一、題之源：課本基礎(chǔ)知識1簡單隨機抽樣(1)定義：一般地,設(shè)一個總體含有N個個體,從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(nN),且每次抽取時各個個體被抽到的機會都相等,就稱這樣的抽樣方法為簡單隨機抽樣(2)常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法2系統(tǒng)抽樣(1)步驟：先將總體的N個個體編號；根據(jù)樣本容量n,當(dāng)是整數(shù)時,取分段間隔k；在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(lk)；按照一定的規(guī)則抽取樣本(2)適用范圍：適用于總體中的個體數(shù)較多時3分層抽樣(1)定義：在抽樣時,將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例,從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體,將各層取出的個體合在一起作為樣本,這種抽樣方法是一種分層抽樣(2)適用范圍：適用于總體由差異比較明顯的幾個部分組成時4.三種抽樣方法的比較類別各自特點相互聯(lián)系適用范圍共同點簡單隨機抽樣從總體中逐個抽取最基本的抽樣方法總體中的個體數(shù)較少抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分,按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時,采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層,按各層個體數(shù)之比抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成5統(tǒng)計圖表的含義(1)頻率分布表含義：把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表頻率分布表的畫法步驟：第一步：求極差,決定組數(shù)和組距,組距；第二步：分組,通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù),計算頻率,列出頻率分布表(2)頻率分布直方圖：能夠反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖(3)頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連接起來,就得到頻率分布折線圖(4)總體密度曲線：如果將樣本容量取得足夠大,分組的組距足夠小,則相應(yīng)的頻率折線圖將趨于一條光滑曲線,即總體密度曲線(5)莖葉圖的畫法步驟第一步：將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；第二步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列； 第三步：將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的兩側(cè)6樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列,處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(3)平均數(shù)：把稱為a1,a2,an這n個數(shù)的平均數(shù)(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,xn的平均數(shù)為x,則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s s27變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系,另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同,相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系(2)從散點圖上看,點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān),點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)8兩個變量的線性相關(guān)(1)從散點圖上看,如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近,稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫回歸直線(2)回歸方程為x,其中,(3)通過求Q (yibxia)2的最小值而得出回歸直線的方法,即求回歸直線,使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小,這一方法叫做最小二乘法(4)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時,表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時,表明兩個變量負(fù)相關(guān)r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強r的絕對值越接近于0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系,通常|r|大于0.75時,認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)性9獨立性檢驗假設(shè)有兩個分類變量X和Y,它們的取值分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為：y1y2總計x1ababx2cdcd總計acbdabcdK2(其中nabcd為樣本容量)二、題之本：思想方法技巧1.簡單隨機抽樣是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的基礎(chǔ),是一種等概率的抽樣,它的特點是：(1)它要求總體個數(shù)較少；(2)它是從總體中逐個抽取的；(3)它是一種不放回抽樣.2.系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣,號碼序列一旦確定,樣本即確定好了.但要注意,如果編號的個體特征隨編號的變化呈現(xiàn)一定的周期性,那么樣本的代表性是不可靠的,甚至?xí)?dǎo)致明顯的偏向.3.分層抽樣一般在總體是由差異明顯的幾個部分組成時使用.4.抽樣方法經(jīng)常交叉使用,比如系統(tǒng)抽樣中均勻分段后的第一段,可采用簡單隨機抽樣；分層抽樣中,若每層中個體數(shù)量仍很大時,則可輔之以系統(tǒng)抽樣等.5.簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣,所取的樣本沒有被重復(fù)抽取的情況分層抽樣,分層時不要求均分,但抽樣時,要按各層中個體總數(shù)的比例在各層中抽取個體以上兩種抽樣都是一種等概率抽樣（即抽樣方法的公平性）這種等概率抽樣包含有兩層含義,其一、每次從總體中抽取一個個體時,各個個體被抽取的概率是相等的其二、在整個抽樣過程中,各個個體被抽取到的概率相等6.用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想,而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計總體則是用樣本的頻率分布去估計總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準(zhǔn)確,直方圖比較直觀.7.頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組中的頻率之和等于1；注意頻率分布直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率/組距(而不是頻率),橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小,小矩形的面積表示頻率,在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率,所以,所有小長方形的面積的和等于1.8.眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)(1)在頻率分布直方圖中估計眾數(shù)：直方圖中最高的矩形的中點.(2)在頻率分布直方圖中估計中位數(shù):中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等,由此可以估計中位數(shù)的值.(3)在頻率分布直方圖中估計平均數(shù):平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.9.對眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)估計總體數(shù)字特征的認(rèn)識（1）樣本眾數(shù)通常用來表示分類變量的中心值,比較容易計算,但是它只能表示樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息.（2）中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響, 容易計算,它僅利用了數(shù)據(jù)排在中間的數(shù)據(jù)的信息.（3）樣本平均數(shù)與每個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),所以,任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變.這是中位數(shù),眾數(shù)都不具有的性質(zhì),也正因為這個原因,與眾數(shù),中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息.（4）如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù),說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值;反之, 說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值.（5）使用者根據(jù)自己的利益去選擇使用中位數(shù)或平均數(shù)來描述數(shù)據(jù)的中心,從而產(chǎn)生一些誤導(dǎo)作用.10.莖葉圖的優(yōu)點是原有信息不會抹掉,能夠展示數(shù)據(jù)分布情況,但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時,莖葉圖就顯得不太方便了.11.標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差都是測量樣本數(shù)據(jù)離散程度的工具,但在解決實際問題時,一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.12.在研究兩個變量之間是否存在某種關(guān)系時,必須從散點圖入手對于散點圖,可以做出如下判斷：(1)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系(2)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系(3)如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系13.分析兩個變量相關(guān)關(guān)系的常用方法：(1)利用散點圖進行判斷；(2)利用相關(guān)系數(shù)r進行判斷14.注意：(1)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法,只有在散點圖大致呈線性時,求出的回歸直線方程才有實際意義,否則無意義(2)根據(jù)回歸方程進行的估計僅是一個預(yù)測值,而不是真實發(fā)生的值(3)用最小二乘法求回歸方程,關(guān)鍵在于正確求出系數(shù),由于,的計算量較大,計算時應(yīng)仔細小心15樣本中心點一定在回歸直線上.三、題之變：課本典例改編1. 原題（必修3第62頁的“如何得到敏感性問題的誠實反應(yīng)”）改編 為了解某中學(xué)生遵守中華人民共和國交通安全法的情況,調(diào)查部門在該校進行了如下的隨機調(diào)查,向被調(diào)查者提出兩個問題：（）你的學(xué)號是奇數(shù)嗎？（）在過路口時你是否闖過紅燈？要求被調(diào)查者背對著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣,如果出現(xiàn)正面,就回答第一個問題,否則就回答第二個問題被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個問題,只需回答“是”或“不是”,因為只有調(diào)查者本人知道回答了哪一個問題,所以都如實地作了回答.結(jié)果被調(diào)查的800人（學(xué)號從1至800）中有240人回答了“是”.由此可以估計這800人中闖過紅燈的人數(shù)是 . 2. 原題（必修3第72頁）改編 為了了解某市居民的用水量,通過抽樣獲得了100位居民的月均用水量.第八題圖是調(diào)查結(jié)果的頻率直方圖.（1）估計該樣本的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若以該樣本數(shù)據(jù)的頻率作為總體的概率,從該市（人數(shù)很多）任選3人,求用水量超過3噸的人數(shù)的期望值.【解析】（1）平均數(shù)為.因為（0.08+0.16+0.30+0.44）0.5=0.49,所以中位數(shù)為2. 原題（必修3第73頁的探究“數(shù)據(jù)有時會被利用”）改編 2011年春節(jié)剛過,為留住本地人才,有一家公司在火車站等處張貼招聘啟示,“我們公司的收入水平很高”,“去年,在50名員工中,最高年收入達到了100萬,他們年收入的平均數(shù)是35萬.”如果你希望獲得年薪25萬元.(1)你判斷自己是否能夠成為此公司的一名高收入者？(2)如果招聘員繼續(xù)告訴你,“員工收入的變化范圍是從05萬到100萬”,這個信息是否足以使你作出自己受聘的決定？為什么？(3)如果招聘員繼續(xù)給你提供了如下信息,員工收入的中間50%(即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的)的變化范圍是1萬到3萬,你又能否用這條信息來作出是否受聘的決定？(4)你能估計出收入的中位數(shù)是多少嗎？為什么平均值比估計出的中位數(shù)高很多？【解析】（1）不能.因為平均收入和最高收入相差太多,說明高收入的職工只能占極少數(shù).現(xiàn)在已經(jīng)知道至少有一個人的收入為100萬元,那么其他員工的收入之和為75萬元,每人平均只有1.53萬元,如果再有幾個收入特別高者,那么初進公司的員工收入將會更低.(2)不能.要看中位數(shù)是多少.(3)能,可以確定有75%的員工工資在1萬元以上.其中25%的員工工資在3萬元以上.(4)收入的中位數(shù)大約是2萬.因為有年收入100萬元的極端值得影響,使得年平均收入比中位數(shù)高許多.3. 原題（必修3第79頁練習(xí)第2題）改編 在某次測驗中,有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分.用表示編號為n的同學(xué)所得成績,且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢壕幪杗12345成績7076727072(1)求第6位同學(xué)的成績,及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差s;(2)從前5位同學(xué)中,隨機地選2位同學(xué),求恰有1位同學(xué)成績在區(qū)間（68,75）中的概率.4. 原題（必修3第79頁練習(xí)第3題）改編 在春運高峰時有顧客反映某家航空公司售票處售票的速度太慢.為此,航空公司收集了100位顧客購票時所花費時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：分鐘),結(jié)果如下表：2.3 1.0 3.5 0.7 1.0 1.3 0.8 1.0 2.4 0.91.1 1.5 0.2 8. 2 1.7 5.2 1.6 3.9 5.4 2.36.1 2.6 2.8 2.4 3.9 3.8 1.6 0.3 1.1 1.13.1 1.1 4.3 1.4 0.2 0.3 2.7 2.7 4.1 4.03.1 5.5 0.9 3.3 4.2 21.7 2.2 1.0 3.3 3.44.6 3.6 4.5 0.5 1.2 0.7 3.5 4.8 2.6 0.97.4 6.9 1.6 4.1 2.1 5.8 5.0 1.7 3.8 6.33.2 0.6 2.1 3.7 7.8 1.9 0.8 1.3 1.4 3.511 8.6 7.5 2.0 2.0 2.0 1.2 2.9 6.5 1.04.6 2.0 1.2 5.8 2.9 2.0 2.9 6.6 0.7 1.5航空公司認(rèn)為,為一位顧客辦理一次售票業(yè)務(wù)所需的時間在5分鐘之內(nèi)就是合理的.上面的數(shù)據(jù)是否支持航空公司的說法？顧客提出的意見是否合理？請你對上面的數(shù)據(jù)進行適當(dāng)?shù)姆治?回答下面問題：(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)計算中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.(2)對數(shù)據(jù)進行適當(dāng)?shù)姆纸M,分析數(shù)據(jù)分布的特點,并進行分析.(3)你認(rèn)為應(yīng)該用哪一個統(tǒng)計量來分析上述問題比較合適？（2）對數(shù)據(jù)進行分組的結(jié)果,100名顧客購票花費時間的分組表繪制直方圖觀察數(shù)據(jù)分布的特點,直方圖如下：從直方圖可以看出,顧客購票所花費時間的分布為右偏.有顧客反映這家航空公司售票處售票的速度太慢,這可能是由少數(shù)人提出來的.因此這些少數(shù)顧客提出的意見并不能代表大多數(shù)人,可以認(rèn)為顧客提出的意見是不完全合理的.(3) 從中位數(shù)來看,其結(jié)果為2.5分鐘,因此,從總體上看,該航空公司辦理一項售票業(yè)務(wù)所需的時間大約為2.5分鐘,在航空公司認(rèn)為的合理時間5分鐘之內(nèi),因此,可以說顧客提出的意見是不合理的.用中位數(shù)感覺較合理一些.5. 原題（必修3第82頁習(xí)題2.2A組第5題）改編 在一次人才招聘會上,有兩家公司提供如下信息：公司甲：我們公司的收入水平很高,去年在80名員工中,最高年收入達到了150萬元,員工的年收入平均數(shù)是4萬；公司乙：我們公司規(guī)模比較大,共有150人,員工年收入的中間50%（即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的）的變化范圍是2.5萬到3.5萬.某位大學(xué)畢業(yè)生希望獲得年薪3萬元,根據(jù)以上信息,他應(yīng)該選擇哪家公司更好？6. 原題（必修3第八十六頁思考）改編 假設(shè)兒子身高與父親身高呈線性相關(guān)關(guān)系,若小明身高為172cm,他的爸爸和爺爺?shù)纳砀叻謩e為170cm和175cm,預(yù)測小明兒子的身高為 cm. 【解析】依題意可得如下表格父親身高x(cm)175170172兒子身高y(cm)170172?由點（175,170）,（170,172）得直線方程為,所以當(dāng)時,7. 原題（必修3第92的“相關(guān)關(guān)系的強與弱”）改編 如圖是根據(jù),的觀測數(shù)據(jù)（i=1,2,10）得到的散點圖,由這些散點圖可以判斷變量,具有相關(guān)關(guān)系的圖是 （ ） A. B. C. D.【答案】D.【解析】中的點雜亂無章,不能判斷變量具有相關(guān)關(guān)系,中的點都在一條直線附近擺動,所以可以判斷具有線性相關(guān)關(guān)系.此題選D.8. 原題（必修3第127頁探究）改編1 多選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的一種題型,一般是從A、B、C、D四個選項中選出所有正確的答案,在一次考試中有5道多選題,某同學(xué)一道都不會,他隨機的猜測,則他答對題數(shù)的期望值為 .改編2 多選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的一種題型,一般是從A、B、C、D四個選項中選出所有正確的答案,每題至少有一個選項是正確的,在一次考試中有10道多選題,一個小組中的10位學(xué)生答題情況如下表：答對題數(shù)02345678910概率0.100.150.250.300.20（1）對于每位學(xué)生來說,答對題數(shù)不少于7題的概率；（2）小組中若有2人以上（含2人）答對題數(shù)不超過6題的概率大于0.9,則這個小組需要重新考核,請問這個小組是否需要重新考核？【解析】（1）； （2）每位學(xué)生答對題數(shù)不超過6題的概率為0.5,設(shè)10位學(xué)生中答對題數(shù)不超過6題的人數(shù)為,則,所以所以該小組需要重新考核.