第十六章幾何證明選講高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.了解平行線截割定理.2.會(huì)證明并應(yīng)用直角三角形射影定理.3.會(huì)證明并應(yīng)用圓周角定理，圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算與證明.4.會(huì)證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行幾何計(jì)算與證明.5.了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系了解平行投影；會(huì)證明平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情形是圓).6.了解下面的定理.定理：在空間中，取直線l為軸，直線l與l相交于點(diǎn)O，其夾角為，l圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸l的交角為(與l平行，記0)，則：，平面與圓錐的交線為橢圓；，平面與圓錐的交線為拋物線；，平面與圓錐的交線為雙曲線.7.會(huì)利用丹迪林(Dandelin)雙球(如圖所示，這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部，一個(gè)位于平面的上方，一個(gè)位于平面的下方，并且與平面及圓錐面均相切，其切點(diǎn)分別為F，E)證明上述定理的情形：當(dāng)時(shí)，平面與圓錐的交線為橢圓.(圖中，上、下兩球與圓錐面相切的切點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，線段BC與平面相交于點(diǎn)A)8.會(huì)證明以下結(jié)果：在7.中，一個(gè)丹迪林球與圓錐面的交線為一個(gè)圓，并與圓錐的底面平行.記這個(gè)圓所在的平面為.如果平面與平面的交線為m，在6.中橢圓上任取點(diǎn)A，該丹迪林球與平面的切點(diǎn)為F，則點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比是小于1的常數(shù)e(稱點(diǎn)F為這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)，直線m為橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e為離心率).9.了解定理6.中的證明，了解當(dāng)無限接近時(shí)，平面的極限結(jié)果. 本章重點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)，與圓有關(guān)的若干定理及其運(yùn)用，并將其運(yùn)用到立體幾何中.本章難點(diǎn)：對(duì)平面截圓柱、圓錐所得的曲線為圓、橢圓、雙曲線、拋物線的證明途徑與方法，它是解立體幾何、平面幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用，應(yīng)較好地把握.本專題強(qiáng)調(diào)利用演繹推理證明結(jié)論，通過推理證明進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，進(jìn)一步提高空間想象能力、幾何直觀能力和綜合運(yùn)用幾何方法解決問題的能力. 第一講與第二講是傳統(tǒng)內(nèi)容，高考中主要考查平行線截割定理、直角三角形射影定理以及與圓有關(guān)的性質(zhì)和判定，考查邏輯推理能力.第三講內(nèi)容是新增內(nèi)容，在新課程高考下，要求很低，只作了解.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)16.1相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)典例精析題型一相似三角形的判定與性質(zhì)【例1】 如圖，已知在ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且ADAC，DEBC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F.(1)求證：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的長(zhǎng).【解析】(1)因?yàn)镈EBC，D是BC的中點(diǎn)，所以EBEC，所以B1.又因?yàn)锳DAC，所以2ACB.所以ABCFCD.(2)過點(diǎn)A作AMBC，垂足為點(diǎn)M.因?yàn)锳BCFCD，BC2CD，所以()24，又因?yàn)镾FCD5，所以SABC20.因?yàn)镾ABCBCAM，BC10，所以2010AM，所以AM4.又因?yàn)镈EAM，所以，因?yàn)镈MDC，BMBDDM，BDBC5，所以，所以DE.【變式訓(xùn)練1】如右圖，在ABC中，AB14 cm，DEBC，CDAB，CD12 cm.求ADE的面積和周長(zhǎng). 【解析】由AB14 cm，CD12 cm，CDAB，得SABC84 cm2. 再由DEBC可得ABCADE.由()2可求得SADE cm2.利用勾股定理求出BC，AC，再由相似三角形性質(zhì)可得ADE的周長(zhǎng)為15 cm.題型二探求幾何結(jié)論 【例2】如圖，在梯形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EFAD，假設(shè)EF做上下平行移動(dòng).(1)若，求證：3EFBC2AD；(2)若，試判斷EF與BC，AD之間的關(guān)系，并說明理由；(3)請(qǐng)你探究一般結(jié)論，即若，那么你可以得到什么結(jié)論？【解析】 過點(diǎn)A作AHCD分別交EF，BC于點(diǎn)G、H. (1)因?yàn)椋?，又EGBH，所以，即3EGBH，又EGGFEGADEF，從而EF(BCHC)AD，所以EFBCAD，即3EFBC2AD.(2)EF與BC，AD的關(guān)系式為5EF2BC3AD，理由和(1)類似. (3)因?yàn)?，所以，又EGBH，所以，即EGBH.EFEGGFEGAD(BCAD)AD，所以EFBCAD，即(mn)EFmBCnAD.【點(diǎn)撥】 在相似三角形中，平行輔助線是常作的輔助線之一；探求幾何結(jié)論可按特殊到一般的思路去獲取，但結(jié)論證明應(yīng)從特殊情況得到啟迪.【變式訓(xùn)練2】如右圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P是CD邊上中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段BC上，設(shè)BQk，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得以Q，C，P為頂點(diǎn)的三角形與ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)k，則在正方形ABCD中，DC90，由RtADPRtQCP或RtADPRtPCQ得或，由此解得CQ1或CQ.從而k0或k.題型三解決線的位置或數(shù)量關(guān)系【例3】(2009江蘇)如圖，在四邊形ABCD中，ABCBAD，求證：ABCD.【證明】 由ABCBAD得ACBBDA，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以CABCDB.再由ABCBAD得CABDBA，所以DBACDB，即ABCD.【變式訓(xùn)練3】如圖，AA1與BB1相交于點(diǎn)O，ABA1B1且ABA1B1，AOB的外接圓的直徑為1，則A1OB1的外接圓的直徑為.【解析】因?yàn)锳BA1B1且ABA1B1，所以AOBA1OB1因?yàn)閮扇切瓮饨訄A的直徑之比等于相似比.所以A1OB1的外接圓直徑為2.總結(jié)提高1.相似三角形的判定與性質(zhì)這一內(nèi)容是平面幾何知識(shí)的重要組成部分，是解題的工具，同時(shí)它的內(nèi)容滲透了等價(jià)轉(zhuǎn)化、從一般到特殊、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想與方法，在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)以它們?yōu)橹笇?dǎo).相似三角形的證法有：定義法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.相似三角形的性質(zhì)主要有對(duì)應(yīng)線的比值相等(邊長(zhǎng)、高線、中線、周長(zhǎng)、內(nèi)切圓半徑等)，對(duì)應(yīng)角相等，面積的比等于相似比的平方.2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行輔助線是常作的輔助線之一，遇到困難時(shí)應(yīng)常考慮此類輔助線.16.2直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的性質(zhì)典例精析題型一切線的判定和性質(zhì)的運(yùn)用 【例1】如圖，AB是O的直徑，AC是弦，BAC的平分線AD交O于點(diǎn)D，DEAC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F.(1)求證：DE是O的切線；(2)若，求的值.【解析】(1)證明：連接OD，可得ODAOADDAC，所以O(shè)DAE，又AEDE，所以DEOD，又OD為半徑，所以DE是O的切線.(2)過D作DHAB于H，則有DOHCAB，cosDOHcosCAB，設(shè)OD5x，則AB10x，OH2x，所以AH7x. 由AEDAHD可得AEAH7x，又由AEFDOF可得AFDFAEOD，所以.【變式訓(xùn)練1】已知在直角三角形ABC中，ACB90，以BC為直徑的O交AB于點(diǎn)D，連接DO并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，O的切線DF交AC于點(diǎn)F.(1)求證：AFCF； (2)若ED4，sinE，求CE的長(zhǎng).【解析】(1)方法一：設(shè)線段FD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)G，則GDBADF，且GDBBDO，所以ADFBDO，又因?yàn)樵贠中ODOB，BDOOBD，所以ADFOBD.在RtABC中，ACBA，所以AADF，所以AFFD.又在RtABC中，直角邊BC為O的直徑，所以AC為O的切線，又FD為O的切線，所以FDCF.所以AFCF.方法二：在直角三角形ABC中，直角邊BC為O的直徑，所以AC為O的切線，又FD為O的切線，所以FDCF，且FDCFCD.又由BC為O的直徑可知，ADFFDC，AFCD，所以ADFA，所以FDAF.所以AFCF.(2)因?yàn)樵谥苯侨切蜦ED中，ED4，sinE，所以cosE，所以FE5.又FD3FC，所以CE2.題型二圓中有關(guān)定理的綜合應(yīng)用【例2】如圖所示，已知O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作O1的切線交O2于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交O1、O2于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P.(1)求證：ADEC；(2)若AD是O2的切線，且PA6，PC2，BD9，求AD的長(zhǎng).【解析】(1)連接AB，因?yàn)锳C是O1的切線，所以BACD，又因?yàn)锽ACE，所以DE，所以ADEC.(2)方法一：因?yàn)镻A是O1的切線，PD是O1的割線，所以PA2PBPD，所以62PB(PB9)，所以PB3.在O2中，由相交弦定理得PAPCBPPE，所以PE4.因?yàn)锳D是O2的切線，DE是O2的割線，所以AD2DBDE916，所以AD12.方法二：設(shè)BPx，PEy.因?yàn)镻A6，PC2，所以由相交弦定理得PAPCBPPE，即xy12.因?yàn)锳DEC，所以，所以.由可得或 (舍去)，所以DE9xy16.因?yàn)锳D是O2的切線，DE是O2的割線，所以AD2DBDE916，所以AD12.【變式訓(xùn)練2】如圖，O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，E為O上一點(diǎn)，DE交AB于點(diǎn)F，且AB2BP4.(1)求PF的長(zhǎng)度；(2)若圓F與圓O內(nèi)切，直線PT與圓F切于點(diǎn)T，求線段PT的長(zhǎng)度.【解析】(1)連接OC，OD，OE，由同弧對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系，結(jié)合題中已知條件可得CDEAOC.又CDEPPFD，AOCPOCP，從而PFDOCP，故PFDPCO，所以.由割線定理知PCPDPAPB12，故PF3.(2)若圓F與圓O內(nèi)切，設(shè)圓F的半徑為r，因?yàn)镺F2r1，即r1，所以O(shè)B是圓F的直徑，且過點(diǎn)P的圓F的切線為PT，則PT2PBPO248，即PT2.題型三四點(diǎn)共圓問題【例3】如圖，圓O與圓P相交于A、B兩點(diǎn)，圓心P在圓O上，圓O的弦BC切圓P于點(diǎn)B，CP及其延長(zhǎng)線交圓P于D，E兩點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFCE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：B、P、E、F四點(diǎn)共圓；(2)若CD2，CB2，求出由B、P、E、F四點(diǎn)所確定的圓的直徑.【解析】(1)證明：連接PB.因?yàn)锽C切圓P于點(diǎn)B，所以PBBC.又因?yàn)镋FCE，所以PBFPEF180，所以EPBEFB180，所以B，P，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.(2)因?yàn)锽，P，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，且EFCE，PBBC，所以此圓的直徑就是PF.因?yàn)锽C切圓P于點(diǎn)B，且CD2，CB2，所以由切割線定理CB2CDCE，得CE4，DE2，BP1.又因?yàn)镽tCBPRtCEF，所以EFPBCECB，得EF.在RtFEP中，PF，即由B，P，E，F(xiàn)四點(diǎn)確定的圓的直徑為. 【變式訓(xùn)練3】如圖，ABC是直角三角形，ABC90.以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn).連接OD交圓O于點(diǎn)M.求證：(1)O，B，D，E四點(diǎn)共圓；(2)2DE2DMACDMAB.【證明】(1)連接BE，則BEEC.又D是BC的中點(diǎn)，所以DEBD.又OEOB，ODOD，所以O(shè)DEODB，所以O(shè)BDOED90，所以D，E，O，B四點(diǎn)共圓.(2)延長(zhǎng)DO交圓O于點(diǎn)H.因?yàn)镈E2DMDHDM(DOOH)DMDODMOHDM(AC)DM(AB)，所以2DE2DMACDMAB.總結(jié)提高1.直線與圓的位置關(guān)系是一種重要的幾何關(guān)系.本章在初中平面幾何的基礎(chǔ)上加以深化，使平面幾何知識(shí)趨于完善，同時(shí)為解析幾何、立體幾何提供了多個(gè)理論依據(jù).2.圓中的角如圓周角、圓心角、弦切角及其性質(zhì)為證明相關(guān)的比例線段提供了理論基礎(chǔ)，為解決綜合問題提供了方便，使學(xué)生對(duì)幾何概念和幾何方法有較透徹的理解.