【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第5節(jié) 拋物線課時訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】知識點、方法題號拋物線的定義與應(yīng)用2、9、14拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)1、3、5、12拋物線的綜合問題4、6、7、8、10、11、13、15、16基礎(chǔ)過關(guān)一、選擇題1.(2014高考新課標(biāo)全國卷)已知拋物線C:y2=x的焦點為F,A(x0,y0)是C上一點,|AF|=54x0,則x0等于(A)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:作AM準(zhǔn)線l,根據(jù)拋物線定義|AF|=|AM|,拋物線方程為y2=x,則2p=1,p=12,準(zhǔn)線l方程為x=-14,則有54x0=x0+14,x0=1.故選A.2.(2014成都模擬)拋物線y2=8x的焦點到直線x-3y=0的距離是(D)(A)23(B)2(C)3(D)1解析:拋物線y2=8x的焦點(2,0)到直線x-3y=0的距離,d=|2-0|2=1.3.(2014湖州模擬)已知雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為(D)(A)x2=833y(B)x2=1633y(C)x2=8y(D)x2=16y解析:雙曲線的漸近線方程為y=bax,由于ca=a2+b2a2=1+(ba)2=2,所以ba=3,所以雙曲線的漸近線方程為y=3x.拋物線的焦點坐標(biāo)為(0,p2),所以p22=2,則p=8,所以拋物線方程為x2=16y.4.(2014浙江省寧波模擬)若橢圓x26+y22=1的右焦點與拋物線y2=2px的焦點重合,則p的值為(C)(A)2(B)-2(C)4(D)-4解析:橢圓x26+y22=1的右焦點坐標(biāo)為(2,0),所以p2=2,解得p=4.5.(2014高考遼寧卷)已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,記C的焦點為F,則直線AF的斜率為(C)(A)-43(B)-1(C)-34(D)-12解析:因為點A在拋物線的準(zhǔn)線上,所以-p2=-2,所以該拋物線的焦點F(2,0),所以kAF=3-0-2-2=-34.故選C.6.(2014高考新課標(biāo)全國卷)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點,則|AB|等于(C)(A)303(B)6(C)12(D)73解析:拋物線C:y2=3x的焦點為F(34,0),所以AB所在的直線方程為y=33(x-34),將y=33(x-34)代入y2=3x,消去y整理得x2-212x+916=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=212,由拋物線的定義可得|AB|=x1+x2+p=212+32=12,故選C.7.(2014北京西城模擬)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為(C)(A)y=x-1或y=-x+1(B)y=33(x-1)或y=-33(x-1)(C)y=3(x-1)或y=-3(x-1)(D)y=22(x-1)或y=-22(x-1)解析:拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則因為|AF|=3|BF|,所以x1+1=3(x2+1),所以x1=3x2+2,因為|y1|=3|y2|,x1=9x2,所以x1=3,x2=13,當(dāng)x1=3時,y12=12,所以此時y1=12=23.若y1=23,則A(3,23),B(13,-233),此時kAB=3,此時直線方程為y=3(x-1).若y1=-23,則A(3,-23),B(13,233),此時kAB=-3,此時直線方程為y=-3(x-1).8.(2014北京市東城質(zhì)檢)已知拋物線y2=2px的焦點F與雙曲線x27-y29=1的右焦點重合,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為K,點A在拋物線上且|AK|=2|AF|,則AFK的面積為(D)(A)4(B)8(C)16(D)32解析:雙曲線的右焦點為(4,0),拋物線的焦點為(p2,0),所以p2=4,即p=8.所以拋物線方程為y2=16x,焦點F(4,0),準(zhǔn)線方程x=-4,即K(-4,0),不妨設(shè)A(y216,y),y>0,過A作AM垂直于準(zhǔn)線于M,由拋物線的定義可知|AM|=|AF|,所以|AK|=2|AF|=2|AM|,即|AM|=|MK|,所以y216-(-4)=y,整理得y2-16y+64=0,即(y-8)2=0,所以y=8,所以SAFK=12|KF|y=1288=32.二、填空題9.(2014山東臨沂模擬)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標(biāo)為(1,0)則p=;準(zhǔn)線方程為.解析:p2=1,所以p=2,準(zhǔn)線方程為x=-1.答案:2x=-110.(2014福州模擬)已知雙曲線x2a2-y2b2=1的一個焦點與拋線線y2=410x的焦點重合,且雙曲線的離心率等于103,則該雙曲線的方程為.解析:拋物線y2=410x的焦點(10,0),e=10a=103,a=3,b=1.該雙曲線的方程為x29-y2=1.答案:x29-y2=111.(2014高考湖南卷)平面上一機器人在行進中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機器人接觸不到過點P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是.解析:由題意可知機器人行進的軌跡為一拋物線,其軌跡方程為y2=4x,過點P(-1,0)且斜率為k的直線方程為y=k(x+1),由題意知直線與拋物線無交點,聯(lián)立消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,則=(2k2-4)2-4k4<0,所以k2>1,得k>1或k<-1.答案:(-,-1)(1,+)三、解答題12.頂點在原點,焦點在x軸上的拋物線截直線y=2x-4所得的弦長|AB|=35,求此拋物線方程.解:設(shè)所求的拋物線方程為y2=ax(a0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直線y=2x-4代入y2=ax,得4x2-(a+16)x+16=0,由=(a+16)2-256>0,得a>0或a<-32.又x1+x2=a+164,x1x2=4,|AB|=(1+22)(x1+x2)2-4x1x2=5(a+164)2-16=35,5(a+164)2-16=45,a=4或a=-36.故所求的拋物線方程為y2=4x或y2=-36x.13.(2014山東臨沂二模)如圖,已知直線與拋物線y2=2px(p>0)相交于A、B兩點,且OAOB,ODAB交AB于D,且點D的坐標(biāo)為(3,3).(1)求p的值;(2)若F為拋物線的焦點,M為拋物線上任一點,求|MD|+|MF|的最小值.解:(1)設(shè)A(y122p,y1),B(y222p,y2),kOD=33,則kAB=-3,直線AB的方程為y-3=-3(x-3),即3x+y-43=0,將x=y22p代入上式,整理得3y2+2py-83p=0,y1y2=-8p,由OAOB得y12y224p2+y1y2=0,即y1y2+4p2=0,-8p+4p2=0,又p>0,則p=2.(2)由拋物線定義知|MD|+|MF|的最小值為D點到拋物線y2=4x準(zhǔn)線的距離,又準(zhǔn)線方程為x=-1,因此|MD|+|MF|的最小值為4.能力提升14.已知P、Q為拋物線x2=2y上兩點,點P、Q的橫坐標(biāo)分別為4、-2,過P、Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點A,則點A的縱坐標(biāo)為.解析:由于P、Q為拋物線x2=2y,即y=12x2上的點,且橫坐標(biāo)分別為4、-2,則P(4,8),Q(-2,2),從而在點P處的切線斜率k1=4.據(jù)點斜式,得曲線在點P處的切線方程為y-8=4(x-4);同理,曲線在點Q處的切線方程為y-2=-2(x+2);將這兩個方程聯(lián)立,解得交點A的縱坐標(biāo)為-4.答案:-415.(2014高考浙江卷)已知ABP的三個頂點都在拋物線C:x2=4y上,F為拋物線C的焦點,點M為AB的中點,PF=3FM.(1)若|PF|=3,求點M的坐標(biāo);(2)求ABP面積的最大值.解:(1)由題意知焦點F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1.設(shè)P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|=y0+1,得y0=2,所以P(22,2)或P(-22,2),由PF=3FM,得M(-223,23)或M(223,23).(2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由y=kx+m,x2=4y,得x2-4kx-4m=0,于是=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB的中點M的坐標(biāo)為(2k,2k2+m),由PF=3FM得,(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以x0=-6k,y0=4-6k2-3m,由x02=4y0得k2=-15m+415,由>0,k20,得-13<m43.又因為|AB|=41+k2k2+m,點F(0,1)到直線AB的距離為d=|m-1|1+k2,所以SABP=4SABF=8|m-1|k2+m=16153m3-5m2+m+1,記f(m)=3m3-5m2+m+1(-13<m43),令f(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=19,m2=1,可得f(m)在(-13,19)上是增函數(shù),在(19,1)上是減函數(shù),在(1,43)上是增函數(shù),又f(19)=256243>f(43).所以,當(dāng)m=19時,f(m)取到最大值256243,此時k=5515.所以,ABP面積的最大值為2565135.探究創(chuàng)新16.(2014高考四川卷)已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),OAOB=2(其中O為坐標(biāo)原點),則ABO與AFO面積之和的最小值是(B)(A)2(B)3(C)1728(D)10解析:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假設(shè)y1>0,y2<0),直線AB的方程為x=ty+m,且直線AB與x軸的交點為M(m,0).由x=ty+m,y2=x消去x,得y2-ty-m=0,所以y1y2=-m.又OAOB=2,所以x1x2+y1y2=2,(y1y2)2+y1y2-2=0,因為點A,B在拋物線上且位于x軸的兩側(cè),所以y1y2=-2,故m=2.又F(14,0),于是SABO+SAFO=122(y1-y2)+1214y1=98y1+2y1298y12y1=3,當(dāng)且僅當(dāng)98y1=2y1,即y1=43時取“=”,所以ABO與AFO面積之和的最小值是3.故選B.