專題四專題四立體幾何立體幾何第第 1 講講立體幾何中的計(jì)算與位置關(guān)系立體幾何中的計(jì)算與位置關(guān)系一、選擇題一、選擇題1(2016浙江卷浙江卷)已知互相垂直的平面已知互相垂直的平面，交于交于直線直線 l，若直線若直線 m，n 滿足滿足 m，n，則則()AmlBmnCnlDmn解析：解析：l，l.n，nl.答案：答案：C2(2016江西南昌二模江西南昌二模)設(shè)設(shè)為平面為平面，a，b 為兩條不同的直線為兩條不同的直線，則則下列敘述正確的是下列敘述正確的是()A若若 a，b，則則 abB若若 a，ab，則則 bC若若 a，ab，則則 bD若若 a，ab，則則 b解析：解析：若若 a，b，則則 a 與與 b 相交、平行或異面相交、平行或異面，故故 A 錯誤；錯誤；易知易知 B 正確正確；若若 a，ab，則則 b或或 b，故故 C 錯誤錯誤；若若 a，ab，則則 b或或 b或或 b 與與相交相交，故故 D 錯誤錯誤答案：答案：B3(2016全國全國卷卷)如圖如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗實(shí)線粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為則該多面體的表面積為()A1836 5B5418 5C90D81解析解析：由三視圖可知由三視圖可知，該幾何體的底面是邊長為該幾何體的底面是邊長為 3 的正方形的正方形，高高為為6， 側(cè)棱長為側(cè)棱長為 3 5， 則該幾何體的表面積則該幾何體的表面積 S232233 52365418 5.答案：答案：B4(2016北京卷北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積則該三棱錐的體積為為()A.16B.13C.12D1解析：解析：通過三視圖可還原幾何體為如圖所示的三棱錐通過三視圖可還原幾何體為如圖所示的三棱錐 P-ABC，通通過側(cè)視圖得高過側(cè)視圖得高 h1， 底面積底面積 S121112， 體積體積 V13Sh1312116.答案：答案：A5 (2016廣州綜合測試廣州綜合測試(二二)如圖如圖， 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為 1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積則該幾何體的體積()A46B86C412D812解析解析：由三視圖得該幾何體為一個底面半徑為由三視圖得該幾何體為一個底面半徑為 2，高為高為 3 的圓柱體的圓柱體的一半和一個底面為長為的一半和一個底面為長為 4，寬為寬為 3 的矩形的矩形，高為高為 2 的四棱錐組成的組的四棱錐組成的組合體合體，則其體積為則其體積為123221324386.答案：答案：B二、填空題二、填空題6已知集合已知集合 A，B，C，A直線直線，B平面平面，CAB.若若 aA，bB，cC，給出下列四個給出下列四個命題：命題：ab，cbac；abcbac；ab，cbac；ab，cbac.其中所有正確命題的序號是其中所有正確命題的序號是_解析解析：由題意知由題意知：c 可以是直線可以是直線，也可以是平面也可以是平面當(dāng)當(dāng) c 表示平面時表示平面時，都不對都不對，故選故選.答案：答案：7(2016天津卷天津卷)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐該四棱錐的三視圖如圖所示的三視圖如圖所示(單位：單位：m)，則該四棱錐的體積為則該四棱錐的體積為_m3.解析解析：由三視圖知由三視圖知，四棱錐的高為四棱錐的高為 3，底面平行四邊形的一邊長底面平行四邊形的一邊長為為2，對應(yīng)高為對應(yīng)高為 1，所以其體積所以其體積 V13Sh132132.答案：答案：28.如圖如圖， 正方體正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱長為的棱長為 1， E， F 分別為線段分別為線段 AA1，B1C 上的點(diǎn)上的點(diǎn)，則三棱錐則三棱錐 D1-EDF 的體積為的體積為_解析解析： VD1-EDFVF-DD1E13SD1DE AB131211116.另解另解(特特殊點(diǎn)法殊點(diǎn)法)：讓讓 E 點(diǎn)和點(diǎn)和 A 點(diǎn)重合點(diǎn)重合，點(diǎn)點(diǎn) F 與點(diǎn)與點(diǎn) C 重合重合，則則 VD1-EDF13SACDD1D131211116.答案：答案：16三、解答題三、解答題9.(2016四川卷四川卷)如圖如圖，在四棱錐在四棱錐 P-ABCD 中中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCD12AD.(1)在平面在平面 PAD 內(nèi)找一點(diǎn)內(nèi)找一點(diǎn) M，使得直線使得直線 CM平面平面 PAB，并說明理并說明理由；由；(2)證明：平面證明：平面 PAB平面平面 PBD.(1)解：解：取棱取棱 AD 的中點(diǎn)的中點(diǎn) M(M平面平面 PAD)，點(diǎn)點(diǎn) M 即為所求的一個即為所求的一個點(diǎn)理由如下：連接點(diǎn)理由如下：連接 CM.ADBC，BC12AD.BCAM，且且 BCAM.四四邊形邊形 AMCB 是平行四邊形是平行四邊形，從而從而 CMAB.又又 AB平面平面 PAB，CM 平面平面 PAB，CM平面平面 PAB.(說明：取棱說明：取棱 PD 的中點(diǎn)的中點(diǎn) N，則所找的點(diǎn)可以是直線則所找的點(diǎn)可以是直線 MN 上任意一上任意一點(diǎn)點(diǎn))(2)證明：證明：連接連接 BM，由已知由已知，PAAB，PACD，ADBC，BC12AD，直線直線 AB 與與 CD 相交相交，PA平面平面 ABCD.從而從而 PABD.ADBC，BC12AD，BCMD，且且 BCMD.四邊形四邊形 BCDM 是平行四邊形是平行四邊形BMCD12AD，BDAB.又又 ABAPA，BD平面平面 PAB.又又 BD平面平面 PBD，平面平面 PAB平面平面 PBD.10.(2016全國全國卷卷)如圖如圖，四棱錐四棱錐 P-ABCD 中中，PA底面底面 ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 為線段為線段 AD 上一點(diǎn)上一點(diǎn)，AM2MD，N 為為 PC 的中點(diǎn)的中點(diǎn)(導(dǎo)學(xué)號導(dǎo)學(xué)號 55460124)(1)證明證明 MN平面平面 PAB；(2)求四面體求四面體 N-BCM 的體積的體積(1)證明：證明：由已知得由已知得 AM23AD2，取取 BP 的中點(diǎn)的中點(diǎn) T，連接連接 AT，TN，由由 N 為為 PC 中點(diǎn)知中點(diǎn)知 TNBC，TN12BC2.又又 ADBC，故故 TN 綊綊 AM，故四邊形故四邊形 AMNT 為平行四邊形為平行四邊形，于于是是MNAT.AT平面平面 PAB，MN 平面平面 PAB，MN平面平面 PAB.(2)解：解：PA平面平面 ABCD，N 為為 PC 的中點(diǎn)的中點(diǎn)，N 到平面到平面 ABCD 的距離為的距離為12PA.取取 BC 的中點(diǎn)的中點(diǎn) E，連接連接 AE.由由 ABAC3 得得 AEBC，AE AB2BE2 5.由由 AMBC 得得 M 到到 BC 的距離為的距離為 5，故故 SBCM124 52 5.四面體四面體 N-BCM 的體積的體積VN-BCM13SBCMPA24 53.11(2016深圳二次調(diào)研深圳二次調(diào)研)如圖如圖，平面平面 ABCD平面平面 ADEF，四邊四邊形形ABCD 為菱形為菱形，四邊形四邊形 ADEF 為矩形為矩形，M，N 分別是分別是 EF，BC 的中點(diǎn)的中點(diǎn)，AB2AF，CBA60.(導(dǎo)學(xué)號導(dǎo)學(xué)號 55460125)(1)求證：求證：DM平面平面 MNA；(2)若三棱錐若三棱錐 A-DMN 的體積為的體積為33，求點(diǎn)求點(diǎn) A 到平面到平面 DMN 的距離的距離(1)證明：證明：連接連接 AC，在菱形在菱形 ABCD 中中，CBA60且且 ABBC，ABC 為等邊三角形為等邊三角形，又又N 為為 BC 的中點(diǎn)的中點(diǎn)，ANBC.BCAD，ANAD.又又平面平面 ABCD平面平面 ADEF，平面平面 ABCD平面平面 ADEFAD，AN平面平面 ABCD，AN平面平面 ADEF；又；又 DM平面平面 ADEF，DMAN.在矩形在矩形 ADEF 中中，ADAB2AF，M 為為 EF 的中點(diǎn)的中點(diǎn)，AMF 為等腰直角三角形為等腰直角三角形，AMF45，同理可證同理可證DME45，DMA90，DMAM.又又AMANA，且且 AM，AN平面平面 MNA，DM平面平面 MNA.(2)解：解：設(shè)設(shè) AFx，則則 AB2AF2x，在在 RtABN 中中，AB2x，BNx，ABN60，AN 3x，SADN122x 3x 3x2，平面平面 ABCD平面平面 ADEF，AD 為交線為交線，F(xiàn)AAD，F(xiàn)A平面平面 ABCD.設(shè)設(shè) h 為點(diǎn)為點(diǎn) M 到平面到平面 ADN 的距離的距離，則則 hAFx.V三棱錐三棱錐M-ADN13SADNh13 3x2x33x3，V三棱錐三棱錐M-ADNV三棱錐三棱錐A-DMN33，x1.作作 AHMN 交交 MN 于點(diǎn)于點(diǎn) H，DM平面平面 MNA，DMAH，AH平面平面 DMN，則則 AH 的長即的長即為點(diǎn)為點(diǎn) A 到平面到平面 DMN 的距離的距離在在 RtMNA 中中，MA 2，AN 3，AH305，點(diǎn)點(diǎn) A 到平面到平面 DMN 的距離為的距離為305.