精品資料 滾動訓(xùn)練(四) 一、填空題 1．“相似三角形的對應(yīng)角相等”的否命題是________． 答案　不相似的三角形的對應(yīng)角不相等 解析　否命題是條件、結(jié)論都否定． 2．已知a＝(t＋1,1，t)，b＝(t－1，t,1)，則|a－b|的最小值為________． 答案　2 解析　|a－b|2＝22＋(1－t)2＋(t－1)2＝2(t－1)2＋4， 所以當(dāng)t＝1時，|a－b|取得最小值2. 3．雙曲線x2－＝1的離心率大于的充要條件是________． 答案　m＞1 解析　依題意知，e＝，e2＝＞2，得1＋m＞2， 所以m＞1. 4．已知A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)x，y的值分別為________． 答案　3,2 解析　若A，B，C三點(diǎn)共線，則，也共線． 又＝(1，－1,3)，＝(x－2，－1，y＋1)， ∴＝1＝，∴x＝3，y＝2. 5．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(3,2，－1)，則p在基底下的坐標(biāo)是________． 答案　 解析　由已知得p＝3a＋2b－c， 則p＝(2a)＋(－2)(－b)＋(－2). 故p在基底下的坐標(biāo)為. 6．已知直線l1，l2的方向向量分別為a，b，且a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)m的值為________． 答案　2 解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b. ∴ab＝1(－2)＋23＋(－2)m＝4－2m＝0， ∴m＝2. 7．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，則x，y的值分別為________． 答案　－13,8 解析　∵a∥b且a≠0， ∴b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp. 又∵m，n，p不共面，∴＝＝， ∴x＝－13，y＝8. 8.如圖，在三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90，∠BAC＝60，則＝________. 答案?。? 解析　 ＝(－) ＝－ ＝||||cos90－||||cos60 ＝22cos90－22cos60＝－2. 9．在底面為直角梯形的四棱錐S－ABCD中，∠ABC＝90，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，則平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為________． 答案　 解析　以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)， 平面SAB的一個法向量＝， 并求得平面SCD的一個法向量n＝， 則cos〈，n〉＝＝. 10.如圖，AB＝AC＝BD＝1，AB?平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD與平面α成30角，則C，D間的距離為________． 答案　 解析　||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋0＋0＋211cos120＝2.∴||＝. 11．平面α的法向量為m＝(1,0，－1)，平面β的法向量為n＝(0，－1,1)，則平面α與平面β所成二面角的大小為______． 答案　60或120 解析　∵cos〈m，n〉＝＝＝－， ∴〈m，n〉＝120，即平面α與β所成二面角的大小為60或120. 二、解答題 12.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30的角．求證： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. 證明　以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz， ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30. ∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4. ∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M， ∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝， (1)方法一　令n＝(x，y，z)為平面PAD的一個法向量， 則即∴ 令y＝2，得n＝(－，2,1)． ∵n＝－＋20＋1＝0， ∴n⊥，又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD. 方法二　∵＝(0,1，－2)，＝(2，4，－2)， 令＝x＋y，則 方程組有解為 ∴＝－＋，由共面向量定理知與，共面， 又∵CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD. (2)取AP的中點(diǎn)E，連結(jié)BE，則E(，2,1)， ＝(－，2,1)， ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵＝(－，2,1)(2，3,0)＝0， ∴⊥，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A， PA，DA?平面PAD， ∴BE⊥平面PAD，又∵BE?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD. 13．已知A，B是拋物線y2＝x上不同于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，OA⊥OB. (1)求證：直線AB恒過定點(diǎn)T，且以O(shè)T為直徑的圓過點(diǎn)D(2,1)； (2)若直線AB與⊙O：x2＋y2＝5相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)及直線AB的方程． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線的綜合問題 (1)證明　設(shè)直線AB的方程為x＝my＋t，t＞0，代入y2＝x，得2y2－5my－5t＝0.Δ＝25m2＋40t＞0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 則y1y2＝－，x1x2＝＝(y1y2)2＝t2. 又⊥，所以x1x2＋y1y2＝0， 即t2－＝0，解得t＝或t＝0(舍)． 所以直線AB的方程為x＝my＋，恒過點(diǎn)T. 所以＝(2,1)＝2＋11＝0， 所以⊥，即OD⊥TD， 所以點(diǎn)D在以O(shè)T為直徑的圓上． (2)解　由(1)知直線AB的方程為2x－2my－5＝0， 由題意得＝， 解得m＝. 當(dāng)m＝時，切線AB的方程為2x－y－5＝0， 此時，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)． 當(dāng)m＝－時，切線AB的方程為2x＋y－5＝0， 此時，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)． 三、探究與拓展 14．已知Rt△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，則點(diǎn)P到斜邊AB的距離是______． 答案　3 解析　以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則A(4,0,0)，B(0,3,0)， P， 所以＝(－4,3,0)，＝， 所以AP在斜邊AB上的投影長為＝， 所以點(diǎn)P到斜邊AB的距離為d＝＝＝3. 15.如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點(diǎn)，AF＝AB＝BC＝FE＝AD. (1)求異面直線BF與DE所成角的大??； (2)證明：平面AMD⊥平面CDE； (3)求二面角ACDE的余弦值． (1)解　如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AF所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AB＝1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，M. ＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)， 于是cos〈，〉＝＝＝. 所以異面直線BF與DE所成角的大小為60. (2)證明　由＝，＝(－1,0,1)， ＝(0,2,0)，可得＝0，＝0. 因此，CE⊥AM，CE⊥AD. 又AM∩AD＝A，AM?平面AMD，AD?平面AMD， 故CE⊥平面AMD. 又CE?平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE. (3)解　設(shè)平面CDE的法向量為u＝(x，y，z)， 則 即令x＝1，可得u＝(1,1,1)． 又由題設(shè)知，平面ACD的一個法向量為v＝(0,0,1)． 所以，cos〈u，v〉＝＝＝. 因為二面角ACDE為銳角，所以其余弦值為.