選考部分第十二篇幾何證明選講(選修41)第1節(jié) 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練 理【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)平行線截割定理及應(yīng)用1、4、7、8、12、13相似三角形的判定與性質(zhì)2、6、7、9、10、11直角三角形中的射影定理3、5、11一、選擇題1.如圖所示,在ABC中,DEBC,DFAC,AE=2,AC=3,BC=4,則BF的長(zhǎng)為(B)(A)13(B)43(C)83(D)163解析:因?yàn)镈EBC,所以ADAB=AEAC=23,因?yàn)镈FAC,所以ADAB=CFCB,由得23=CF4,解得CF=83.故BF=4-83=43.2.如圖所示,ABCD中,AEEB=25,若AEF的面積等于4 cm2,則CDF的面積等于(D)(A)10 cm2(B)16 cm2(C)25 cm2(D)49 cm2解析:ABCD中,AEFCDF,由AEEB=25,得AECD=27,SAEFSCDF=（AECD）2=（27）2,SCDF=（72）2×SAEF=494×4=49 (cm2).3.一個(gè)直角三角形的一條直角邊為3,斜邊上的高為125,則這個(gè)三角形的外接圓半徑是(B)(A)5(B)52(C)54(D)25解析:長(zhǎng)為3的直角邊在斜邊上的射影為32-1252=95,故由射影定理知斜邊長(zhǎng)為3295=5,因此這個(gè)直角三角形的外接圓半徑為52.4.(2014漢中模擬)如圖,在梯形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),EFAB,EF=30 cm,AC交EF于G,若FG-EG=10 cm,則AB等于(B)(A)30 cm(B)40 cm(C)50 cm(D)60 cm解析:因?yàn)镋F=30 cm,即FG+EG=30 cm,又FG-EG=10 cm,所以FG=20 cm.因?yàn)镋為AD的中點(diǎn),EFAB,所以F為BC的中點(diǎn),所以G為AC的中點(diǎn),所以AB=2GF=2×20=40(cm).二、填空題5.已知圓O的直徑AB=4,C為圓上一點(diǎn),過C作CDAB于D,若CD=3,則AC=. 解析:因AB為圓O的直徑,所以ACB=90°,設(shè)AD=x,因?yàn)镃DAB,由射影定理得CD2=AD·DB,即(3)2=x(4-x).整理得x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.當(dāng)AD=1時(shí),得AC=2;當(dāng)x=3時(shí),得AC=23.答案:2或236.(2014永州模擬)如圖,ABC中,BC=4,BAC=120°,ADBC,過B作CA的垂線,交CA的延長(zhǎng)線于E,交DA的延長(zhǎng)線于F,則AF=. 解析:設(shè)AE=x,因?yàn)锽AC=120°,所以EAB=60°.又AEEB,所以AB=2x,BE=3x,所以AEBE=x3x=13.在RtAEF與RtBEC中,F=90°-EAF=90°-DAC=C,FEA=BEC=90°,所以AEFBEC,所以AFBC=AEBE,所以AF=4×13=433.答案:4337.如圖所示,在梯形ABCD中,ABCD,AB=4,CD=2,E,F分別為AD,BC上的點(diǎn),且EF=3,EFAB,則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為. 解析:延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)H,由DCEF知SHDCSHEF=（CDEF）2=49,SHDCS梯形DCFE=45,由DCAB知SHDCSABH=（DCAB）2=416,SHDCS梯形ABCD=412,S梯形ABFES梯形EFCD=75.答案:758.如圖,ABC中,D是AC的中點(diǎn),E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過A作AHBE.連接ED并延長(zhǎng)交AB于F,交AH于H.如果AB=4AF,EH=8,則DF=. 解析:AHBE,HFHE=AFAB.AB=4AF,HFHE=14.HE=8,HF=2.AHBE,HDDE=ADDC.D是AC的中點(diǎn),HDDE=1.HE=HD+DE=8,HD=4,DF=HD-HF=4-2=2.答案:29.如圖所示,A,E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn),直徑BC=4,ADBC,垂足為D,BE與AD相交于點(diǎn)F,則AF的長(zhǎng)為. 解析:如圖所示,設(shè)圓心為O,連接OA,OE,AE,因?yàn)锳,E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn),所以AEBC,AE=12BC=2,所以AFEDFB,所以AFDF=AEDB.在AOD中,AOD=60°,AO=2,ADBC,故OD=AOcos AOD=1,AD=AOsin AOD=3,所以BD=1.故AF=AEBD·DF=2(AD-AF).解得AF=233.答案:233三、解答題10.如圖所示,平行四邊形ABCD中,E是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),BE與AD交于點(diǎn)F,DE=12CD.(1)求證:ABFCEB;(2)若DEF的面積為2,求平行四邊形ABCD的面積.(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形,A=C,ABCD.ABF=CEB.ABFCEB.(2)解:四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC,ABCD.DEFCEB,DEFABF.DE=12CD,SDEFSCEB=DEEC2=19,SDEFSABF=DEAB2=14.SDEF=2,SCEB=18,SABF=8.S四邊形BCDF=SCEB-SDEF=16.S平行四邊形ABCD=S四邊形BCDF+SABF=16+8=24.11.(2014湛江模擬)已知RtABC中,BAC=90°,ADBC,垂足為D,DFAC,垂足為F,DEAB,垂足為E.求證:(1)AB·AC=AD·BC;(2)AD3=BC·BE·CF.證明:(1)因?yàn)锳BDCBA,所以ABAD=BCAC,即AB·AC=AD·BC.(2)AD2=BD·DC,AD4=BD2·DC2=BE·BA·CF·CA=BE·CF·AD·BC,AD3=BC·BE·CF.12.如圖所示,梯形ABCD中,ADBC,EF經(jīng)過梯形對(duì)角線的交點(diǎn)O,且EFAD.(1)求證:OE=OF;(2)求:OEAD+OEBC的值;(3)求證:1AD+1BC=2EF.(1)證明:EFAD,ADBC,EFADBC.EFBC,OEBC=AEAB,OFBC=DFDC.EFADBC,AEAB=DFDC.OEBC=OFBC,OE=OF.(2)解:OEAD,OEAD=BEAB.由(1)知,OEBC=AEAB,OEAD+OEBC=BEAB+AEAB=BE+AEAB=1.(3)證明:由(2)知OEAD+OEBC=1,2OEAD+2OEBC=2.又EF=2OE,EFAD+EFBC=2,1AD+1BC=2EF.13.(2014吉林模擬)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,P是BD上任意一點(diǎn),過P點(diǎn)的直線分別交AB,DC于E,F,交DA,BC的延長(zhǎng)線于G,H.(1)求證:PE·PG=PF·PH.(2)當(dāng)過P點(diǎn)的直線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到F,H,C重合時(shí),請(qǐng)判斷PE,PC,PG的關(guān)系,并給出證明.(1) 證明:因?yàn)锳BCD,所以PEPF=PBPD,因?yàn)锳DBC,所以PHPG=PBPD,所以PEPF=PHPG,所以PE·PG=PF·PH.(2)解:由題意可得到圖形,關(guān)系式為PC2=PE·PG.證明如下:因?yàn)锳BCD,所以PEPC=PBPD,因?yàn)锳DBC,所以PCPG=PBPD,所以PEPC=PCPG,即PC2=PE·PG.