專題四空間向量、推理與證明專題四空間向量、推理與證明一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)1空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a a，b b(b b0 0)，a ab b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)，使得a ab b(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a a，b b不共線，那么向量p p與向量a a，b b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p pxa ayb b(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a a，b b，c c不共面，那么對(duì)空間任一向量p p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得p pxa ayb bzc c其中a a，b b，c c叫做空間的一個(gè)基底2兩個(gè)向量的數(shù)量積(與平面向量基本相同)(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a a，b b，在空間中任取一點(diǎn)O，作OAa a，OBb b，則AOB叫做向量a a與b b的夾角，記作a a，b b 通常規(guī)定 0a a，b b若a a，b b2，則稱向量a a，b b互相垂直，記作a ab b.(2)兩向量的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量a a，b b的數(shù)量積a ab b|a a|b b|cosa a，b b (3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：a ae e|a a|cosa a，e e ；a ab ba ab b0；|a a|2a aa aa a2；|a ab b|a a|b b|.(4)向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：(a a)b b(a ab b)；a ab bb ba a(交換律)；a a(b bc c)a ab ba ac c(分配律)3空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)a ab b(a1b1，a2b2，a3b3)，a ab b(a1b1，a2b2，a3b3)，a a(a1，a2，a3)，a ab ba1b1a2b2a3b3，a ab ba1b1a2b2a3b30，a ab ba1b1，a2b2，a3b3(R R)，cosa a，b ba ab b|a a|b b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b23.(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則ABOBOA(x2x1，y2y1，z2z1)4直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱AB為直線l的方向向量，與AB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量(2)定義：與平面垂直的向量，稱做平面的法向量確定：設(shè)a a，b b是平面內(nèi)兩不共線向量，n n為平面的法向量，則求法向量的方程組為n na a0n nb b0.5空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n n1，n n2l1l2n n1n n2n n1n n2l1l2n n1n n2n n1n n20直線l的方向向量為n n，平面的法向量為m mln nm mn nm m0ln nm mn nm m平面，的法向量分別為n n，m mn nm mn nm mn nm mn nm m06.空間向量與空間角的關(guān)系(1)兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a a，b b，其夾角為，則 cos|cos|a ab b|a a|b b|(其中為異面直線a，b所成的角)(2)直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e e，平面的法向量為n n，直線l與平面所成的角為，兩向量e e與n n的夾角為，則有 sin|cos|e en n|e e|n n|(3)求二面角的大小a如圖，AB，CD是二面角-l-兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小AB，CD b如圖，n n1，n n2分別是二面角-l-的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小滿足 coscosn n1，n n2或cosn n1，n n2 7. 點(diǎn)到平面的距離的求法如圖， 設(shè)AB為平面的一條斜線段，n n為平面的法向量， 則點(diǎn)B到平面的距離d|ABn n|n n|.8推理(1)定義：是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程(2)分類：推理合情推理演繹推理9合情推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征， 推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理， 或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征， 推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理特點(diǎn)由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理由特殊到特殊的推理10.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理(2)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理(3)模式：三段論大前提：已知的一般原理；小前提：所研究的特殊情況；結(jié)論：根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷.11直接證明直接證明中最基本的兩種證明方法是綜合法和分析法(1)綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法綜合法又稱為：由因?qū)Ч?順推證法)(2)分析法：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法分析法又稱為：執(zhí)果索因法(逆推證法)12間接證明反證法：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法13 數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N N)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN N)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1 時(shí)命題也成立二、題之本：思想方法技巧二、題之本：思想方法技巧1 利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解問題的方法用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的長(zhǎng)度，一般用向量的模來(lái)解決；解決垂直問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化2.在求一個(gè)向量由其他向量來(lái)表示的時(shí)候，通常是利用向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點(diǎn)，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近常見的向量處理方法見下表：三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面PAPB且同過(guò)點(diǎn)PMPxMAyMB對(duì)空間任意一點(diǎn)O，OPOAtAB對(duì)空間任意一點(diǎn)O，OPOMxMAyMB對(duì)空間任意一點(diǎn)O，OPxOA(1x)OB對(duì)空間任意一點(diǎn)O，OPxOMyOA(1xy)OB3 空間向量數(shù)量積的計(jì)算方法：定義法：設(shè)向量a a，b b的夾角為，則a ab b|a a|b b|cos.坐標(biāo)法：設(shè)a a(x1，y1，z1)，b b(x2，y2，z2)，則a ab bx1x2y1y2z1z2.4.數(shù)量積的應(yīng)用：求夾角：設(shè)向量a a，b b所成的角為，則 cosa ab b|a a|b b|，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角求長(zhǎng)度(距離)：運(yùn)用公式|a a|2a aa a，可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題解決垂直問題：利用a ab ba ab b0(a a0 0，b b0 0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題5.在涉及正方體、長(zhǎng)方體、直棱柱等幾何體時(shí)，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題簡(jiǎn)便有效，具體步驟為：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)表示向量的坐標(biāo)；(4)向量的坐標(biāo)運(yùn)算.6.通過(guò)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可解決立體幾何中平行與垂直等位置關(guān)系問題，利用數(shù)量積可計(jì)算空間角和距離等問題，要注意空間角度與向量角度之間的區(qū)別和聯(lián)系，求距離往往利用公式|a a|a aa ax2y2z2計(jì)算，也可利用|a ae e|a a|cos|(e e為單位向量，為a a，e e的夾角)來(lái)求一個(gè)向量在另一條直線上的射影長(zhǎng).7.用向量方法證明空間中的平行關(guān)系(1)線線平行證明兩直線的方向向量平行.(2)線面平行證明線面平行有三種方法：一是證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；二是在平面內(nèi)找一向量與直線的方向向量共線；三是證明直線的方向向量可以利用平面中的兩不共線向量線性表示.(3)面面平行證明兩個(gè)平面的法向量平行；轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.8.用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系(1)線線垂直證明兩直線的方向向量垂直.(2)線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量平行.根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直的問題.(3)面面垂直根據(jù)面面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直的問題.證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.9.用向量方法求空間角(1)兩條異面直線所成的角可以通過(guò)這兩條直線的方向向量的夾角來(lái)求，但二者不完全相同，兩異面直線所成角的取值范圍是0，2 ，而兩向量所成角的取值范圍是 0，所以當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角.(2)利用空間向量求直線與平面所成的角，可以有兩種方法：通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角；分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量，再轉(zhuǎn)化為求這兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角).注意：直線與平面所成角的取值范圍是0，2.(3)利用空間向量求二面角，也可以有兩種方法：分別在二面角l的面，內(nèi)，沿，延伸的方向作向量n n1 1l，n n2 2l，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大??；通過(guò)法向量求解.設(shè)m m1 1，m m2 2，則兩向量的夾角與該二面角相等或互補(bǔ).注意：二面角的取值范圍是 0，.10.空間距離空間中的距離有：點(diǎn)到點(diǎn)的距離、點(diǎn)到線的距離、點(diǎn)到面的距離、線到線的距離、線到面的距離、面到面的距離.求距離的一般步驟是：一作作出表示距離的線段；二證證明它就是所要求的距離；三算計(jì)算其值.(1)求空間中點(diǎn)到點(diǎn)的距離，可以利用兩點(diǎn)間的距離公式，或轉(zhuǎn)化為解三角形.(2)利用三棱錐的底面與頂點(diǎn)的轉(zhuǎn)換，可求三棱錐的高，即用等體積法求點(diǎn)到面的距離.(3)空間中的各種距離一般都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距，若用向量方法求空間距離，則點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距最終都可用空間向量的模來(lái)求解，而點(diǎn)面距則可由平面的法向量來(lái)求解.11歸納推理的前提是一些特殊的情況，所以歸納推理要在觀察、經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行；歸納推理是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因此所得結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而結(jié)論假”的情況是有可能發(fā)生的12歸納推理的一般過(guò)程：(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)相同的性質(zhì)；(2)推出一個(gè)明確表述的一般性結(jié)論13在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理、公式的重要手段，并且應(yīng)用廣泛，數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無(wú)限等之間有不少結(jié)論都是先用類比的方法提出猜想，然后再加以證明的14類比推理的一般步驟：(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)，但結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明15.把握合情推理與演繹推理的三點(diǎn)(1)合情推理包括歸納推理和類比推理，所得到的結(jié)論都不一定正確，其結(jié)論的正確性是需要證明的(2)在進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤(3)應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的如果大前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的16.在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：(1)找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；(2)找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等17.演繹推理的推證規(guī)則(1)演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略，本題中，等比數(shù)列的定義在解題中是大前提，由于它是顯然的，因此省略不寫；(2)在推理論證過(guò)程中，一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成18綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?，它是從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在尋求它的必要條件綜合法的解題步驟用符號(hào)表示是：P(已知)Q1Q2Q3QnQ(結(jié)論)19分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，它是從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理的實(shí)質(zhì)是尋求使結(jié)論成立的充分條件分析法的解題步驟用符號(hào)表示是：B(結(jié)論)B1B2BnA(已知)20分析法與綜合法的綜合應(yīng)用分析法和綜合法是兩種思路相反的推理證明方法，二者各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思考起來(lái)比較自然，容易找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁，且表述易錯(cuò)；綜合法條理清晰，宜于表述，缺點(diǎn)是探路艱難，易生枝節(jié)在證明數(shù)學(xué)問題的過(guò)程中分析法和綜合法往往是相互結(jié)合的，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法表述21用反證法證明命題的一般步驟：(1)分清命題的條件和結(jié)論；(2)做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；(3)由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出與已知條件，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)等矛盾的結(jié)果；(4)斷定產(chǎn)生矛盾的原因是假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真22可用反證法證明的數(shù)學(xué)命題類型(1)結(jié)論是否定形式的命題；(2)結(jié)論是以至多、至少、唯一等語(yǔ)句給出的命題；(3)結(jié)論的反面是較明顯或較易證明的命題；(4)用直接法較難證明或需要分成多種情形進(jìn)行分類討論的命題23常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)沒有一個(gè)x成立x0不成立至多有一個(gè) 至少有兩個(gè)x不成立x0成立至少有n個(gè)至多有n1個(gè)p或q綈p且綈q至多有n個(gè)至少有n1個(gè)p且q綈p或綈q24用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個(gè)步驟缺一不可25證第二步的關(guān)鍵是合理運(yùn)用歸納假設(shè)，以“nk時(shí)命題成立”為條件，證明“當(dāng)nk1 時(shí)命題成立”這里，易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是：不使用“nk時(shí)命題成立”這一條件，而直接將nk1 代入命題，便斷言此時(shí)命題成立注意：沒有運(yùn)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法26在nk到nk1 的證明過(guò)程中尋找由nk到nk1 的變化規(guī)律是難點(diǎn)，突破的關(guān)鍵是分析清楚p(k)與p(k1)的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，從p(k1)中分離出p(k)27證明不等式的方法多種多樣，故在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，比較法、放縮法、分析法等要靈活運(yùn)用三、題之變：課本典例改編三、題之變：課本典例改編11.11.原題原題（選修選修 2-22-2 第七十八頁(yè)練習(xí)第七十八頁(yè)練習(xí) 3 3）改編改編設(shè)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，ABC三邊上的高分別為Ah、Bh、Ch，P到三邊的距離依次為al、 、 ，則有abcABClllhhh_；類比到空間，設(shè)P是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別是Ah、Bh、Ch、Dh，P到這四個(gè)面的距離依次是al、 、 、dl，則有_.【解析】用等面積法可得，,aPBCbPACcPABAABCBABCCABClSlSlShShShS同理,所以abcABClllhhh1ABCPABABCPACABCPBCSSSSSS，類比到空間有1DdCcBbAahlhlhlhl2.2.原題原題（選修選修 2-22-2 第八十二頁(yè)閱讀與思考第八十二頁(yè)閱讀與思考）改編改編如圖，點(diǎn)P為斜三棱柱111CBAABC 的側(cè)棱1BB上一點(diǎn)，1BBPM 交1AA于點(diǎn)M，1BBPN 交1CC于點(diǎn)N.(1) 求證：MNCC 1；(2) 在任意DEF中有余弦定理：DFEEFDFEFDFDEcos2222.拓展到空間，類比三角形的余弦定理， 寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.3.3.原題（選修原題（選修 2-22-2 第九十六頁(yè)習(xí)題第九十六頁(yè)習(xí)題 2.3A2.3A 組第一題組第一題）改編改編在數(shù)列na中，33,2111nnnaaaa，則數(shù)列na的通項(xiàng)公式為_【答案】53nan.