第2節(jié)圓與方程 課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)圓的方程1、10、12與圓有關(guān)的最值8與圓有關(guān)的軌跡4與圓有關(guān)的對(duì)稱5、9直線與圓的位置關(guān)系3、11、12、15、16圓的切線問題6、13弦長問題2、7圓與圓的位置關(guān)系14A組一、選擇題1.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程為(A)(A)x2+(y-2)2=1 (B)x2+(y+2)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)x2+(y-3)2=1解析:由題意,設(shè)圓心(0,t),則12+(t-2)2=1,得t=2,所以圓的方程為x2+(y-2)2=1,故選A.2.(高考福建卷)直線x+3y-2=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn),則弦AB的長度等于(B)(A)25(B)23(C)3(D)1解析:因?yàn)閳A心到直線x+3y-2=0的距離d=|0+30-2|12+(3)2=1,半徑r=2,所以弦長|AB|=222-12=23.故選B.3.(高考陜西卷)已知圓C:x2+y2-4x=0,l是過點(diǎn)P(3,0)的直線,則(A)(A)l與C相交(B)l與C相切(C)l與C相離(D)以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能解析:x2+y2-4x=0是以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓,而點(diǎn)P(3,0)到圓心的距離為d=(3-2)2+(0-0)2=1<2,點(diǎn)P(3,0)恒在圓內(nèi),過點(diǎn)P(3,0)不管怎么樣畫直線,都與圓相交.故選A.4.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(8,0)的距離是到點(diǎn)B(2,0)的距離的2倍,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(B)(A)x2+y2=32 (B)x2+y2=16(C)(x-1)2+y2=16(D)x2+(y-1)2=16解析:設(shè)P(x,y),則由題意可得2(x-2)2+y2=(x-8)2+y2,化簡整理得x2+y2=16,故選B.5.(20xx肇慶中小學(xué)質(zhì)量評(píng)估)經(jīng)過圓x2+y2+2y=0的圓心C,且與直線2x+3y-4=0平行的直線方程為(A)(A)2x+3y+3=0(B)2x+3y-3=0(C)2x+3y+2=0(D)3x-2y-2=0解析:由題意知圓心C(0,-1),設(shè)所求直線方程為2x+3y+k=0,代入點(diǎn)(0,-1)得k=3,故所求直線為2x+3y+3=0,故選A.6.(高考廣東卷)垂直于直線y=x+1且與圓x2+y2=1相切于第一象限的直線方程是(A)(A)x+y-2=0(B)x+y+1=0(C)x+y-1=0(D)x+y+2=0解析:與直線y=x+1垂直的直線方程可設(shè)為x+y+b=0,由x+y+b=0與圓x2+y2=1相切,可得|b|12+12=1,故b=2.因?yàn)橹本€與圓相切于第一象限,故b=-2,則直線方程為x+y-2=0.故選A.二、填空題7.(高考浙江卷)直線y=2x+3被圓x2+y2-6x-8y=0所截得的弦長等于.解析:圓的方程可化為(x-3)2+(y-4)2=25,故圓心為(3,4),半徑r=5.又直線方程為2x-y+3=0,圓心到直線的距離為d=|23-4+3|4+1=5,弦長為225-5=220=45.答案:458.已知直線l:x-y+4=0與圓C:(x-1)2+(y-1)2=2,則圓C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為.解析:因?yàn)閳AC的圓心(1,1)到直線l的距離為d=|1-1+4|12+(-1)2=22,又圓半徑r=2.所以圓C上各點(diǎn)到直線l的距離的最小值為d-r=2.答案:29.圓(x-2)2+(y-3)2=1關(guān)于直線l:x+y-3=0對(duì)稱的圓的方程為.解析:已知圓的圓心為(2,3),半徑為1.則對(duì)稱圓的圓心與(2,3)關(guān)于直線l對(duì)稱,由數(shù)形結(jié)合得,對(duì)稱圓的圓心為(0,1),半徑為1,故方程為x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=110.已知圓C的圓心在直線3x-y=0上,半徑為1且與直線4x-3y=0相切,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.解析:圓C的圓心在直線3x-y=0上,設(shè)圓心C(m,3m).又圓C的半徑為1,且與4x-3y=0相切,|4m-9m|5=1,m=1,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-3)2=1或(x+1)2+(y+3)2=1.答案:(x-1)2+(y-3)2=1或(x+1)2+(y+3)2=1三、解答題11.(20xx珠海摸底)已知圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.(1)當(dāng)a為何值時(shí),直線l與圓C相切;(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=22時(shí),求直線l的方程.解:將圓C的方程x2+y2-8y+12=0配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-4)2=4,則此圓的圓心為(0,4),半徑為2.(1)若直線l與圓C相切,則有|4+2a|a2+1=2.解得a=-34.(2)過圓心C作CDAB,則根據(jù)題意和圓的性質(zhì),得|CD|=|4+2a|a2+1,|CD|2+|DA|2=22,|DA|=12|AB|=2,解得a=-7,或a=-1.故所求直線方程為7x-y+14=0或x-y+2=0.12.(20xx廣東佛山第一次質(zhì)檢)已知A(-2,0),B(2,0),C(m,n).(1)若m=1,n=3,求ABC的外接圓的方程;(2)若以線段AB為直徑的圓O過點(diǎn)C(異于點(diǎn)A,B),直線x=2交直線AC于點(diǎn)R,線段BR的中點(diǎn)為D,試判斷直線CD與圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解:(1)法一設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意可得4-2D+F=0,4+2D+F=0,1+3+D+3E+F=0,解得D=E=0,F=-4,ABC的外接圓方程為x2+y2-4=0,即x2+y2=4.法二線段AC的中點(diǎn)為(-12,32),直線AC的斜率為k1=33,線段AC的中垂線的方程為y-32=-3(x+12),線段AB的中垂線方程為x=0,代入AC中垂線方程得y=0,ABC的外接圓圓心為(0,0),半徑為r=2,ABC的外接圓方程為x2+y2=4.(2)由題意可知以線段AB為直徑的圓的方程為x2+y2=4,設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,t),A,C,R三點(diǎn)共線,ACAR,而AC=(m+2,n),AR=(4,t),則4n=t(m+2),t=4nm+2,點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,4nm+2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2nm+2),直線CD的斜率為k=n-2nm+2m-2=(m+2)n-2nm2-4=mnm2-4,而m2+n2=4,m2-4=-n2,k=mn-n2=-mn,直線CD的方程為y-n=-mn(x-m),化簡得mx+ny-4=0,圓心O到直線CD的距離d=4m2+n2=44=2=r,直線CD與圓O相切.13.(高考江蘇卷)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.解:(1)由題設(shè),圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點(diǎn),解得點(diǎn)C(3,2),于是切線的斜率必存在,設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3,由題意,得|3k+1|k2+1=1,解得k=0或-34.故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.(2)圓心在直線y=2x-4上,圓C的方程為(x-a)2+y-2(a-2)2=1.設(shè)點(diǎn)M(x,y),MA=2MO,x2+(y-3)2=2x2+y2,化簡得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,點(diǎn)M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.由題意,點(diǎn)M(x,y)在圓C上,圓C與圓D有公共點(diǎn),則|2-1|CD2+1.即1a2+(2a-3)23.整理得-85a2-12a0.由5a2-12a+80,得aR;由5a2-12a0,得0a125.點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0,125.B組14.兩圓x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三條公切線,若aR,bR,且ab0,則1a2+1b2的最小值為(C)(A)19(B)49(C)1(D)3解析:將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+a)2+y2=4和x2+(y-2b)2=1.兩圓有三條公切線,即兩圓相外切,所以圓心距等于半徑長之和,故a2+4b2=9,19(a2+4b2)=1,所以1a2+1b2=19(a2+4b2)1a2+1b2=195+4b2a2+a2b21.當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2時(shí),等號(hào)成立,即1a2+1b2的最小值為1.故選C.15.(高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值是.解析:可轉(zhuǎn)化為圓C的圓心到直線y=kx-2的距離不大于2.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+y2=1,圓心為(4,0).由題意知(4,0)到kx-y-2=0的距離應(yīng)不大于2,即|4k-2|k2+12.整理,得3k2-4k0,解得0k43.故k的最大值為43.答案:4316.(20xx廣州市高三調(diào)研)圓x2+y2+2x+4y-15=0上到直線x-2y=0的距離為5的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.解析:圓方程x2+y2+2x+4y-15=0化為標(biāo)準(zhǔn)式為(x+1)2+(y+2)2=20,其圓心坐標(biāo)為(-1,-2),半徑r=25,由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線x-2y=0的距離d=|-1-2(-2)|12+(-2)2=355,如圖所示,圓上到直線x-2y=0的距離為5的點(diǎn)有4個(gè).答案:4