專題限時(shí)集訓(xùn)(十三)圓錐曲線中的綜合問題(對應(yīng)學(xué)生用書第143頁) 建議用時(shí)：45分鐘1已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，右頂點(diǎn)A(2,0)(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)M的直線l交橢圓于B，D兩點(diǎn)，設(shè)直線AB的斜率為k1，直線AD的斜率為k2，求證：k1k2為定值，并求此定值解(1)由題意得解得所以C的方程為y21.4分(2)證明：由題意知直線l的斜率不為0，可設(shè)直線l的方程為xmy，與y21聯(lián)立得(m24)y23my0，6分由0，設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)，則y1y2，y1y2，8分k1k2，k1k2為定值，定值為.15分2已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線xy120相切(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A(4,0)，過點(diǎn)R(3,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，連接AP，AQ分別交直線x于M，N兩點(diǎn)，若直線MR，NR的斜率分別為k1，k2，試問：k1k2是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由解(1)由題意得故橢圓C的方程為1.4分(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為xmy3，由(3m24)y218my210，y1y2，y1y2.6分由A，P，M三點(diǎn)共線可知，yM.8分同理可得yN，k1k2.10分(x14)(x24)(my17)(my27)m2y1y27m(y1y2)49，k1k2.14分k1k2為定值.15分3(2017杭州高級中學(xué)高三最后一模)已知拋物線C1：x22py(p0)與圓C2：x2y28的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4，A，B為拋物線C1上的兩點(diǎn)(1)求p的值；(2)若C1在點(diǎn)A，B處切線垂直相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在圓C2內(nèi)部，直線AB與C2相交于C，D兩點(diǎn)，求|AB|CD|的最小值圖136解(1)由題易得拋物線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，(2,2)，則代入x22py得p1.5分(2)設(shè)A，B，又x2y1，則PA的斜率為y1x1.同理PB的斜率為y2x2，所以x1x21，兩切線為yx1xx，yx2xx，交點(diǎn)為P，8分點(diǎn)P在圓內(nèi)得xx33，直線AB為yx過拋物線的焦點(diǎn)，|AB|p(xx2)，10分設(shè)d為圓心到直線AB的距離，則|AB|CD|(xx2)2，d，13分txx24,35)，則|AB|CD|，最小值為2.15分4已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；圖137(2)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求OPQ面積的取值范圍 【導(dǎo)學(xué)號：68334134】解(1)由題意可設(shè)橢圓方程為1(ab0)，則(其中c2a2b2，c0)，且1，故a2，b1.所以橢圓的方程為y21.4分(2)由題意可知，直線l的斜率存在且不為0.故可設(shè)直線l：ykxm(m0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(14k2)x28kmx4(m21)0，5分則64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，且x1x2，x1x2.6分故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，7分因?yàn)橹本€OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，所以k2，即m20.8分又m0，所以k2，即k.9分由于直線OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22，且m21.設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離，則d，10分|PQ|，11分所以S|PQ|d1(m21)，故OPQ面積的取值范圍為(0,1).15分