第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示 考綱傳真1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件(對應(yīng)學(xué)生用書第59頁) 基礎(chǔ)知識填充1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成axiyj，由于a與數(shù)對(x，y)是一一對應(yīng)的，把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a(x，y)3平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.4平面向量共線的坐標表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共線x1y2x2y10.基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(3)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可以表示成.()答案(1)(2)(3)(4)2已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于 ()A5BCD13B因為ab(2，1)(1,3)(3,2)，所以|ab|.3(20xx洛陽模擬)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)A(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故選A4(20xx全國卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.6a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430，m6.5(教材改編)已知ABCD的頂點A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，則頂點D的坐標為_(1,5)設(shè)D(x，y)，則由，得(4,1)(5x,6y)，即解得(對應(yīng)學(xué)生用書第60頁)平面向量基本定理及其應(yīng)用(1)如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是 ()Ae1與e1e2Be12e2與e12e2Ce1e2與e1e2De13e2與6e22e1(2)(20xx太原模擬)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若，其中，R，則_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090130】(1)D(2)(1)選項A中，設(shè)e1e2e1，則無解；選項B中，設(shè)e12e2(e12e2)，則無解；選項C中，設(shè)e1e2(e1e2)，則無解；選項D中，e13e2(6e22e1)，所以兩向量是共線向量(2)選擇，作為平面向量的一組基底，則，又，于是得解得所以.規(guī)律方法1.利用平面向量基本定理表示向量時，要選擇一組恰當(dāng)?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向?利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用三角形法則進行向量的加減運算，在解題時，注意方程思想的運用如解答本題(2)的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關(guān)于，的方程組 變式訓(xùn)練1如圖421，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點設(shè)a，b，則_，_，_(用向量a，b表示)圖421babaabbabba，bba，baB平面向量的坐標運算已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標及向量的坐標解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)設(shè)O為坐標原點3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)規(guī)律方法1. 向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標常利用向量相等則其坐標相同列方程(組)求解2平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言“坐標語言”，實質(zhì)是“形”化為“數(shù)”向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來變式訓(xùn)練2(20xx合肥三次質(zhì)檢)已知a(1，t)，b(t，6)，則|2ab|的最小值為_2由條件得2ab(2t,2t6)，所以|2ab|，當(dāng)t2時，|2ab|的最小值為2.平面向量共線的坐標表示已知a(1,0)，b(2,1)(1)當(dāng)k為何值時，kab與a2b共線？(2)若2a3b，amb且A、B、C三點共線，求m的值. 【導(dǎo)學(xué)號：00090131】解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab與a2b共線，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)法一：A、B、C三點共線，即2a3b(amb)，解得m.法二：2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)A、B、C三點共線，.8m3(2m1)0，即2m30，m.規(guī)律方法1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，則bA2向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)當(dāng)兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應(yīng)成比例求解變式訓(xùn)練3(1)(20xx鄭州模擬)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，則銳角_.(2)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應(yīng)滿足的條件是_(1)(2)k1(1)由ab，得(1sin )(1sin )，所以cos2，所以cos 或，又為銳角，所以.(2)若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則向量，不共線因為(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，所以1(k1)2k0，解得k1.