專題四專題四立體幾何初步立體幾何初步第第 2 講講空間中的平行與垂直空間中的平行與垂直一、選擇題一、選擇題1(2016浙江卷浙江卷)已知互相垂直的平面已知互相垂直的平面，交于直線交于直線 l，若直線若直線 m，n 滿足滿足 m，n，則則()AmlBmnCnlDmn解析：解析：l，l.n，nl.答案：答案：C2(2016江西南昌二模江西南昌二模)設設為平面為平面，a，b 為兩條不同的直線為兩條不同的直線，則則下列敘述正確的是下列敘述正確的是()A若若 a，b，則則 abB若若 a，ab，則則 bC若若 a，ab，則則 bD若若 a，ab，則則 b解析：解析：若若 a，b，則則 a 與與 b 相交、平行或異面相交、平行或異面，故故 A 錯誤；錯誤；易知易知 B 正確；正確；若若 a，ab，則，則 b或或 b，故故 C 錯誤；錯誤；若若 a，ab，則則 b或或 b或或 b 與與相交相交，故故 D 錯誤錯誤答案：答案：B3.如圖如圖，在三棱錐在三棱錐 D-ABC 中中，若若 ABCB，ADCD，E 是是 AC 的的中點中點，則下列命題中正確的是則下列命題中正確的是()(導學號導學號 53130126)A平面平面 ABC平面平面 ABDB平面平面 ABD平面平面 BCDC平面平面 ABC平面平面 BDE，且平面且平面 ACD平面平面 BDED平面平面 ABC平面平面 ACD，且平面且平面 ACD平面平面 BDE解析解析： ABCB， 且且 E 是是 AC 的中點的中點， BEAC， 同理同理有有 DEAC，于是于是 AC平面平面 BDE.AC平面平面 ABC， 平面平面 ABC平面平面 BDE.又又 AC平面平面 ACD，平面平面 ACD平面平面 BDE.答案：答案：C4(2015廣東卷廣東卷)若直線若直線 l1和和 l2是異面直線是異面直線，l1在平面在平面內內，l2在平在平面面內，內，l 是平面是平面與平面與平面的交線的交線，則下列命題正確的是則下列命題正確的是()Al 與與 l1，l2都不相交都不相交Bl 與與 l1，l2都相交都相交Cl 至多與至多與 l1，l2中的一條相交中的一條相交Dl 至少與至少與 l1，l2中的一條相交中的一條相交解析：解析：由直線由直線 l1和和 l2是異面直線可知是異面直線可知 l1與與 l2不平行不平行，故故 l1，l2中至中至少有一條與少有一條與 l 相交相交答案：答案：D5.如圖如圖，斜線段斜線段 AB 與平面與平面所成的角為所成的角為 60，B 為斜足為斜足，平面平面上上的動點的動點 P 滿足滿足PAB30，則點則點 P 的軌跡是的軌跡是()A直線直線B拋物線拋物線C橢圓橢圓D雙曲線的一支雙曲線的一支解析：解析：PAB30，點點 P 的軌跡為以的軌跡為以 AB 為軸線為軸線，PA 為母為母線的圓錐面與平面線的圓錐面與平面的交線的交線，且平面且平面與圓錐的軸線斜交與圓錐的軸線斜交，故點故點 P 的軌的軌跡為橢圓跡為橢圓答案：答案：C二、填空題二、填空題6已已知集合知集合 A，B，C，A直線直線，B平面平面，CAB.若若 aA，bB，cC，給出下列四個命題：給出下列四個命題：ab，cbac；abcbac；ab，cbac；ab，cbac.其中所有正確命題的序號是其中所有正確命題的序號是_解析解析：由題意知由題意知：c 可以是直線可以是直線，也可以是平面也可以是平面當當 c 表示平面時表示平面時，都不對都不對，故選故選.答案：答案：7.如圖如圖，AB 為圓為圓 O 的直徑的直徑，點點 C 在圓周上在圓周上(異于點異于點 A，B)，直直線線PA 垂直于圓垂直于圓 O 所在的平面所在的平面， 點點 M 為線段為線段 PB 的中點的中點 有以下四個命題有以下四個命題：PA平面平面 MOB；MO平面平面 PAC；OC平面平面 PAC；平面平面 PAC平面平面 PBC.其中正確的命題是其中正確的命題是_(填上所有填上所有正確命題的序號正確命題的序號)解析解析： 錯誤錯誤， PA平面平面 MOB； 正確正確； 錯誤錯誤， 否則否則， 有有 OCAC，這與這與 BCAC 矛盾；矛盾；正確正確，因為因為 BC平面平面 PAC.答案：答案：8.如圖如圖，在正方形在正方形 ABCD 中中，E、F 分別是分別是 BC、CD 的中點的中點，ACEFG，現在沿現在沿 AE、EF、FA 把這個正方形折成一個四面體把這個正方形折成一個四面體，使使 B、C、 D三點重合三點重合， 重合后的點記重合后的點記為為P， 則在四面則在四面體體P-AEF中必有中必有_APPEF 所在平面；所在平面；AGPEF 所在平面；所在平面；EPAEF 所在平面；所在平面；PGAEF 所在平面所在平面解析：解析：在折疊過程中在折疊過程中，ABBE，ADDF 保持不變保持不變APPEAPPFPEPFPAP平面平面 PEF.答案：答案：三、解答題三、解答題9 (2016四四川卷川卷)如圖如圖， 在四棱錐在四棱錐 P-ABCD 中中， PACD， ADBC，ADCPAB90，BCCD12AD.(導學號導學號 53130127)(1)在平面在平面 PAD 內找一點內找一點 M，使得直線使得直線 CM平面平面 PAB，并說明理并說明理由；由；(2)證明：平面證明：平面 PAB平面平面 PBD.(1)解：解：取棱取棱 AD 的中點的中點 M(M平面平面 PAD)， 點點 M 即為所求的一個點即為所求的一個點 理由理由如如下：下：ADBC，BC12AD，BCAM，且且 BCAM.四邊形四邊形 AMCB 是平行四邊形是平行四邊形，CMAB.又又 AB平面平面 PAB，CM 平面平面 PAB，CM平面平面 PAB.(說明：取棱說明：取棱 PD 的中點的中點 N，則所找的點可以是直線則所找的點可以是直線 MN 上任意一上任意一點點)(2)證明：證明：由已知由已知，PAAB，PACD，ADBC，BC12AD，直線直線 AB 與與 CD 相交相交，PA平面平面 ABCD，PABD.ADBC，BC12AD，M 為為 AD 的中點的中點，連接連接 BM，BCMD，且且 BCMD，四邊形四邊形 BCDM 是平行四邊形是平行四邊形，BMCD12AD，BDAB.又又 ABAPA，BD平面平面 PAB.又又 BD平面平面 PBD，平面平面 PAB平面平面 PBD.10(2016浙江卷浙江卷)如圖如圖，在三棱臺在三棱臺 ABC-DEF 中中，平面平面 BCFE平平面面 ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(導學號導學號53130128)(1)求證：求證：BF平面平面 ACFD；(2)求直線求直線 BD 與平面與平面 ACFD 所成角的余弦值所成角的余弦值(1)證明：證明：延長延長 AD，BE，CF 相交于一點相交于一點 K，如圖所示如圖所示平面平面 BCFE平面平面 ABC，又平面又平面 BCEF平面平面 ABCBC，且且ACBC，AC平面平面 ABC，AC平面平面 BCK，因此因此，BFAC.又又EFBC，BEEFFC1，BC2，BCK 為等邊三角形為等邊三角形，且且 F 為為 CK 的中點的中點，則則 BFCK.BF平面平面 ACFD.(2)解：解：BF平面平面 ACK，BDF 是直線是直線 BD 與平面與平面 ACFD 所成的角所成的角在在 RtBFD 中中，BF 3，DF32，得得 cosBDF217，直線直線 BD 與平面與平面 ACFD 所成角的余弦值為所成角的余弦值為217.11(2016合肥三合肥三次質檢次質檢)如圖如圖，直角三角形直角三角形 ABC 中中，A60，沿沿斜邊斜邊 AC 上的高上的高 BD 將將ABD 折起到折起到PBD 的位置的位置，點點 E 在線段在線段 CD上上(1)求證：求證：PEBD；(2)過點過點 D 作作 DMBC 交交 BC 于點于點 M， 點點 N 為為 PB 的中點的中點， 若若 PE平面平面 DMN，求求DEDC的值的值(1)證明：證明：BDPD，BDCD 且且 PDDCD，BD平面平面 PCD，而而 PE平面平面 PCD，BDPE.(2)解：解：由由題意得題意得 BM14BC，取取 BC 的中點的中點 F，則則 PFMN，PF平面平面 DMN.由條件由條件 PE平面平面 DMN，PEPFP，平面平面 PEF平面平面 DMN，EFDM，DEDCMFMC13.