專題二專題二 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識一、題之源：課本基礎(chǔ)知識 1橢圓的概念 在平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)： (1)若ac，則集合P為橢圓； (2)若ac，則集合P為線段； (3)若ac，則集合P為空集 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 x2a2y2b21(ab0) y2a2x2b21(ab0) 圖形 性質(zhì) 范圍 axa byb bxb aya 對稱性 對稱軸：x軸、y軸對稱中心：(0，0) 頂點 A1(a，0)，A2(a，0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b，0)，B2(b，0) 軸 長軸A1A2的長為 2a 短軸B1B2的長為 2b 焦距 |F1F2|2c 離心率 eca，e(0，1) a，b，c的關(guān)系 c2a2b2 3雙曲線的概念 平面內(nèi)動點P與兩個定點F1、F2(|F1F2|2c0)的距離之差的絕對值為常數(shù) 2a(02a2c)，則點P的軌跡叫雙曲線這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫焦距 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c為常數(shù)且a0，c0： (1)當(dāng)ac時，P點的軌跡是雙曲線； (2)當(dāng)ac時，P點的軌跡是兩條射線； (3)當(dāng)ac時，P點不存在 4雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 x2a2y2b21 (a0，b0) y2a2x2b21 (a0，b0) 圖形 性質(zhì) 范圍 xa或xa，yR R xR R，ya或ya 對稱性 對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點 頂點 A1(a，0)，A2(a，0) A1(0，a)，A2(0，a) 漸近線 ybax yabx 離心率 eca，e(1，) 實虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸， 它的長|A1A2|2a； 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長 a、b、c的關(guān)系 c2a2b2(ca0，cb0) 5拋物線的定義 滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線： (1)在平面內(nèi)； (2)動點到定點 F 的距離與到定直線 l 的距離相等； (3)定點不在定直線上 6拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y22px (p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點 O(0，0) 對稱軸 y0 x0 焦點 F(p2，0) F(p2，0) F(0，p2) F(0，p2) 離心率 e1 準(zhǔn)線方程 xp2 xp2 yp2 yp2 范圍 x0，yR R x0，yR R y0，xR R y0 xR R 開口方向 向右 向左 向上 向下 焦半徑(其中P(x0，y0) |PF|x0p2 |PF|x0p2 |PF|y0p2 |PF|y0p2 7曲線與方程 在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解； (2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上 那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線 8曲線的交點 設(shè)曲線C1的方程為F1(x，y)0，曲線C2的方程為F2(x，y)0，則C1，C2的交點坐標(biāo)即為方程組F1（x，y）0，F(xiàn)2（x，y）0的實數(shù)解，若此方程組無解，則兩曲線無交點二、題之本：思想方法技巧 9直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定 (1)代數(shù)法：把圓錐曲線方程C1與直線方程l聯(lián)立消去y，整理得到關(guān)于x的方程ax2bxc0. 方程ax2bxc0 的解 l與C1的交點 a0 b0 無解(含l是雙曲線的漸近線) 無公共點 b0 有一解(含l與拋物線的對稱軸平行(重合)或與雙曲線的漸近線平行) 一個交點 a0 0 兩個不相等的解 兩個交點 0 兩個相等的解 一個交點 0 無實數(shù)解 無交點 (2)幾何法：在同一直角坐標(biāo)系中畫出圓錐曲線和直線，利用圖象和性質(zhì)可判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 10直線與圓錐曲線的相交弦長問題 設(shè)斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 |AB| 1k2|x1x2| 1k2（x1x2）24x1x2 11k2|y1y2| 11k2（y1y2）24y1y2. 二、題之本：思想方法技巧二、題之本：思想方法技巧 1.在運用橢圓的定義時，要注意“|F1F2|2a”這個條件，若|F1F2|2a，則動點的軌跡不是橢圓，而是連結(jié)兩定點的線段(包括端點)；若|F1F2|2a，則軌跡不存在. 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，兩種形式可以統(tǒng)一為x2my2n1(m0，n0，且mn)，具體是哪種形式，由m與n的大小而定. 3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法是待定系數(shù)法和定義法，即(1)先設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件列出a，b的兩個方程，求參數(shù)a，b的值；(2)由橢圓的定義及幾何性質(zhì)直接求出參數(shù)a，b的值. 4.充分利用圖形的幾何性質(zhì)可以減少計算量，橢圓中可以用來減少計算量的幾何性質(zhì)主要體現(xiàn)在橢圓的定義中. 5.直線與橢圓的位置關(guān)系，可通過討論橢圓方程與直線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定.通常用消元后的關(guān)于x(或y)的一元二次方程的判別式 與零的大小關(guān)系來判定. 6.直線和橢圓相交時，弦的中點坐標(biāo)或弦中點軌跡方程可由韋達(dá)定理來解決.設(shè)而不求(設(shè)點而不求點)的方法是解析幾何中最重要的解題方法之一. 7.橢圓中幾個常用的結(jié)論： (1)焦半徑：橢圓上的點P(x0，y0)與左(下)焦點F1與右(上)焦點F2之間的線段叫做橢圓的焦半徑，分別記作r1|PF1，r2|PF2. x2a2y2b21(ab0)，r1aex0，r2aex0； y2a2x2b21(ab0)，r1aey0，r2aey0； 焦半徑中以長軸端點的焦半徑最大和最小(近日點與遠(yuǎn)日點). (2)焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的PF1F2叫做焦點三角形.r1|PF1|，r2|PF2|，F(xiàn)1PF2，PF1F2的面積為S，則在橢圓x2a2y2b21(ab0)中： 當(dāng)r1r2時，即點P的位置為短軸端點時，最大； Sb2tan2c| |y0，當(dāng)| |y0b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc. (3)焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmin2b2a. (4)AB為橢圓x2a2y2b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則 弦長l 1k2|x1x211k2|y1y2|； 直線AB的斜率kABb2x0a2y0. 以上常用結(jié)論在教材的例題與習(xí)題中都有體現(xiàn). 8.對雙曲線的學(xué)習(xí)可類比橢圓進(jìn)行，應(yīng)著重注意兩者的異同點. 9.雙曲線的定義中，當(dāng)|MF1|MF2時，動點M的軌跡是雙曲線的一支，當(dāng)|MF1|MF2時，軌跡為雙曲線的另一支，而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中強(qiáng)調(diào)“差的絕對值”. 10.定義中|F1F2|2a這個條件不可忽視，若|F1F2|2a，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線，若|F1F2|2a，則軌跡不存在. 11.在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，焦點對應(yīng)“大分母”，即標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2，y2誰的分母較大，則焦點就在哪個軸上；而在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，焦點的位置對應(yīng)“正系數(shù)”，即標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2，y2誰的系數(shù)為正(右邊的常數(shù)總為正)，則焦點就在哪個軸上. 12.在橢圓中，a，b，c滿足a2b2c2，即a最大；在雙曲線中，a，b，c滿足c2a2b2，即c最大. 13.在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨特的一種性質(zhì)，也是考查的重點內(nèi)容.對漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù). 14.求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為Ax2By21 的形式，當(dāng)A0，B0，AB時為橢圓，當(dāng)AB0 時為雙曲線. 15.雙曲線的幾個常用結(jié)論： (1)與雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)有共同漸近線的雙曲線系方程為x2a2y2b2(0). (2)雙曲線上的點P(x0，y0)與左(下)焦點F1或右(上)焦點F2之間的線段叫做雙曲線的焦半徑，分別記作r1|PF1|，r2|PF2|，則 x2a2y2b21(a0，b0)，若點P在右支上，則r1ex0a，r2ex0a；若點P在左支上，則r1ex0a，r2ex0a. y2a2x2b21(a0，b0)，若點P在上支上，則r1ey0a，r2ey0a；若點P在下支上，則r1ey0a，r2ey0a. 16.拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)是解決有關(guān)拋物線問題的基礎(chǔ)，應(yīng)當(dāng)熟練掌握. 17.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法或軌跡法.若拋物線的開口不確定，為避免多種情況分類求解的麻煩，可以設(shè)拋物線方程為y2mx或x2ny(m0，n0).若m0，開口向右；若m0，開口向左.m有兩解時，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個.對n0與n0，有類似的討論. 18.拋物線的離心率e1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于該點到準(zhǔn)線的距離.因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題時，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義，將其轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，這樣往往可以使問題簡單化. 19.拋物線的幾個常用結(jié)論 (1)焦半徑：拋物線上的點P(x0，y0)與焦點F之間的線段叫做拋物線的焦半徑，記作r| |PF . y22px(p0)，rx0p2； y22px(p0)，rx0p2； x22py(p0)，ry0p2； x22py(p0)，ry0p2. (2)焦點弦：若AB為拋物線y22px(p0)的焦點弦，A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，| |ABl.則： x1x2p24； y1y2p2； 弦長lx1x2p，因x1x22x1x2p，故當(dāng)x1x2時，l取得最小值，最小值為2p，此時弦AB垂直于x軸，所以拋物線的焦點弦中通徑最短(垂直于拋物線對稱軸的焦點弦叫做拋物線的通徑). 20.對于圓錐曲線的綜合問題，要注意將曲線的定義性質(zhì)化，找出定義賦予的條件；要重視利用圖形的幾何性質(zhì)解題(本書多處強(qiáng)調(diào))；要靈活運用韋達(dá)定理、弦長公式、斜率公式、中點公式、判別式等解題，巧妙運用“設(shè)而不求”、“整體代入”、“點差法”、“對稱轉(zhuǎn)換”等方法. 21.在給定的圓錐曲線f(x，y)0 中，求中點為(m，n)的弦AB所在直線方程或動弦中點M(x，y)軌跡時，一般可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B兩點在曲線上，得f(x1，y1)0，f(x2，y2)0及x1x22m(或2x)，y1y22n(或2y)，從而求出斜率kABy1y2x1x2，最后由點斜式寫出直線AB的方程，或者得到動弦所在直線斜率與中點坐標(biāo)x，y之間的關(guān)系，整體消去x1，x2，y1，y2，得到點M(x，y)的軌跡方程. 22.對滿足一定條件的直線或者曲線過定點問題，可先設(shè)出該直線或曲線上兩點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線或曲線上以及切線、點共線、點共圓、對稱等條件，建立點的坐標(biāo)滿足的方程或方程組.為簡化運算應(yīng)多考慮曲線的幾何性質(zhì)，求出相應(yīng)的含參數(shù)的直線或曲線，再利用直線或曲線過定點的知識加以解決. 以“求直線l：ykx2k1(k為參數(shù))是否過定點？”為例，有以下常用方法： 待定系數(shù)法：假設(shè)直線l過點(c1，c2)，則yc2k(xc1)，即ykxc1kc2，通過與已知直線方程比較得c12，c21.所以直線l過定點(2，1). 賦值法：令k0，得l1：y1；令k1，得l2：yx3，求出l1與l2的交點(2，1)，將交點坐標(biāo)代入直線系得 12k2k1 恒成立，所以直線l過定點(2，1). 賦值法由兩步構(gòu)成，第一步：通過給參數(shù)賦值，求出可能的定點坐標(biāo)；第二步：驗證其是否恒滿足直線方程. 參數(shù)集項法：對直線l的方程中的參數(shù)集項得yk(x2)1，令k的系數(shù)為 0，得x2，y1，k的取值是任意的，但l的方程對點(2，1)恒成立，所以直線l過定點(2，1). 若方程中含有雙參數(shù)，應(yīng)考慮兩個參數(shù)之間的關(guān)系. 23.給出曲線上的點到直線的最短(長)距離或求動點到直線的最短(長)距離時，可歸納為求函數(shù)的最值問題，也可借助于圖形的性質(zhì)(如三角形的公理、對稱性等)求解. 24.圓錐曲線上的點關(guān)于某一直線對稱的問題，通常利用圓錐曲線上的兩點所在直線與已知直線l(或者是直線系)垂直，圓錐曲線上兩點連成線段的中點一定在對稱軸直線l上，再利用判別式或中點與曲線的位置關(guān)系求解. 25.求動點的軌跡方程的一般步驟 (1)建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； (2)設(shè)點設(shè)軌跡上的任一點P(x，y)； (3)列式列出動點P所滿足的關(guān)系式； (4)代換依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的方程式，并化簡； (5)證明證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程 26.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求動點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系.在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡方程時，要特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡方程中的應(yīng)用，只要動點滿足已知曲線的定義，就可直接得出方程. 27.要注意一些軌跡問題中包含的某些隱含條件，也就是曲線上點的坐標(biāo)的取值范圍，有時還要補(bǔ)充特殊點的坐標(biāo)或特殊曲線的方程. 28.求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的，若求軌跡，則不僅要求出方程，而且還需要說明所求軌跡是什么曲線，即曲線的形狀、位置、大小都需說明. 29.根據(jù)問題給出的條件不同，求軌跡的方法也不同，一般有如下規(guī)律： (1)單點的軌跡問題直接法待定系數(shù)法； (2)雙動點的軌跡問題相關(guān)點法； (3)多動點的軌跡問題參數(shù)法交軌法. 30.利用參數(shù)法求動點軌跡時要注意：(1)參數(shù)的選擇要合理；(2)消參的方法靈活多樣；(3)對于所選的參數(shù)，要注意取值范圍，并注意參數(shù)范圍對x，y的取值范圍的制約. 31.曲線關(guān)于點中心對稱、關(guān)于直線軸對稱問題，通常是轉(zhuǎn)化為點的中心對稱或軸對稱，一般結(jié)論如下： (1)曲線f(x，y)0 關(guān)于已知點A(a，b)的對稱曲線的方程是f(2ax，2by)0； (2)曲線f(x，y)0 關(guān)于ykxb的對稱曲線的求法： 設(shè)曲線f(x，y)0上任意一點為P(x0，y0)，點P關(guān)于直線ykxb的對稱點為P(x，y)，則由軸對稱的條件知，P與P的坐標(biāo)滿足yy0 xx0k1，yy02kxx02b，從中解出x0，y0，將其代入已知曲線f(x，y)0，就可求出曲線f(x，y)0 關(guān)于直線ykxb對稱的曲線方程. 32.解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容： （1） 給出直線的方向向量ku, 1或nmu,； （2）給出OBOA與AB相交,等于已知OBOA過AB的中點; （3）給出0 PNPM,等于已知P是MN的中點; （4）給出BQBPAQAP,等于已知,A B與PQ的中點三點共線; （5） 給出以下情形之一：ACAB/；存在實數(shù),ABAC使；若存在實數(shù), ,1,OCOAOB 且使,等于已知CBA,三點共線. （6） 給出1OBOAOP，等于已知P是AB的定比分點，為定比，即PBAP （7） 給出0MBMA,等于已知MBMA ,即AMB是直角,給出0mMBMA,等于已知AMB是鈍角, 給出0mMBMA,等于已知AMB是銳角, （8）給出MPMBMBMAMA,等于已知MP是AMB的平分線/ （9）在平行四邊形ABCD中，給出0)()(ADABADAB，等于已知ABCD是菱形; （10） 在平行四邊形ABCD中，給出| |ABADABAD，等于已知ABCD是矩形; （11） 在ABC中，給出12ADABAC,等于已知AD是ABC中BC邊的中線; 33.圓錐曲線中常見的最值問題及其解法 (1)兩類最值問題：涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關(guān)的一些問題 (2)兩種常見解法：幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解 34 解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五方面考慮： (1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系； (3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍 三、題之變：課本典例改編三、題之變：課本典例改編 1. 1. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十一頁例第四十一頁例 2 2）如圖，在圓224xy上任取一點P，過點P作X軸的垂線段PD，D為垂足當(dāng)點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？ 改編改編 1 1 設(shè)點P是圓224xy上的任一點，定點D的坐標(biāo)為（8，0） 當(dāng)點P在圓上運動時，求線段PD的中點M的軌跡方程 【解析】設(shè)點M的坐標(biāo)為, x y，點P的坐標(biāo)為00,xy，則082xx，02yy 即028xx，02yy 因為點P 00,xy在圓224xy上，所以22004xy 即222824xy，即2241xy，這就是動點M的軌跡方程 改編改編 2 2 設(shè)點P是圓224xy上的任一點，定點D的坐標(biāo)為（8，0） ，若點M滿足2PMMD當(dāng)點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程 2. 2. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十一頁例第四十一頁例 3 3）改編改編 1 1 已知點 A、B 的坐標(biāo)分別是 A（0，-1） ，B（0，1） ，直線 AM、BM 相交于點 M，且它們的斜率之積是-t，t（0，1求 M 的軌跡方程，并說明曲線的類型 【解析】設(shè) M（x，y） ，則10BMykx (x0)，( 1)0AMykx (x0)，BMAMkk=-t，10yx ( 1)0yx =-t(x0)，整理得221xyt1(x0)（1）當(dāng) t（0，1）時，M 的軌跡為橢圓（除去 A 和 B 兩點） ； （2）當(dāng) t=1 時，M 的軌跡為圓（除去 A 和 B 兩點） 改編改編 2 2 已知點AB、的坐標(biāo)分別是(0, 1)-、(0,1),直線,PA PB相交于點P,且它們的斜率之積為2. 求點P軌跡C的方程. . 【解析】設(shè)( , )P x y，則112yyxx+-=-g(0)x ，整理得：2221xy+=(0)x . . 改編改編 3 3 設(shè)橢圓222210 xyabab的左、右頂點分別為A,B，點P在橢圓上且異于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點若直線PA與PB的斜率之積為12，則橢圓的離心率為_. 【解析】拓展：橢圓222210 xyabab上任一點P與橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點0000(,), (,)A xyBxy-的連線的斜率之積22PAPBbk ka=-； 橢圓222210yxabab上任一點P與橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點0000(,), (,)A xyBxy-的連線的斜率之積22PAPBak kb=-.（記憶方法：無論橢圓焦點在哪個軸，總是以橢圓方程中2x的分母為分母）由拓展，知221222b,e.a 改編改編 4 4 橢圓22122:1,43xyCA APCPA 的左、右頂點分別為點 在 上且直線斜率的取值范圍是12, 1 ,PA那么直線斜率的取值范圍是 ( ) A.1 32 4， B.3 38 4， C.112， D.314， 【解析】由拓展，知1212333 3, , .448 4PAPAPAPAkkkk=-=-?選 B 改編改編 5 5 已知橢圓22:143xyC上一點3(1, )2P,過點P的直線12, l l與橢圓C分別交于AB、（不同于P）且它們的斜率12,k k滿足1234k k =-g，則直線AB過定點_. . 【解析】由拓展，AB、關(guān)于原點對稱，即直線AB過定點(0,0). 改編改編 6 6 如圖，若P為橢圓的右頂點，直線PA、PB交直線3x于,E F兩點，則EF的最小值為 【答案】2. 改編改編 7 7 已知直線y12x與橢圓C：22182xy交于AB、兩點，過A點作斜率為k的直線l1 直線l1與橢圓C的另一個交點為P， 與直線x4 的交點為Q， 過Q點作直線PB的垂線l2 求證：直線l2恒過一定點 【解析】可求得( 2, 1),(2,1)AB-，且AB、關(guān)于原點對稱，由拓展知，14PAPBk k=-，14PBkk=-，又2lPB,24 ,lkk=而l1：1(2),(4,61)yk xQk+ =+-， 則l2；(61)4 (4),ykk x-=-即(410)1,yxk=-令4100,x-=則1,y =- 2l恒過定點5( , 1)2- 3 3原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十二頁第四十二頁練習(xí)第練習(xí)第 3 3 題）題）已知經(jīng)過橢圓2212516xy的右焦點2F作垂直于x軸的直線A B，交橢圓于A，B兩點，1F是橢圓的左焦點 （1）求1AFB的周長； （2）如果AB不垂直于x軸，1AFB的周長有變化嗎？為什么？ 改編（改編（20062006年年全國卷全國卷） ：） ：已知ABC的頂點B、C在橢圓2213xy上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是 A2 3 B6 C4 3 D12 4. 4. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十七頁例第四十七頁例 7 7）改編改編 在直線：04 yx上任取一點 M，過點 M 且以雙曲線1322yx的焦點為焦點作橢圓(1)M 點在何處時，所求橢圓長軸最短； (2)求長軸最短時的橢圓方程 【解析】(1). 4, 3, 122222bacba故雙曲線1322yx的兩焦點),0 , 2(),0 , 2(21FF 過2F向引垂直線：2 xy，求出2F關(guān)于的對稱點2F，則2F的坐標(biāo)為（4，2） （如圖） ， 直線21FF的方程為023 yx。. 04, 023yxyx，解得.23,25yx )23,25(M即為所求的點.此時，21MFMF21MFMF 21FF=102 (2)設(shè)所求橢圓方程為12222byax， , 2,10ca . 6410222cab所求橢圓方程為161022yx. 5. 5. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十八頁練習(xí)第第四十八頁練習(xí)第 4 4 題題）改編改編 求中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點)21, 0(),31,31(QP的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. . 6. 6. 原題 （選修原題 （選修 2 2- -1 1 第四十九頁習(xí)題第四十九頁習(xí)題 2.2A2.2A 組第八題） 改編組第八題） 改編 已知橢圓與雙曲線22221xy共焦點，且過（2，0） （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）求斜率為 2 的一組平行弦的中點軌跡方程 【解析】 （1）依題意得，將雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)化為221122xy=1，則 c=1橢圓與雙曲線共焦點，設(shè)橢圓方程為22221xyaa=1，橢圓過（2，0） ，22201aa=1，即2a=2，橢圓方程為222xy=1 （2） 依題意， 設(shè)斜率為 2 的弦所在直線的方程為 y=2x+b， 弦的中點坐標(biāo)為 （x， y） ， 則 y=2x+b 且 222xy=1 得2298220 xbxb，1289bxx ，1229byy即 x=49b，y=9b，兩式消掉 b 得 y=14x令=0，226436(22)0bb，即 b=3，所以斜率為 2且與橢圓相切的直線方程為 y=2x3，即當(dāng) x=43時斜率為 2 的直線與橢圓相切所以平行弦得中點軌跡方程為：y=14x（43x43） 7. 7. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十九頁習(xí)題第四十九頁習(xí)題 2.2A2.2A 組第組第 1 1 題）題）如果點( , )M x y在運動過程中，總滿足關(guān)系式2222(3)(3)10,xyxy點M的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程. 改編改編 方程222 592 5910 xxxx的解是x _. 【解析】 由222 592 5910 xxxx得22(5)4(5)410 xx，令24y ，則上式可化為2222(5)(5)10 xyxy，由橢圓的定義知，到兩定點( 5,0)和(5,0)的距離之和為 10 的點( , )M x y的軌跡方程是221,2520 xy將24y 代入上式，可解得2 5.x 8. 8. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十九頁習(xí)題第四十九頁習(xí)題 2.2A2.2A 組第組第 6 6 題題）改編改編 已知橢圓的方程為221,43xy若點P是橢圓上第二象限內(nèi)的一點，且12120 ,PFF求21FPF的面積. . 【解析】533. .推廣，對于橢圓：22221(0)xyabab，焦點為12,F F P為橢圓上的一點，已知12FPF，12FPF的面積為1 222sintan1 cos2PF FbSb. . 9 9原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第六十一頁習(xí)題第六十一頁習(xí)題 2.3A2.3A 組第一題）改編組第一題）改編 1F、2F是雙曲線2211620 xy的焦點，點 P 在雙曲線上，若點 P 到焦點1F的距離等于 9，則點 P 到焦點2F的距離等于 1010原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第六十二頁習(xí)題第六十二頁習(xí)題 2.3B2.3B 組第四題）改編組第四題）改編 經(jīng)過點 A（2，1）作直線 L 交雙曲線2212yx 于1P，2P兩點，求線段1P2P的中點 P 的軌跡方程 【解析】設(shè)直線 L 的方程為 y=k（x-2）+1， （1） ； 將（1）式代入雙曲線方程，得：2222(2)(42 )4430kxkk xkk ， （2） ； 又設(shè)1P（1x，1y） ，2P（2x，2y） ，P(x，y)，則1x，2x必須是（2）的兩個實根，所以有1x+2x=22422kkk (2k-20)按題意，x=122xx，x=2222kkk因為(x，y)在直線（1）上，所以 y=k(x-2)+1=222(2)2kkkk+1=22(21)2kk再由 x，y 的表達(dá)式相除后消去 k 而得所求軌跡的普通方程為2214()8(1)2177yx，這就是所求的軌跡方程 1111原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第七十二頁練習(xí)題第七十二頁練習(xí)題 3 3）改編）改編 過動點M（，0）且斜率為 1 的直線與拋物線)0(22ppxy交于不同的兩點A、B，試確定實數(shù)a的取值范圍，使| 2ABp 12. 12. 原題 （選修原題 （選修 2 2- -1 1 第七十三頁習(xí)題第七十三頁習(xí)題 2.4A2.4A 組第六題） 改編組第六題） 改編 直線 l 與拋物線22yx相交于A、B 兩點，O 為拋物線的頂點，若 OAOB則直線 l 過定點 【解析】設(shè)點 A，B 的坐標(biāo)分別為（1x，1y） ， （2x，2y） （I）當(dāng)直線 l 存在斜率時，設(shè)直線方程為 y=kx+b，顯然 k0 且 b0聯(lián)立方程得：2,2ykxb yx消 去y得222(22)0k xkbxb， 由 題 意 ：1x2x=22bk，12122()()by ykxb kxbk，又由 OAOB 得12120 x xy y，即 2220bbkk，解得 b=0（舍去）或 b=-2k，故直線 l 的方程為：y=kx-2k=k（x-2） ，故直線過定點（2，0） ； （II）當(dāng)直線 l 不存在斜率時，設(shè)它的方程為 x=m，顯然 m0，聯(lián)立方程2,2xm yx解得 2ym ，即1y2y=-2m，又由 OAOB 得12120 x xy y，即22mm=0，解得 m=0（舍去）或 m=2，可知直線 l 方程為：x=2，故直線過定點（2，0）綜合（1） （2）可知，滿足條件的直線過定點（2，0） 13. 13. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第八十頁復(fù)習(xí)參考題第八十頁復(fù)習(xí)參考題 A A 組第組第 4 4 題題）改編改編 已知)0( 1cossin22 yx表示焦點在y軸上的橢圓，求的取值范圍. . 【解析】43,2. 14. 14. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第八十一頁復(fù)習(xí)參考題第八十一頁復(fù)習(xí)參考題 B B 組第一題）改編組第一題）改編 已知F1、F2分別為橢圓191622yx的左、 右焦點， 點P在橢圓上， 若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點， 求21FPF的面積. 1515. . 原題 （選修原題 （選修 2 2- -1 1 第八十一頁復(fù)習(xí)參考題第八十一頁復(fù)習(xí)參考題 B B 組第組第 3 3 題題） 改編改編 過拋物線)0(22ppxy的焦點的直線與拋物線相交于A,B兩點，自A,B向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為1A,2A，求證：9011FBA. 【解析】由拋物線定義知AFAA 1 BFBB 1則11AFAFAA 11BFBFBB，又FOAFAA11 FOBFBB11，則 11902AFBB FOAFO，即9011FBA. 16. 16. 原題 （選修原題 （選修 2 2- -1 1 第八十七頁第八十七頁例題） 改編例題） 改編 已知BAO、三點共線， 且OBnOAmOP )0(mnRnm且、，則n4m1的最小值為 .