第三節(jié)第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用考綱傳真1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式， 會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 61 頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a a和b b，如圖 431，作OAa a，OBb b，則AOB(0180)叫作a a與b b的夾角圖 431(2)當(dāng)0時(shí)，a a與b b共線(xiàn)同向當(dāng)180時(shí)，a a與b b共線(xiàn)反向當(dāng)90時(shí)，a a與b b互相垂直2平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a a和b b，它們的夾角為，則數(shù)量|a a|b b|cos叫做a a與b b的數(shù)量積(或內(nèi)積)規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 0.(2)幾何意義：數(shù)量積a ab b等于a a的長(zhǎng)度|a a|與b b在a a的方向上的投影|b b|cos的乘積或b b的長(zhǎng)度|b b|與a a在b b方向上射影|a a|cos的乘積3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a ab bb ba a；(2)數(shù)乘結(jié)合律：(a a)b b(a ab b)a a(b b)；(3)分配律：a a(b bc c)a ab ba aC C4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a，b b 結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a a|a aa a|a a|x21y21數(shù)量積a ab b|a a|b b|cosa ab bx1x2y1y2夾角cosa ab b|a a|b b|cosx1x2y1y2x21y21x22y22a ab ba ab b0 x1x2y1y20|a ab b|與|a a|b b|的關(guān)系|a ab b|a a|b b|x1x2y1y2|x21y21x22y22知識(shí)拓展1兩個(gè)向量a a，b b的夾角為銳角a ab b0 且a a，b b不共線(xiàn)；兩個(gè)向量a a，b b的夾角為鈍角a ab b0 且a a，b b不共線(xiàn)2平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a ab b)(a ab b)a a2b b2.(2)(a ab b)2a a22a ab bb b2.(3)(a ab b)2a a22a ab bb b2.3當(dāng)a a與b b同向時(shí)，a ab b|a|ba|b|；當(dāng)a a與b b反向時(shí)，a ab b|a|ba|b|.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(2)由a ab b0，可得a a0 或b b0.()(3)由a ab ba ac c及a a0 不能推出b bC C()(4)在四邊形ABCD中，ABDC且ACBD0，則四邊形ABCD為矩形. ()答案(1)(2)(3)(4)2(20 xx全國(guó)卷)已知向量BA12，32 ，BC32，12 ，則ABC()A30B45C60D120A A因?yàn)锽A12，32，BC32，12 ，所以BABC343432.又因?yàn)锽ABC|BA|BC|cosABC11cosABC，所以 cosABC32.又 0ABC180，所以ABC30.故選 A3(20 xx全國(guó)卷)向量a a(1，1)，b b(1,2)，則(2a ab b)a a()A1B0C1D2C C法一：a a(1，1)，b b(1,2)，a a22，a ab b3，從而(2a ab b)a a2a a2a ab b431.法二：a a(1，1)，b b(1,2)，2a ab b(2，2)(1,2)(1,0)，從而(2a ab b)a a(1,0)(1，1)1，故選 C4(教材改編)已知|a a|5，|b b|4，a a與b b的夾角120，則向量b b在向量a a方向上的投影為_(kāi)2由數(shù)量積的定義知，b b在a a方向上的投影為|b b|cos4cos 1202.5(20 xx全國(guó)卷)已知向量a a(1,2)，b b(m,1)若向量a ab b與a a垂直，則m_.7 7a a(1,2)，b b(m,1)，a ab b(1m,21)(m1,3)又a ab b與a a垂直，(a ab b)a a0，即(m1)(1)320，解得m7.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 62 頁(yè))平面向量數(shù)量積的運(yùn)算(1)(20 xx天津高考)已知ABC是邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE2EF，則AFBC的值為()A58B18C14D118(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 1， 點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)， 則DECB的值為_(kāi)；DEDC的最大值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090135】(1)B B(2)11(1)如圖所示，AFADDF.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，且DE2EF，所以AD12AB，DF12AC14AC34AC，所以AF12AB34AC.又BCACAB，則AFBC12AB34AC(ACAB)12ABAC12AB234AC234ACAB34AC212AB214ACAB.又|AB|AC|1，BAC60，故AFBC341214111218.故選 B(2)法一：以射線(xiàn)AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(t,0)，t0,1，則DE(t，1)，CB(0，1)，所以DECB(t，1)(0，1)1.因?yàn)镈C(1,0)，所以DEDC(t，1)(1,0)t1，故DEDC的最大值為 1.法二：由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，DE在CB方向上的投影都是CB1，所以DECB|CB|11，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，DE在DC方向上的投影最大，即為DC1，所以(DEDC)max|DC|11.規(guī)律方法1.求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義2(1)要有“基底”意識(shí)，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量(2)注意向量夾角的大小，以及夾角0，90，180三種特殊情形變式訓(xùn)練 1(1)已知AB(2,1)，點(diǎn)C(1,0)，D(4,5)，則向量AB在CD方向上的投影為()A3 22B3 5C3 22D3 5(2)(20 xx榆林模擬)已知在矩形ABCD中，AB3，BC 3，BE2EC，點(diǎn)F在邊CD上若ABAF3，則AEBF的值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090136】A0B8 33C4D4(1)C C(2 2)C C(1)因?yàn)辄c(diǎn)C(1,0)，D(4,5)， 所以CD(5,5)， 又AB(2,1)， 所以向量AB在CD方向上的投影為|AB|cosAB，CDABCD|CD|155 23 22.(2)由ABAF3 得AB(ADDF)ABDF3，所以|DF|1，|CF|2，所以AEBF(ABBE)(BCCF)ABBCABCFBEBCBECFABCFBEBC624.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)角度 1平面向量的模(1)(20 xx合肥二次質(zhì)檢)已知不共線(xiàn)的兩個(gè)向量a a，b b滿(mǎn)足|a ab b|2 且a a(a a2b b)，則|b b|()A 2B2C2 2D4(2)(20 xx西安模擬)已知平面向量a a，b b的夾角為6，且|a a| 3，|b b|2，在ABC中，AB2a a2b b，AC2a a6b b，D為BC的中點(diǎn)，則|AD|_.(1 1)B B(2 2)2 2(1)由a a(a a2b b)得a a(a a2b b)|a a|22a ab b0.又|a ab b|2，|a ab b|2|a a|22a ab b|b b|24，則|b b|24，|b b|2，故選 B(2)因?yàn)锳D12(ABAC)12(2a a2b b2a a6b b)2a a2b b，所以|AD|24(a ab b)24(a a22b ba ab b2)4(322 3cos64)4，所以|AD|2.角度 2平面向量的夾角(1)已知單位向量e e1與e e2的夾角為，且 cos13，向量a a3e e12e e2與b b3e e1e e2的夾角為，則 cos_.(2)若向量a a(k,3)，b b(1,4)，c c(2,1)，已知 2a a3b b與c c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是_(1 1)2 2 2 23 3(2 2)，9 92 2 9 92 2，3 3(1)因?yàn)閍 a2(3e e12e e2)2923212cos49，所以|a a|3，因?yàn)閎 b2(3e e1e e2)2923112cos18，所以|b b|2 2，a ab b(3e e12e e2)(3e e1e e2)9e e219e e1e e22e e2299111328，所以 cosa ab b|a|ba|b|832 22 23.(2)2a a3b b與c c的夾角為鈍角，(2a a3b b)c c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k3.又若(2a a3b b)c c，則 2k312，即k92.當(dāng)k92時(shí)，2a a3b b(12，6)6c c，即 2a a3b b與c c反向綜上，k的取值范圍為，92 92，3.角度 3平面向量的垂直(20 xx山東高考)已知向量a a(1，1)，b b(6，4)若a a(ta ab b)，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)5 5a a(1，1)，b b(6，4)，ta ab b(t6，t4)又a a(ta ab b)，則a a(ta ab b)0，即t6t40，解得t5.規(guī)律方法1.求兩向量的夾角：cosa ab b|a a|b b|，要注意0，2 兩向量垂直的應(yīng)用： 兩非零向量垂直的充要條件是：a ab ba ab b0|a ab b|a ab b|.3求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有：(1)a a2a aa a|a a|2或|a a|a aa a.(2)|a ab b|a ab b2a a22a ab bb b2.(3)若a a(x，y)，則|a a|x2y2.平面向量與三角函數(shù)的綜合(20 xx佛山模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 已知向量m m22，22 ，n n(sinx，cosx)，x0，2 .(1)若m mn n，求 tanx的值；(2)若m m與n n的夾角為3，求x的值【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090137】解(1)因?yàn)閙 m22，22 ，n n(sinx，cosx)，m mn n.所以m mn n0，即22sinx22cosx0，所以 sinxcosx，所以 tanx1.(2)因?yàn)閨m m|n n|1，所以m mn ncos312，即22sinx22cosx12，所以 sinx4 12，因?yàn)?0 x2，所以4x44，所以x46，即x512.規(guī)律方法平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式， 運(yùn)用向量共線(xiàn)或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)的定義域內(nèi)的有界性，求得值域等變式訓(xùn)練 2(20 xx郴州模擬)已知向量a asinx，32 ，b b(cosx，1)(1)當(dāng)a ab b時(shí)，求 tan 2x的值；(2)求函數(shù)f(x)(a ab b)b b在2，0上的值域解(1)a ab b，a asinx，32 ，b b(cosx，1)sinx(1)32cosx0，即 sinx32cosx0，得 sinx32cosx，tanxsinxcosx32，tan 2x2tanx1tan2x125.(2)a asinx，32 ，b b(cosx，1)，a ab bsinxcosx32，b b2cos2x(1)2cos2x1，f(x)(a ab b)b ba ab bb b2sinxcosx32cos2x112sin 2x12(1cos 2x)1222sin2x4 .x2，0，2x434，4 ，sin2x4 1，22 ，f(x)22sin2x4 22，12 .故函數(shù)f(x)(a ab b)b b在2，0上的值域?yàn)?2，12 .