)利用導(dǎo)數(shù)處理與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的題型；(2)解題步驟的規(guī)范訓(xùn)練訓(xùn)練題型(1)利用導(dǎo)數(shù)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)利用導(dǎo)數(shù)證明零點(diǎn)的唯一性；(3)根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)借助導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍解題策略(1)注重?cái)?shù)形結(jié)合；(2)借助零點(diǎn)存在性定理處理零點(diǎn)的存在性問題；結(jié)合單調(diào)性處理零點(diǎn)的唯一性問題；(3)注意參變量分離.1.設(shè)a>1，函數(shù)f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)在(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn)2函數(shù)f(x)x3kx，其中實(shí)數(shù)k為常數(shù)(1)當(dāng)k4時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線yf(x)與直線yk只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍3(20xx貴陽調(diào)研)已知函數(shù)f(x)(a<0)(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若函數(shù)F(x)f(x)1沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍4.設(shè)函數(shù)f(x)(xa)ln x，g(x). 已知曲線yf(x) 在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然數(shù)k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請(qǐng)說明理由5已知函數(shù)f(x)(xa)ex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，aR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a<1時(shí)，試確定函數(shù)g(x)f(xa)x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由答案精析1(1)解f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex，xR，f(x)0恒成立f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)(2)證明f(0)1a，f(a)(1a2)eaa，a>1，f(0)<0，f(a)>2aeaa>2aaa>0，f(0)f(a)<0，f(x)在(0，a)上有一個(gè)零點(diǎn)，又f(x)在(，)上遞增，f(x)在(0，a)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，f(x)在(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn)2解(1)因?yàn)閒(x)x2k，當(dāng)k4時(shí)，f(x)x24，令f(x)x240，所以x12，x22.f(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)?極大值?極小值?所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，2)，(2，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(2,2)(2)令g(x)f(x)k，由題意知，g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)間(x)f(x)x2k.當(dāng)k0時(shí)，g(x)x3，所以g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)0.當(dāng)k<0時(shí)，g(x)x2k>0對(duì)xR恒成立，所以g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)k>0時(shí)，令g(x)f(x)x2k0，解得x1或x2.g(x)，g(x)隨x的變化情況如下表：x(，)(，)(，)g(x)00g(x)?極大值?極小值?g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于g()<0，即kk<0，解得0<k<.綜上所述，k的取值范圍是k<.3解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)?極小值?所以，函數(shù)f(x)的極小值為f(2)，函數(shù)f(x)無極大值(2)F(x)f(x).當(dāng)a<0時(shí)，F(xiàn)(x)，F(xiàn)(x)隨x的變化情況如下表：x(，2)2(2，)F(x)0F(x)?極小值?若使函數(shù)F(x)沒有零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)F(2)1>0，解得a>e2，所以此時(shí)e2<a<0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e2,0)4解(1)由題意知，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為2，所以f(1)2，又f(x)ln x1，所以a1.(2)當(dāng)k1時(shí)，方程f(x)g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根設(shè)h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，當(dāng)x(0,1時(shí)，h(x)<0.又h(2)3ln 2ln 8>110，所以存在x0(1,2)，使得h(x0)0.因?yàn)閔(x)ln x1，所以當(dāng)x(1,2)時(shí)，h(x)>1>0，當(dāng)x2，)時(shí)，h(x)>0，所以當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)k1時(shí)，方程f(x)g(x)在(k，k1)內(nèi)存在唯一的根5解(1)因?yàn)閒(x)(xa)ex，xR，所以f(x)(xa1)ex.令f(x)0，得xa1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)和f(x)的變化情況如下：x(，a1)a1(a1，)f(x)0f(x)?極小值?故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，a1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(a1，)(2)結(jié)論：函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)理由如下：由g(x)f(xa)x20，得方程xexax2，顯然x0為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以x0是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x0時(shí)，方程可化簡為exax.設(shè)函數(shù)F(x)exax，則F(x)exa1，令F(x)0，得xa.當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)(x)和F(x)的變化情況如下：x(，a)a(a，)F(x)0F(x)?極小值?即F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，a)所以F(x)的最小值F(x)minF(a)1a.因?yàn)閍<1，所以F(x)minF(a)1a>0，所以對(duì)于任意xR，F(xiàn)(x)>0，因此方程exax無實(shí)數(shù)解所以當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)g(x)不存在零點(diǎn)綜上，函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)