第十三篇第2節(jié) 一、填空題1(2013年高考廣東卷)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，C在點(diǎn)(1,1)處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則l的極坐標(biāo)方程為_解析：曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其普通方程為x2y22.又點(diǎn)(1,1)在曲線C上，切線l的斜率k1.設(shè)其方程為xym0(m<0)，由知m2.故l的方程為xy20，將代入l的直角坐標(biāo)方程得其極坐標(biāo)方程為cos sin 2，即sin.答案：sin2(2013年高考陜西卷)如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角為參數(shù)，則圓x2y2x0的參數(shù)方程為_解析：設(shè)圓上任一點(diǎn)P(x，y)(x0)，則yxtan ，由x2y2x0得，x2x2tan2x0，xcos2，則yxtan cos2tan sin cos ，又時，x0，y0也適合題意，故參數(shù)方程為(為參數(shù))答案：(為參數(shù))3(2014陜西師大附中高三第四次模擬)直線l1：(t為參數(shù))與圓C2：(為參數(shù))的位置關(guān)系是_解析：直線l1的普通方程為xsin ycos sin 0，圓C2的普通方程為x2y21，圓心到直線的距離為d<1，因此直線l1與圓C2相交答案：相交4(2013年高考江西卷)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為_解析：(1)由參數(shù)方程得曲線在直角坐標(biāo)系下的方程為yx2.由公式得曲線C的極坐標(biāo)方程為cos2sin .答案：cos2sin 5(2012年高考北京卷)直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點(diǎn)個數(shù)為_解析：由已知得直線的普通方程為xy10，曲線的普通方程為x2y29，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓，而直線xy10過點(diǎn)(1,0)，且點(diǎn)(1,0)顯然在圓x2y29內(nèi)，直線與曲線一定有2個交點(diǎn)答案：26(2012年高考湖南卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(為參數(shù)，a>0)有一個公共點(diǎn)在x軸上，則a_.解析：曲線C1的普通方程為2xy3，與x軸的交點(diǎn)為；曲線C2的普通方程為1，與x軸的交點(diǎn)為(a,0)和(a,0)，由題意可得a.答案：7已知拋物線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C2的極坐標(biāo)方程為r(r>0)，若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C1的焦點(diǎn)，且與圓C2相切，則r_.解析：拋物線C1的普通方程為y28x，其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)，過該點(diǎn)且斜率為1的直線方程是yx2，即xy20.圓r的圓心是極點(diǎn)、半徑為r，直線xy20與該圓相切，則r.答案：8(2014深圳市期末檢測)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為6sin ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線l與曲線C相交所得弦長為_解析：曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y26y，即x2(y3)29，圓心C(0,3)，半徑r3.直線l的普通方程為x2y10.所以點(diǎn)C到l的距離d.故所求弦長為224.答案：49(2014湖南十二校聯(lián)考)設(shè)極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合，已知直線l的極坐標(biāo)方程為sina，aR.圓C的參數(shù)方程是(為參數(shù))，若圓C關(guān)于直線l對稱，則a_.解析：圓C的圓心坐標(biāo)為(2，2)，其極坐標(biāo)為，由題意知點(diǎn)在直線l上，于是4sina，即a2.答案：210(2013年高考湖北卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，ab0)在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為sinm(m為非零常數(shù))與b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為_解析：將橢圓C的參數(shù)方程(為參數(shù)，a>b>0)化為普通方程為1(a>b>0)又直線l的極坐標(biāo)方程為sinm(m為非零常數(shù))，即m，則該直線的直角坐標(biāo)方程為yxm0.圓的極坐標(biāo)方程為b，其直角坐標(biāo)方程為x2y2b2.直線與圓O相切，b，|m|b.又直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，|m|c.cb，c22b2.a2b2c23b2，e2.e.答案：二、解答題11(2013年高考新課標(biāo)全國卷)已知動點(diǎn)P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的中點(diǎn)(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)解：(1)依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，02)(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d(02)當(dāng)時，d0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)12(2013年高考遼寧卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為4sin ，cos2.(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù))，求a，b的值解：(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2(y2)24，直線C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.解得所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，.(注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一)(2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,2)，(1,3)故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為xy20，由直線PQ的參數(shù)方程可得yx1.所以解得a1，b2.