第四十六課時 空間向量在立體幾何中的應用 (一)課前預習案考綱要求1.理解直線的方向向量與平面的法向量。2.能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系。3.能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理。4.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。基礎知識梳理1.用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行設直線和的方向向量分別為和，則或與重合_.已知兩個不共線向量，與平面共面，直線的一個方向向量為，則或在內_.已知兩個不共線的向量，與平面共面，則或與重合_.2.用向量運算證明兩條直線垂直設直線和的方向向量分別為和，則_.3.用向量運算求兩條直線所成的角設直線和的方向向量分別為和，直線和所成的角為，則與的關系是_，即_.兩條異面直線所成角的范圍是_.4.用平面的法向量證明兩個平面平行或垂直設分別是平面的法向量，則或與重合_；_.5.直線與平面的夾角(1)_叫做斜線和平面所成的角,斜線和平面所成的角是斜線和這個平面內所有直線所成角中_(2)直線與平面所成角的范圍是_.(3)若斜線與它在平面內射影的夾角為,此射影與平面內直線的夾角為,斜線與平面內該直線的夾角為,則之間的關系是_6.利用平面的法向量求直線和平面所成的角直線的方向向量，平面的法向量為，與所成的角為，則sin= 預習自測1、以點為頂點的三角形是( )A、等腰直角三角形 B、等邊三角形 C、直角三角形 D、無法判斷2、已知，則向量與的夾角是（ ）A、 B、 C、 D、3、正方體中，與平面所成角的余弦值為( )A、 B、 C、 D、4、在三棱柱中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點是側面的中心，則與平面所成角的大小是 ( )A B C D . 5、設，則與平行的單位向量的坐標為 .6、已知，求平面的一個法向量.課堂探究案典型例題考點1：利用向量證明平行與垂直問題【典例1】如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（1）求證：AF平面BDE；（2）求證：CF平面BDE?？键c2 利用向量求兩條異面直線所成的角【典例2】【2012上?！咳鐖D，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點，已知，求：（1）三角形的面積；（2）異面直線與所成的角的大小?？键c3：利用向量求直線與平面所成的角【典例3】如圖,三棱柱中,，,.(1)證明：；(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.【變式1】 如圖，在正三棱柱中，AB=4, ,點D是BC的中點，點E在AC上，且（1）證明：平面平面; （2）求直線AD和平面所成角的正弦值。當堂檢測1、已知正四棱柱中，=，為中點，則異面直線與所成角的余弦值為( )（A） (B) (C) (D) 2、（2013年湖南卷）如圖,在直棱柱,.(1)證明:；(2)求直線與平面所成角的正弦值.課后拓展案 A組全員必做題1、正四棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A B C D2、已知正三棱柱ABCA1B1C1的側棱長與底面邊長相等，則AB1與側面ACC1A1所成角的正弦值等于（ ）(A) (B) (C) (D) 3、【2012陜西】如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱，則直線與直線夾角的余弦值為（ ）A. B. C. D. B組4、如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點。（1）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；（2）在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F/平面A1BE？證明你的結論。A DB CA1 D1B1 C1EB組提高選做題在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E、F分別是AB、PB的中點(1)求證：EFCD；(2)在平面PAD內求一點G，使GF平面PCB，并證明你的結論 參考答案預習自測1.A 2.A 3.D 4.C5.或6.解：設為平面的一個法向量，則即令，得，即平面的一個法向量為典型例題【典例1】證明：（1）設、交點為，連接，正方形邊長為，又，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面（2）平面平面，平面平面，平面，平面，以，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標系，則，又，平面【典例2】解：（1）為矩形，底面，平面，又，平面，（2），即異面直線與所成的角大小為【典例3】（1）證明：取中點，連接、，又，又，平面，（2）解：平面平面，平面，兩兩垂直以，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，設為平面的一個法向量，則即令，則，設直線與平面所成角為，【變式1】（1）證明：該棱柱為正三棱柱，平面，平面，又，平面，平面，平面平面（2）解：取中點，中點,連接,以為原點，,所在直線為軸，軸,軸建立空間直角坐標系（圖略），則，, ，.設為平面的一個法向量，則令，則，.設直線與平面所成角為， ，故直線與平面所成角的正弦值為.當堂檢測C（1）證明：該棱柱為直棱柱，平面，平面，又，平面，平面，.（2）分別以，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設=，則，則，設為平面的一個法向量，則令，則設直線與平面所成的角為， A組全員必做題1.D2.A3.A4.解：分別以、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系（圖略），設棱長為2，則，平面的一個法向量，（1）設直線與平面所成角為，則（2），設為平面的一個法向量，則即整理得令，得設，則，解得，即是棱中點時，平面B組提高選做題(1)證明如圖，以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設ADa，則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.，(0，a,0)0，即EFCD.(2)解設G(x,0，z)，則，若使GF平面PCB，則由(a,0,0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.G點坐標為，即G點為AD的中點