第十一節(jié)導數與函數的單調性考綱傳真了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區(qū)間(其中多項式函數不超過三次)(對應學生用書第32頁) 基礎知識填充函數的導數與單調性的關系函數yf(x)在某個區(qū)間內可導，則(1)若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內是增加的；(2)若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內是減少的；(3)若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內是常數函數知識拓展1在某區(qū)間內f(x)>0(f(x)<0)是函數f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數的充分不必要條件2可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是：對任意x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內都不恒為零基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若函數f(x)在區(qū)間(a，b)上單調遞增，那么在區(qū)間(a，b)上一定有f(x)>0.()(2)如果函數在某個區(qū)間內恒有f(x)0，則函數f(x)在此區(qū)間上沒有單調性()(3)f(x)0是f(x)為增函數的充要條件()答案(1)(2)(3)2f(x)x36x2的單調遞減區(qū)間為()A(0,4)B(0,2)C(4，)D(，0)Af(x)3x212x3x(x4)，由f(x)<0，得0<x<4，遞減區(qū)間為(0,4)3(教材改編)如圖2111所示是函數f(x)的導函數f(x)的圖像，則下列判斷中正確的是() 【導學號：00090063】圖2111A函數f(x)在區(qū)間(3,0)上是減少的B函數f(x)在區(qū)間(1,3)上是減少的C函數f(x)在區(qū)間(0,2)上是減少的D函數f(x)在區(qū)間(3,4)上是增加的A當x(3,0)時，f(x)0，則f(x)在(3,0)上是減函數其他判斷均不正確4(20xx陜西高考)設f(x)xsin x，則f(x)()A既是奇函數又是減函數B既是奇函數又是增函數C是有零點的減函數D是沒有零點的奇函數B因為f(x)1cos x0，所以函數為增函數，排除選項A和C又因為f(0)0sin 00，所以函數存在零點，排除選項D，故選B5(20xx浙江高考)函數yf(x)的導函數yf(x)的圖像如圖2112所示，則函數yf(x)的圖像可能是()圖2112D觀察導函數f(x)的圖像可知，f(x)的函數值從左到右依次為小于0，大于0，小于0，大于0，對應函數f(x)的增減性從左到右依次為減、增、減、增觀察選項可知，排除A、C如圖所示，f(x)有3個零點，從左到右依次設為x1，x2，x3，且x1，x3是極小值點，x2是極大值點，且x2>0，故選項D正確故選D(對應學生用書第32頁)判斷或證明函數的單調性已知函數f(x)ln xax2(2a)x.討論f(x)的單調性解f(x)的定義域為(0，)f(x)2ax2a.若a0，則f(x)0.所以f(x)在(0，)上單調遞增若a0，則由f(x)0，得x，且當x時，f(x)0，當x時，f(x)0.所以f(x)在上單調遞增，在上單調遞減綜上所述，當a0時，函數f(x)在(0，)上單調遞增；當a0時，函數f(x)在上單調遞增，在上單調遞減規(guī)律方法用導數證明函數f(x)在(a，b)內的單調性的步驟一求：求f(x)；二定：確認f(x)在(a，b)內的符號；三結論：作出結論：f(x)0時為增函數；f(x)0時為減函數易錯警示：研究含參數函數的單調性時，需注意依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論變式訓練1(20xx四川高考節(jié)選)設函數f(x)ax2aln x，g(x)，其中aR，e2.718為自然對數的底數(1)討論f(x)的單調性；(2)證明：當x>1時，g(x)>0. 【導學號：00090064】解(1)由題意得f(x)2ax(x>0).2分當a0時，f(x)<0，f(x)在(0，)內單調遞減當a>0時，由f(x)0有x，當x時，f(x)<0，f(x)單調遞減；5分當x時，f(x)>0，f(x)單調遞增.7分(2)證明：令s(x)ex1x，則s(x)ex11.9分當x>1時，s(x)>0，所以ex1>x，從而g(x)>0.12分求函數的單調區(qū)間(20xx天津高考節(jié)選)設函數f(x)x3axb，xR，其中a，bR.求f(x)的單調區(qū)間解由f(x)x3axb，可得f(x)3x2A下面分兩種情況討論：當a0時，有f(x)3x2a0恒成立，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(，).5分當a0時，令f(x)0，解得x或x.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：xf(x)00f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以f(x)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，.12分規(guī)律方法求函數單調區(qū)間的步驟：(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求f(x)；(3)在定義域內解不等式f(x)0，得單調遞增區(qū)間；(4)在定義域內解不等式f(x)0，得單調遞減區(qū)間變式訓練2已知函數f(x)(x22x)ex，xR，e為自然對數的底數，則函數f(x)的單調遞增區(qū)間為_(，)因為f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因為ex0，所以x220，解得x，所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(，)已知函數的單調性求參數已知函數f(x)x3ax1.若f(x)在R上為增函數，求實數a的取值范圍解因為f(x)在(，)上是增函數，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2對xR恒成立因為3x20，所以只需a0.又因為a0時，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函數，所以a0，即實數a的取值范圍為(，0母題探究1(變換條件)函數f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數，求a的取值范圍解因為f(x)3x2a，且f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范圍為(，3母題探究2(變換條件)函數f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1,1)上為減函數，試求a的取值范圍解由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立因為1x1，所以3x23，所以a3.即當a的取值范圍為3，)時，f(x)在(1,1)上為減函數母題探究3(變換條件)函數f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調，求a的取值范圍解f(x)x3ax1，f(x)3x2A由f(x)0，得x(a0)f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調，01，得0a3，即a的取值范圍為(0,3)規(guī)律方法根據函數單調性求參數的一般方法(1)利用集合間的包含關系處理：yf(x)在(a，b)上單調，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集(2)轉化為不等式的恒成立問題，即“若函數單調遞增，則f(x)0；若函數單調遞減，則f(x)0”來求解易錯警示：(1)f(x)為增函數的充要條件是對任意的x(a，b)都有f (x)0，且在(a，b)內的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解(2)函數在其區(qū)間上不具有單調性，但可在子區(qū)間上具有單調性，如遷移3中利用了(0,1)來求解變式訓練3已知函數f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函數h(x)f(x)g(x)在1,4上是減少的，求a的取值范圍；(2)若函數h(x)f(x)g(x)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍. 【導學號：00090065】解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由h(x)在1,4上是減少的得，當x1,4時，h(x)ax20恒成立，即a恒成立令G(x)，所以aG(x)max，而G(x)21，因為x1,4，所以，所以G(x)max(此時x4)，所以a，即a的取值范圍是.(2)h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在單調遞減區(qū)間，所以當x(0，)時，ax20有解，即a有解設G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.