課時(shí)作業(yè)24解三角形的應(yīng)用一、選擇題1以觀(guān)測(cè)者的位置作為原點(diǎn)，東、南、西、北四個(gè)方向把平面分成四個(gè)象限，以正北方向?yàn)槭歼叄错槙r(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)280°到目標(biāo)方向線(xiàn)，則目標(biāo)方向線(xiàn)的位置在觀(guān)測(cè)者的()A北偏東80° B北偏東10°C北偏西80° D北偏西10°解析：注意旋轉(zhuǎn)的方向是順時(shí)針?lè)较颍鞒鱿鄳?yīng)的圖形分析可得正確選項(xiàng)為C.答案：C2已知ABC的三邊a，b，c所對(duì)的內(nèi)角分別為A，B，C，且，則cosB的值為()A. B.C D解析：根據(jù)正弦定理得，所以sinsinB2sincos，所以cos，所以cosB2cos21.答案：C3如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在A處的正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在A處的南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線(xiàn)CB前往B處救援，則cos等于()A. B.C. D.解析：在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理得BC2AB2AC22AB·AC·cos120°2 800，所以BC20.由正弦定理得sinACB·sinBAC.由BAC120°知ACB為銳角，故cosACB，故coscos(ACB30°)cosACB·cos30°sinACB·sin30°.答案：B4.為測(cè)出所住小區(qū)的面積，某人進(jìn)行了一些測(cè)量工作，所得數(shù)據(jù)如圖所示，則小區(qū)的面積是()A. km2 B. km2C. km2 D. km2解析：連接AC，根據(jù)余弦定理可得AC km，故ABC為直角三角形且ACB90°，BAC30°，故ADC為等腰三角形，設(shè)ADDCx km，根據(jù)余弦定理得x2x2x23，即x23×(2)，所以所求的面積為×1××3×(2)×(km2)答案：D5(2017·湖南岳陽(yáng)一模)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果滿(mǎn)足條件：asinAsinBbcos2Aa，則()A2 B2C. D.解析：由正弦定理及asinAsinBbcos2Aa，得sinAsinAsinBsinBcos2AsinA，即sinB(sin2Acos2A)sinA，所以sinBsinA，所以，故選D.答案：D6(2017·福建漳州一模)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2ccosB2ab，若ABC的面積為c，則ab的最小值為()A. B.C. D3解析：由正弦定理及2ccosB2ab，得2sinCcosB2sinAsinB，因?yàn)锳BC，所以sinAsin(BC)，則2sinC·cosB2sin(BC)sinB，即2sinB·cosCsinB0，又0<B<，所以sinB>0，則cosC，因?yàn)?<C<，所以C，所以sinC，則ABC的面積為absinCabc，即c3ab，結(jié)合c2a2b22ab·cosC，可得a2b2ab9a2b2，a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，2abab9a2b2，即ab，故ab的最小值是.故選B.答案：B二、填空題7(2016·山東卷)ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.已知bc，a22b2(1sinA)，則A_.解析：由余弦定理得a2b2c22bccosA2b22b2cosA，所以2b2(1sinA)2b2(1cosA)，所以sinAcosA，即tanA1，又0<A<，所以A.答案：8(2016·天津卷)如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE2AE2，BDED，則線(xiàn)段CE的長(zhǎng)為_(kāi)解析：如圖，連接AC，BC，因?yàn)锳CEDBE，AECDEB，所以ACEDBE.因?yàn)镈BDE，所以ACAE1.在ABC中，cosEAC，在ACE中，由余弦定理，得CE.答案：9(2016·江蘇卷)在銳角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是_解析：由sinAsin(BC)2sinBsinC得sinBcosCcosBsinC2sinBsinC，兩邊同時(shí)除以cosBcosC得tanBtanC2tanBtanC，令tanBtanC2tanBtanCm，因?yàn)锳BC是銳角三角形，所以2tanBtanC>2，則tanBtanC>1，m>2，又在三角形中有tanAtanBtanCtan(BC)tanBtanC·mm24248，當(dāng)且僅當(dāng)m2，即m4時(shí)取等號(hào)，故tanAtanBtanC的最小值為8.答案：8三、解答題10已知函數(shù)f(x)cosx(sinxcosx)(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最大值以及取最大值時(shí)x的取值集合；(2)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且f()，a3，bc2，求ABC的面積解：(1)f(x)cosx(sinxcosx)sinxcosxcos2xsin(2x).當(dāng)2x2k(kZ)，即xx|xk，kZ時(shí)，f(x)取得最大值1.(2)由f()，可得sin(A)0.因?yàn)锳為ABC的內(nèi)角，所以A，則a2b2c22bccosAb2c2bc，由a3，bc2，解得bc1.所以SABCbcsinA.11(2017·河北唐山統(tǒng)考)在ABC中，AB2AC2，AD是BC邊上的中線(xiàn)，記CAD，BAD.(1)求sinsin；(2)若tansinBAC，求BC.解：(1)AD為BC邊上的中線(xiàn)，SACDSABD，AC·ADsinAB·ADsin，sinsinABAC21.(2)tansinBACsin()，sinsin()cos，2sinsin()cos，2sin()sin()cos，sin()cos2cos()sin，sin()2cos()tan，又tansinBACsin()0，cos()cosBAC，在ABC中，BC2AB2AC22AB·ACcosBAC3，BC.1(2017·武漢武昌區(qū)調(diào)研)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos2BcosB1cosAcosC.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若b2，求ABC的面積的最大值解：(1)證明：在ABC中，cosBcos(AC)由已知，得(1sin2B)cos(AC)1cosAcosC，sin2B(cosAcosCsinAsinC)cosAcosC，化簡(jiǎn)，得sin2BsinAsinC.由正弦定理，得b2ac，a，b，c成等比數(shù)列(2)由(1)及題設(shè)條件，得ac4.則cosB，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，等號(hào)成立0<B<，sinB.SABCacsinB×4×.ABC的面積的最大值為.2在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知向量m(cosA，sinA)，n(2cosA，2cosA)，m·n1.(1)若a2，c2，求ABC的面積；(2)求的值解：(1)由m·n1，即2cos2A2sinAcosA1，得sin(2A)1.0<A<，2A，A.由正弦定理，得sinC，C，C，B.SABC×2×22.(2)原式2.