【導與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復習 第8篇 第2節(jié) 圓與方程課時訓練 理【選題明細表】知識點、方法題號圓的方程2直線與圓的位置關(guān)系1、6、8、9、10、13、15、16圓與圓的位置關(guān)系3、4、14與圓有關(guān)的最值問題5、7、12與圓有關(guān)的軌跡問題11、15一、選擇題1.對任意的實數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=2的位置關(guān)系一定是(C)(A)相離(B)相切(C)相交但直線不過圓心(D)相交且直線過圓心解析:直線y=kx+1恒過定點(0,1),且定點(0,1)在圓x2+y2=2內(nèi),故直線y=kx+1一定與圓相交.又圓心(0,0)不滿足方程y=kx+1,直線與圓相交但不過圓心.2.(2014合肥模擬)已知圓x2+y2-2x+my-4=0上兩點M、N關(guān)于直線2x+y=0對稱,則圓的半徑為(B)(A)9(B)3(C)23(D)2解析:由題意知,圓心(1,-m2)在直線2x+y=0上,2-12m=0,解得m=4;圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=9,圓的半徑為3.3.(2014青島模擬)過點P(2,3)向圓x2+y2=1作兩條切線PA、PB,則弦AB所在直線的方程為(B)(A)2x-3y-1=0(B)2x+3y-1=0(C)3x+2y-1=0(D)3x-2y-1=0解析:以PO為直徑的圓(x-1)2+(y-32)2=134與圓x2+y2=1的公共弦即為所求,直線方程為2x+3y-1=0.4.(2013高考安徽卷)直線x+2y-5+5=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長為(C)(A)1(B)2(C)4(D)46解析:直線與圓相交問題必考慮圓心到直線的距離,圓半徑及半弦長組成的直角三角形.由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,所以圓心為(1,2),半徑為5,又圓心到直線的距離為|1+4-5+5|5=1,所以半弦長為2,弦長為4.故選C.5.(2014銀川模擬)過圓x2+y2=1上一點作圓的切線與x軸,y軸的正半軸交于A,B兩點,則|AB|的最小值為(C)(A)2(B)3(C)2(D)3解析:設(shè)圓上的點為(x0,y0),其中x0>0,y0>0,則切線方程為x0x+y0y=1.分別令x=0,y=0得A(1x0,0),B(0,1y0),則|AB|=(1x0)2+(1y0)2=1x0y01x02+y022=2.當且僅當x0=y0時,等號成立.6.(2013高考山東卷)過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A、B,則直線AB的方程為(A)(A)2x+y-3=0(B)2x-y-3=0(C)4x-y-3=0(D)4x+y-3=0解析:由圖知切點A(1,1),圓心坐標C(1,0),所以kCM=1-03-1=12.易證CMAB,所以kAB=-2.直線AB的方程為y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.7.(2014高考北京卷)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圓C上存在點P,使得APB=90,則m的最大值為(B)(A)7(B)6(C)5(D)4解析:由題意知以AB為直徑的圓與圓C有公共點,且|OC|=5,于是m-151+m即4m6.故選B.8.在圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi),過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(B)(A)52(B)102(C)152(D)202解析:圓的方程化為標準形式為(x-1)2+(y-3)2=10,由圓的性質(zhì)可知最長弦AC=210,最短弦BD恰以E(0,1)為中點,設(shè)點F為其圓心,坐標為(1,3).故EF=5,BD=210-(5)2=25,S四邊形ABCD=12ACBD=102.9.(2014高考福建卷)已知圓C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面區(qū)域:x+y-70,x-y+30,y0.若圓心C,且圓C與x軸相切,則a2+b2的最大值為(C)(A)5(B)29(C)37(D)49解析:作出不等式組x+y-70,x-y+30,y0表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分所示,含邊界),圓C:(x-a)2+(y-b)2=1的圓心坐標為(a,b),半徑為1.由圓C與x軸相切,得b=1.解方程組x+y-7=0,y=1,得x=6,y=1,即直線x+y-7=0與直線y=1的交點坐標為(6,1),設(shè)此點為P.又點C,則當點C與P重合時,a取得最大值,所以,a2+b2的最大值為62+12=37.二、填空題10.(2014高考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長為.解析:由題意可得,圓心為(2,-1),r=2,圓心到直線的距離d=|2-2-3|12+22=355,所以弦長為2r2-d2=24-95=2555.答案:255511.(2014 浙江省瑞安十校聯(lián)考)點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點連線的中點的軌跡方程是.解析:設(shè)圓上任一點為Q(x0,y0),PQ的中點為M(x,y),則x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2,又因為點Q在圓x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.答案:(x-2)2+(y+1)2=112.已知x,y滿足x2+y2=1,則y-2x-1的最小值為.解析:y-2x-1表示圓上的點P(x,y)與點Q(1,2)連線的斜率,所以y-2x-1的最小值是當直線PQ與圓相切時的斜率.設(shè)直線PQ的方程為y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,由|2-k|k2+1=1得k=34,結(jié)合圖形可知y-2x-134,最小值為34.答案:3413.已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中O為坐標原點,則實數(shù)a的值為.解析:如圖,作平行四邊形OADB,則OA+OB=OD,OA-OB=BA,|OD|=|BA|.又|OA|=|OB|,四邊形OADB為正方形.a=2.答案:214.在平面內(nèi),與點A(1,2)距離為1,與點B(3,1)距離為2的直線共有條.解析:與點A距離為1的直線是以A為圓心,1為半徑的圓的切線,同理與點B距離為2的直線是以B為圓心,2為半徑的圓的切線,即所求直線為兩圓的公切線,由于|AB|=5,所以兩圓相交,公切線有2條.答案:2三、解答題15.已知圓C:x2+(y-2)2=5,直線l:mx-y+1=0.(1)求證:對mR,直線l與圓C總有兩個不同交點;(2)若圓C與直線相交于點A和點B,求弦AB的中點M的軌跡方程.(1)證明:法一直線方程與圓的方程聯(lián)立,消去y得(m2+1)x2-2mx-4=0,=4m2+16(m2+1)=20m2+16>0,對mR,直線l與圓C總有兩個不同交點.法二直線l:mx-y+1=0恒過定點(0,1),且點(0,1)在圓C:x2+(y-2)2=5內(nèi)部,對mR,直線l與圓C總有兩個不同交點.(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),由方程(m2+1)x2-2mx-4=0,得x1+x2=2mm2+1,x=mm2+1.當x=0時m=0,點M(0,1),當x0時,由mx-y+1=0,得m=y-1x,代入x=mm2+1,得x(y-1x)2+1=y-1x ,化簡得x2+(y-32)2=14.經(jīng)驗證(0,1)也符合,弦AB的中點M的軌跡方程為x2+(y-32)2=14.16.已知直線l:mx-(m2+1)y=4m(mR)和圓C:x2+y2-8x+4y+16=0,是否存在實數(shù)m,使得直線l將圓C分割成弧長的比值為12的兩段圓弧,若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.解:直線l的方程可化為y=mm2+1x-4mm2+1,此時l的斜率k=mm2+1,因為|m|12(m2+1),所以|k|=|m|m2+1|12,當且僅當|m|=1時等號成立,所以斜率k的取值范圍是-12,12.又y=mm2+1(x-4),即l的方程為y=k(x-4),其中|k|12,圓C的圓心為C(4,-2),半徑r=2;圓心C到直線l的距離d=21+k2,由|k|12,得2>d45>1,即r>d>r2,從而l與圓C相交,且直線l截圓C所得的弦所對的圓心角小于23,所以l不能將圓C分割成弧長的比值為12的兩段弧.