1(2018 河北省定州中學(xué)月考改編)函數(shù) f(x)ex3x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_ 解析 由已知得 f(x)ex30，所以 f(x)在 R 上單調(diào)遞增，又 f(1)e130，所以 f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 1. 答案 1 2根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程 exx20 的一個(gè)根所在的區(qū)間為_(kāi) x 1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x2 1 2 3 4 5 解析 據(jù)題意令 f(x)exx2，由于 f(1)e1122.7230，故函數(shù)在區(qū)間(1，2)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)有根 答案 (1，2) 3用二分法求方程 x22 的正實(shí)根的近似解(精確度為 0.001)時(shí)，如果我們選取初始區(qū)間1.4，1.5，則要達(dá)到精度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是_ 解析 設(shè)至少需要計(jì)算 n 次，由題意知1.51.42n100，由 2664，27128知 n7. 答案 7 4已知函數(shù) f(x)2x1，x1，1log2x，x1，則函數(shù) f(x)的零點(diǎn)為_(kāi) 解析 當(dāng) x1 時(shí)，由 f(x)2x10，解得 x0；當(dāng) x1 時(shí)，由 f(x)1log2x0，解得 x12，又因?yàn)?x1，所以此時(shí)方程無(wú)解綜上函數(shù) f(x)的零點(diǎn)只有 0. 答案 0 5 函數(shù) f(x)2x1 （x0），f（x1）（x0），若方程 f(x)xa 有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_(kāi) 解析 函數(shù) f(x)2x1（x0），f（x1）（x0）的圖象如圖所示，作出直線 l：yax，向左平移直線 l，觀察可得函數(shù) yf(x)的圖象與直線 l：yxa 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)， 即方程 f(x)xa 有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 即有 a1. 答案 (，1) 6若函數(shù) f(x)2xa，x0，ln x，x0有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ 解析 當(dāng) x0 時(shí)，由 f(x)ln x0，得 x1.因?yàn)楹瘮?shù) f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則當(dāng) x0時(shí)，函數(shù) f(x)2xa 有一個(gè)零點(diǎn)，令 f(x)0 得 a2x，因?yàn)?02x201，所以 0a1，所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 01 時(shí)，g(x)有 2 個(gè)零點(diǎn)，所以 a 的最小值為 1. 答案 1 9已知 f(x)x3，x1，x22x3，x1，則函數(shù) g(x)f(x)ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi) 解析 函數(shù)g(x)f(x)ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)yf(x)與yex的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)作出函數(shù)圖象可知有 2 個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù) g(x)f(x)ex有 2 個(gè)零點(diǎn) 答案 2 10(2018 江蘇省重點(diǎn)中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺卷(五)已知 f(x)是定義在 R 上且周期為 4 的偶函數(shù)，又函數(shù) f(x)|ln x|（0 xe），|x2ex1|（ex4）.若 f(x)a 在e，4上有 6 個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是_ 解析 由題意畫出函數(shù) f(x)在e，4上的圖象，如圖所示 又 f(x)a 在e，4上有 6 個(gè)零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知，實(shí)數(shù) a 的取值范圍為(0，1) 答案 (0，1) 11已知函數(shù) f(x)x3x2x214.證明：存在 x00，12，使 f(x0)x0. 證明 令 g(x)f(x)x， 因?yàn)?g(0)14，g12f121218， 所以 g(0) g120， 則應(yīng)有 f(2)0， 又因?yàn)?f(2)22(m1)21， 所以 m32. 若 f(x)0 在區(qū)間0，2上有一個(gè)或兩個(gè)解，則 0，0m122，f（2）0，所以（m1）240，3m1，4（m1）210. 所以m3或m1，3m0.若關(guān)于 x 的方程 f(f(x)0 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ 解析： 若 a0， 當(dāng) x0 時(shí)， f(x)0， 故 f(f(x)f(0)0 有無(wú)數(shù)解， 不符合題意， 故 a0.顯然當(dāng) x0 時(shí)，a2x0，故 f(x)0 的根為 1，從而 f(f(x)0 有唯一根，即為 f(x)1 有唯一根，而 x0 時(shí)，f(x)1 有唯一根12，故 a 2x1 在(，0上無(wú)根當(dāng) a 2x1 在(，0上有根時(shí)，可得 a12x1，故由 a 2x1 在(，0上無(wú)根可知 a0 或 0a1，x21，x1x2. 則 x1x22m，x1x23m4， 故只需4m24（3m4）0，（x11）（x21）0，（x11）（x21）0 m23m40，2m20，3m4（2m）10m4，m5. 故 m 的取值范圍是m|5m0 時(shí)，求證：函數(shù) f(x)在(0，)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)； (3)若函數(shù) f(x)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，求 a 的取值范圍 解：(1)當(dāng) x0 時(shí)，由 f(x)0，得xx22x20，即 x(2x24x1)0，解得 x0 或 x2 62(舍負(fù)值)； 當(dāng) x0 且 x0 時(shí)，由 f(x)0，得xx2ax20，即 ax22ax10. 記 g(x)ax22ax1，則函數(shù) g(x)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線 又 g(0)10，由(2)知，當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng) a0 時(shí)，g(x)ax22ax10 恒成立，因此函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)無(wú)零點(diǎn) 于是，要使函數(shù) f(x)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，函數(shù) f(x)在區(qū)間(，0)內(nèi)就要有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 當(dāng) x0 時(shí)，由 f(x)0，得xx2ax20，即 ax22ax10(x2) 因?yàn)?a0 不符合題意，所以式可化為 x22x1a0(x2)，即 x22x1a. 作出函數(shù) h(x)x22x(x0)的圖象便知11a1， 綜上所述，a 的取值范圍是(1，)