《高考復(fù)習方案大二輪全國新課標數(shù)學 文科高考備考方法策略：專題篇 7 當方程不易求解時的三種策略 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考復(fù)習方案大二輪全國新課標數(shù)學 文科高考備考方法策略：專題篇 7 當方程不易求解時的三種策略 Word版含答案（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 當方程不易求解時的三種策略 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，其核心又是由導(dǎo)數(shù)值的正、負確定函數(shù)的單調(diào)性.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，往往需要解方程.若該方程不易求解時，如何繼續(xù)解題呢？本文將介紹三種策略解決這種問題. 1 策略1——猜——猜出方程的根 例1 求函數(shù)的最小值. 解 可得. 接下來，須求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以須解不等式及，因而須解方程.但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解. 易知是增函數(shù)，所以方程至多有一個實數(shù)解，且可觀察出此實數(shù)解就是ln2，所以函數(shù)在上分別是減函數(shù)、增函數(shù)，得. 例2 設(shè). (1)若函數(shù)在上有極值，求實數(shù)的取值范圍； (

2、2)若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍. 解 (1)(過程略)所求實數(shù)的取值范圍是(0,1). (2)方程即. 設(shè)，可得所求實數(shù)的取值范圍即函數(shù)的值域. 得. 接下來，須求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以須解不等式及，因而須解方程.但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解： 可得，且，所以函數(shù)在上分別是增函數(shù)、減函數(shù)，得.進而可得函數(shù)的值域是，所以所求實數(shù)的取值范圍是. 2 策略2——設(shè)——設(shè)出方程的根 例3 (高考新課標全國卷文科第21題)設(shè)函數(shù). (1)求的單調(diào)區(qū)間； (2)若為整數(shù)，且當時，，求的最大值. 解 (1). 當時，恒成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，，所

3、以函數(shù)在上分別是減函數(shù)、增函數(shù). (2)可得題設(shè)即恒成立. 令，得. 由(1)的結(jié)論知，函數(shù)是增函數(shù).又，所以函數(shù)的唯一零點(也可把該零點叫做函數(shù)的隱零點，這種設(shè)法類似于解析幾何中的“設(shè)而不求”的解法). 當時，；當時，.所以. 又由，得，所以.由，得. 所以所求的最大值是2. 注 由此解法，還可求得：整數(shù)的取值范圍是{不大于2的整數(shù)}，實數(shù)的取值范圍是，其中是方程的正數(shù)解. 例4 已知函數(shù)有兩個極值點. (1)求的取值范圍； (2)求的取值范圍. 解 (1)得，所以方程即. 設(shè)，得. 進而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由此作出函數(shù)的圖象如圖1所示： 圖1 因

4、為當且僅當時，，所以由圖1可得的取值范圍是. (2)由，得，所以 由圖1可得的取值范圍是(0,1)，進而可得的取值范圍是(0,1). 同理可得，由圖1可得的取值范圍是，進而可得的取值范圍是. 例5 (北京市朝陽區(qū)高三文科二模第20題)已知函數(shù)，其中． (1)當時，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性； (2)當時，若不等式對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 解 (1)因為，，所以． 所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)． (2)令，得. 因為在區(qū)間上，所以． 因為，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以方程在上必有一根，記為. 得． 因為在上單調(diào)遞減，所以當時，；當時，

5、． 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.得． 又因為，且，所以，. 所以． 依題意得，當時，恒成立. 即時，恒成立． 令，得 即 解得或． 所以所求實數(shù)的取值范圍是. 3 策略3——證——證明方程無根 例6 若存在使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是 . 解 .題設(shè)即存在使不等式成立. 設(shè)，得題設(shè)即使不等式成立. 設(shè)，下面須求函數(shù)的最小值. 得，須解方程，但此方程不易求解. 可大膽猜測方程無解(若方程無解，則的值恒正或恒負(否則由勘根定理知方程有解)，得是增函數(shù)或減函數(shù)，此時研究函數(shù)就很方便)，證明如下： 進而可得，所以函數(shù)是增函數(shù)，得其最小值為. 所以題設(shè)即，由此可得答案. 例7 已知R，函數(shù). (1)求函數(shù)的極小值； (2)若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍； (3)設(shè)，若使得，求實數(shù)的取值范圍. 解 (1)(過程略)當且僅當時，取極小值，且極小值是1. (2)(過程略)所求實數(shù)的取值范圍是. (3)題意即關(guān)于的不等式在上有解，也即關(guān)于的不等式有解. 設(shè)，下面須求函數(shù)的最小值. 得，但不易求解方程. 可大膽猜測方程無解，證明如下： 由，可得，所以，得是減函數(shù)，所以函數(shù)的值域是，進而可得所求實數(shù)的取值范圍是.