第4節(jié)證明方法 課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)綜合法2、5、8、10、14、15分析法3、7、11、12反證法1、4、6、9、13A組一、選擇題1.(20xx濰坊模擬)用反證法證明某命題時(shí),對結(jié)論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是(B)(A)自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)(B)自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)(C)自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)(D)自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)解析:“恰有一個(gè)”反面應(yīng)是至少有兩個(gè)或都是奇數(shù).故選B.2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值(A)(A)恒為負(fù)值(B)恒等于零(C)恒為正值(D)無法確定正負(fù)解析:由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),則f(x1)+f(x2)<0,故選A.3.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:b2-ac<3a”索的因應(yīng)是(C)(A)a-b>0 (B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0(D)(a-b)(a-c)<0解析:b2-ac<3ab2-ac<3a2(a+c)2-ac<3a2a2+2ac+c2-ac-3a2<0-2a2+ac+c2<02a2-ac-c2>0(a-c)(2a+c)>0(a-c)(a-b)>0.故選C.4.(20xx九江模擬)用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí),假設(shè)正確的是(B)(A)假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都不大于60度(B)假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60度(C)假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度(D)假設(shè)三個(gè)內(nèi)角有兩個(gè)大于60度解析:根據(jù)反證法的步驟,假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定,對“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”的否定,即“三個(gè)內(nèi)角都大于60度”.5.(20xx遼寧大連模擬)設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合,在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對任意的a,bS,對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)),若對任意的a,bS,有a*(b*a)=b,則對任意的a,bS,下列等式中不恒成立的是(A)(A)(a*b)*a=a(B)a*(b*a)*(a*b)=a(C)b*(b*b)=b(D)(a*b)*b*(a*b)=b解析:由已知條件可得對任意a,bS,a*(b*a)=b,則b*(b*b)=b,a*(b*a)*(a*b)=b*(a*b)=a,(a*b)*b*(a*b)=(a*b)*a=b,即選項(xiàng)B,C,D中的等式均恒成立,僅選項(xiàng)A中的等式不恒成立.故選A.6.(20xx四平二模)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:a+b>1;a+b=2;a+b>2;a2+b2>2;ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是(C)(A)(B)(C)(D)解析:若a=12,b=23,則a+b>1,但a<1,b<1,故推不出;若a=b=1,則a+b=2,故推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故推不出;若a=-2,b=-3,則ab>1,故推不出;對于,即a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1,反證法:假設(shè)a1且b1,則a+b2,與a+b>2矛盾,因此假設(shè)不成立,a,b中至少有一個(gè)大于1.故選C.二、填空題7.設(shè)a>b>0,m=a-b,n=a-b,則m,n的大小關(guān)系是.解析:法一取a=2,b=1,得m<n.法二分析法:a-b<a-bb+a-b>aa<b+2ba-b+a-b2ba-b>0,顯然成立.答案:m<n8.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=x2+1圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),其中nN*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為.解析:由條件得cn=an-bn=n2+1-n=1n2+1+n,cn隨n的增大而減小.cn+1<cn.答案:cn+1<cn9.用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理數(shù)根,那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證明時(shí),假設(shè)的內(nèi)容是.解析:“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”.答案:假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)10.已知f(1,1)=1,f(m,n)N*(m,nN*),且對任意的m,nN*都有:(1)f(m,n+1)=f(m,n)+2.(2)f(m+1,1)=2f(m,1).給出以下三個(gè)結(jié)論:f(1,5)=9;f(5,1)=16;f(5,6)=26.其中正確結(jié)論的序號(hào)有.解析:由題意知f(1,5)=f(1,4)+2=f(1,3)+4=f(1,2)+6=f(1,1)+8=1+8=9.正確.f(5,1)=2f(4,1)=4f(3,1)=8f(2,1)=16f(1,1)=16.正確.f(5,6)=f(5,5)+2=f(5,1)+10=16+10=26.正確.答案:11.設(shè)P=2,Q=7-3,R=6-2,則P、Q、R的大小順序是.解析:2>6-222>68>6成立,P>R,又6-2>7-36+3>2+79+218>9+21418>14,成立.R>Q,P>R>Q.答案:P>R>Q三、解答題12.已知a>0,求證:a2+1a2-2a+1a-2.證明:要證a2+1a2-2a+1a-2.只要證a2+1a2+2a+1a+2.a>0,故只要證a2+1a2+22a+1a+22,即a2+1a2+4a2+1a2+4a2+2+1a2+22a+1a+2,從而只要證2a2+1a22a+1a,只要證4a2+1a22a2+2+1a2,即a2+1a22,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立.13.已知a、b、c(0,1),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于14.證明:法一假設(shè)三式同時(shí)大于14,即(1-a)b>14,(1-b)c>14,(1-c)a>14,a、b、c(0,1),三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>164. (*)又(1-a)a1-a+a22=14,同理(1-b)b14,(1-c)c14,(1-a)a(1-b)b(1-c)c164,這與(*)矛盾,所以假設(shè)不成立,故原命題正確.法二假設(shè)三式同時(shí)大于14,0<a<1,1-a>0,(1-a)+b2(1-a)b>14=12,同理(1-b)+c2>12,(1-c)+a2>12,三式相加得32>32,這是矛盾的,故假設(shè)錯(cuò)誤,原命題正確.B組14.已知三個(gè)不等式ab>0;ca>db;bc>ad.以其中兩個(gè)作條件,余下一個(gè)作結(jié)論,則可組成個(gè)正確命題.解析:此題共可組成三個(gè)命題即;.若ab>0,ca>db,則ca-db=bc-adab>0,得bc-ad>0,即可得命題正確;若ab>0,bc>ad,則bc-adab=ca-db>0,得ca>db,即命題正確;若bc>ad,ca>db,則ca-db=bc-adab>0,得ab>0,即命題正確.綜上可得正確的命題有三個(gè).答案:三15.(20xx寧德模擬)設(shè)函數(shù)f(x)定義在(0,+)上,f(1)=0,導(dǎo)函數(shù)f(x)=1x,g(x)=f(x)+f(x).求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值.解:由題設(shè)易知f(x)=ln x,g(x)=ln x+1x,g(x)=x-1x2.令g(x)=0得x=1.當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)<0,故(0,1)是g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,當(dāng)x(1,+)時(shí),g(x)>0,故(1,+)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,因此x=1是g(x)的唯一極值點(diǎn),且為極小值點(diǎn),從而是最小值點(diǎn),所以最小值為g(1)=1.