第七章不等式高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.不等關(guān)系了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景.2.一元二次不等式(1)會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型；(2)通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；(3)會(huì)解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖.3.二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題(1)會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；(2)了解二元一次不等式組的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；(3)會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.4.基本不等式： (a，b0)(1)了解基本不等式的證明過程；(2)會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.本章重點(diǎn)：1.用不等式的性質(zhì)比較大??；2.簡單不等式的解法；3.二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題；4.基本不等式的應(yīng)用.本章難點(diǎn)：1.含有參數(shù)不等式的解法；2.不等式的應(yīng)用；3.線性規(guī)劃的應(yīng)用.不等式具有應(yīng)用廣泛、知識(shí)綜合、能力復(fù)合等特點(diǎn).高考考查時(shí)更多的是與函數(shù)、方程、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何及實(shí)際應(yīng)用問題相互交叉和綜合，將不等式及其性質(zhì)的運(yùn)用滲透到這些問題的求解過程中進(jìn)行考查.線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要內(nèi)容，高考中除考查線性規(guī)劃問題的求解與應(yīng)用外，也考查線性規(guī)劃方法的遷移.知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 7.1不等式的性質(zhì)典例精析題型一比較大小【例1】已知a0，a1，Ploga(a3a1)，Qloga(a2a1)，試比較P與Q的大小.【解析】因?yàn)閍3a1(a2a1)a2(a1)，當(dāng)a1時(shí)，a3a1a2a1，PQ；當(dāng)0a1時(shí)，a3a1a2a1，PQ；綜上所述，a0，a1時(shí)，PQ.【點(diǎn)撥】作差比較法是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的重要方法之一，其解題步驟為：作差；變形；判斷符號(hào)；得出結(jié)論.【變式訓(xùn)練1】已知ma(a2)，nx2(x)，則m，n之間的大小關(guān)系為()A.mnB.mnC.mn D.mn【解析】選C.本題是不等式的綜合問題，解決的關(guān)鍵是找中間媒介傳遞.maa22224，而nx2()24.題型二確定取值范圍【例2】已知，求，的取值范圍.【解析】因?yàn)椋?，兩式相加?又，所以，又因?yàn)?，所?，所以0，綜上，0為所求范圍.【點(diǎn)撥】求含字母的數(shù)(式)的取值范圍，一定要注意題設(shè)的條件，否則易出錯(cuò)，同時(shí)在變換過程中，要注意準(zhǔn)確利用不等式的性質(zhì).【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)ax2c，且4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范圍.【解析】由已知4f(1)ac1，1f(2)4ac5.令f(3)9ac(ac)(4ac)，所以故f(3)(ac)(4ac)1,20.題型三開放性問題【例3】已知三個(gè)不等式：ab0； ；bcad.以其中兩個(gè)作條件，余下的一個(gè)作結(jié)論，則能組成多少個(gè)正確命題？【解析】能組成3個(gè)正確命題.對不等式作等價(jià)變形:0.(1)由ab0，bcad0，即； (2)由ab0，0bcad0bcad，即；(3)由bcad0，0ab0，即.故可組成3個(gè)正確命題.【點(diǎn)撥】這是一類開放性問題，要求熟練掌握不等式的相關(guān)性質(zhì)，并能對題目條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牡葍r(jià)變形.【變式訓(xùn)練3】a、b、c、d均為實(shí)數(shù)，使不等式0和adbc都成立的一組值(a，b，c，d)是_(只要寫出符合條件的一組即可).【解析】寫出一個(gè)等比式子，如0.此時(shí)內(nèi)項(xiàng)的積和外項(xiàng)的積相等，減小的分子，把上式變成不等式0，此時(shí)不符合adbc的條件，進(jìn)行變換可得0，此時(shí)2(2)1(3).故(2,1，3，2)是符合要求的一組值.總結(jié)提高1.不等式中有關(guān)判斷性命題，主要依據(jù)是不等式的概念和性質(zhì).一般地，要判斷一個(gè)命題是真命題，必須嚴(yán)格證明.要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出反例，或者由題設(shè)條件推出與結(jié)論相反的結(jié)果.在不等式證明和推理過程中，關(guān)鍵是要弄清每個(gè)性質(zhì)的條件與結(jié)論及其邏輯關(guān)系，要注意條件的弱化與加強(qiáng)，不可想當(dāng)然.如在應(yīng)用ab0，ab這一性質(zhì)時(shí)，不可弱化為ab，也不可強(qiáng)化為ab0.2.題設(shè)條件含有字母，而結(jié)論唯一確定的選擇題，采用賦值法解答可事半功倍.3.比較大小的常用方法是作差比較法和作商比較法，變形是關(guān)鍵. 7.2簡單不等式的解法 典例精析題型一一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)x22x30；(2)已知Ax|3x27x20，Bx|2x2x10，求AB，(RA)B.【解析】(1)方程兩根為x11，x23，所以原不等式解集為x|x1或x3.(2)因?yàn)锳x|x2，RAx|x或x2，Bx|x或x1，所以ABx|x或x，(RA)Bx|x或x2.【點(diǎn)撥】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函數(shù)聯(lián)系非常緊密，要注意轉(zhuǎn)化，同時(shí)要熟練掌握一元二次不等式恒成立與對應(yīng)方程的判別式的關(guān)系.對于0的不等式解集簡稱“大于取兩端，小于取中間”.【變式訓(xùn)練1】設(shè)函數(shù)f(x)若f(4)f(0)，f(2)0，則關(guān)于x的不等式f(x)1的解集為()A.(，31，)B.3，1C.3，1(0，)D.3，)【解析】選C.由已知對x0時(shí)f(x)x2bxc，且f(4)f(0)，知其對稱軸為x2，故2b4.又f(2)0，代入得c4，故f(x)分別解之取并集即得不等式解集為3，1(0，).題型二解含參數(shù)的一元二次不等式問題【例2】解關(guān)于x的不等式mx2(m2)x20 (mR).【解析】當(dāng)m0時(shí)，原不等式可化為2x20，即x1；當(dāng)m0時(shí)，可分為兩種情況： (1)m0 時(shí)，方程mx2(m2)x20有兩個(gè)根，x11，x2.所以不等式的解集為x|x1或x；(2)m0時(shí)，原不等式可化為mx2(2m)x20，其對應(yīng)方程兩根為x11，x2，x2x1(1).m2時(shí)，m20，m0，所以x2x10，x2x1， 不等式的解集為x|1x；m2時(shí)，x2x11，原不等式可化為(x1)20，解集為；2m0時(shí)，x2x10，即x2x1，不等式解集為x|x1.綜上所述：當(dāng)m2時(shí)，解集為x|1x； 當(dāng)m2時(shí)，解集為；當(dāng)2m0時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)m0時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)m0時(shí)，解集為x|x1或x.【點(diǎn)撥】解含參數(shù)的一元二次不等式，首先要判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，其次討論根的情況，然后討論根的大小，最后依據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)和根的大小寫出解集.【變式訓(xùn)練2】解關(guān)于x的不等式0.【解析】原不等式等價(jià)于(ax1)(x1)0.當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為x|x1；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為x|x或x1；當(dāng)1a0時(shí)，不等式的解集為x|x1；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為x|1x.題型三一元二次不等式與一元二次方程之間的聯(lián)系【例3】已知ax2bxc0的解集為x|1x3，求不等式cx2bxa0的解集.【解析】由于ax2bxc0的解集為x|1x3，因此a0，且ax2bxc0的兩根為1、3，則13，13，即4，3.又a0，不等式cx2bxa0可以化為x2x10，即3x24x10，解得x或x1.【點(diǎn)撥】解一元二次不等式時(shí)，要注意聯(lián)系相應(yīng)的一元二次方程與一元二次函數(shù)，明確一元二次不等式的解區(qū)間的端點(diǎn)就是相應(yīng)一元二次方程的根.【變式訓(xùn)練3】(2009江西)若不等式k(x2)的解集為區(qū)間a，b，且ba2，則k.【解析】.作出函數(shù)y和yk(x2)的圖象，函數(shù)y的圖象是一個(gè)半圓，函數(shù)yk(x2)的圖象是過定點(diǎn)(2，)的一條動(dòng)直線.依題意，半圓在直線下方的區(qū)間長度為2，則必有a1，即1是方程k(x2)的根，代入得k.總結(jié)提高1.解一元二次不等式的一般步驟:(1)對不等式變形，使一端為零且二次項(xiàng)系數(shù)大于零；(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式；(3)當(dāng)0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的兩根；(4)根據(jù)一元二次不等式的結(jié)構(gòu)，寫出其解集.2.當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，需分類討論.分類標(biāo)準(zhǔn)往往根據(jù)需要而設(shè)定.如：是一元一次不等式還是一元二次不等式；開口方向如何；根的判別式的正負(fù)；根的大小等.3.要注意三個(gè)“二次”之間的聯(lián)系，重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題典例精析題型一平面區(qū)域【例1】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，且f(4)f(2)1，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則平面區(qū)域所圍成的面積是() A.2B.4C.5D.8【解析】選B.由f(x)的圖象可知，f(x)在2,0上是減函數(shù)，在0，)上是增函數(shù).因?yàn)閒(2)f(4)1，所以當(dāng)且僅當(dāng)x(2,4)時(shí)，有f(x)f(2)f(4)1.作出可行域如圖所示，其圍成的圖形面積為4.【點(diǎn)撥】不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域點(diǎn)的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.【變式訓(xùn)練1】若a0，b0，且當(dāng)時(shí)，恒有axby1，則以a，b為坐標(biāo)的點(diǎn)P(a，b)所形成的平面區(qū)域的面積是()A.B.C.1D.【解析】選C.當(dāng)ab1時(shí)，滿足xy1，且可知0a1，0b1，所以點(diǎn)P(a，b)所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L為1的正方形，所以面積為1.本題關(guān)鍵是確定點(diǎn)所形成的區(qū)域形狀.題型二利用線性規(guī)劃求最值(1)zx2y4的最大值；(2)zx2y210y25的最小值；(3)z的取值范圍.【解析】作出可行域如圖所示，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直線x2y4z過點(diǎn)C時(shí)，z最大.所以x7，y9時(shí)，z取最大值21.(2)zx2(y5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)M(0,5)的距離的平方，過點(diǎn)M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上，故z的最小值是()2.(3)z2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)Q(1，)連線斜率的2倍.因?yàn)閗QA，kQB，所以z的取值范圍為，.【點(diǎn)撥】線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處或邊界上取得，充分理解目標(biāo)函數(shù)賦予的幾何意義是本例的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)x3ax2bx1(a，bR)在區(qū)間1,3上是減函數(shù)，求ab的最小值.【解析】因?yàn)閒(x)x22axb，f(x)在區(qū)間1,3上是減函數(shù).所以f(x)0在1,3上恒成立.則作出點(diǎn)(a，b)表示的平面區(qū)域.令zab，求出直線2ab10與6ab90的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3).當(dāng)直線zab過點(diǎn)A(1,3)時(shí)，zab取最小值2.題型三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用【例3】某木器廠生產(chǎn)圓桌和衣柜兩種產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種木料，第一種有72 m3，第二種有56 m3.假設(shè)生產(chǎn)每種產(chǎn)品都需要用兩種木料，生產(chǎn)一張圓桌需要用第一種木料0.18 m3，第二種木料0.08m3，可獲利潤6元，生產(chǎn)一個(gè)衣柜需要用第一種木料0.09 m3，第二種木料0.28 m3，可獲利潤10元.木器廠在現(xiàn)有木料條件下，圓桌和衣柜應(yīng)各生產(chǎn)多少時(shí)才能使所獲利潤最大？最大利潤是多少？【解析】設(shè)圓桌生產(chǎn)的張數(shù)為x，衣柜生產(chǎn)的個(gè)數(shù)為y，所獲利潤為z，則z6x10y，當(dāng)直線l：6x10y0平移到經(jīng)過點(diǎn)M(350,100)時(shí)，z6x10y最大.zmax6350101003 100，所以生產(chǎn)圓桌350張，衣柜100個(gè)可獲得最大利潤3 100元.【點(diǎn)撥】解實(shí)際線性規(guī)劃問題，首先設(shè)出變量，建立不等式模型表示出約束條件，一定要注意問題的實(shí)際意義(如本題中x0，y0)，然后畫出可行域，利用圖形求解.【變式訓(xùn)練3】某實(shí)驗(yàn)室需購某種化工原料至少106千克，現(xiàn)在市場上該原料有兩種包裝：一種是每袋35千克，價(jià)格為140元；另一種是每袋24千克，價(jià)格為120元.在滿足需要的條件下，最少要花費(fèi)元.【解析】500.設(shè)需35千克的x袋，24千克的y袋，則目標(biāo)函數(shù)z140x120y，約束條件為當(dāng)x1時(shí)，y，即y3，這時(shí)zmin1401203500.總結(jié)提高1.用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，分析題目的已知，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵.2.可行域是二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，可行域可以是封閉的多邊形，亦可是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)域.3.若可行域是一個(gè)多邊形，那么一般在頂點(diǎn)處，使目標(biāo)函數(shù)值取得最值，最優(yōu)解一般是多邊形的某個(gè)頂點(diǎn).4.實(shí)際問題的最優(yōu)解要求是整數(shù)解時(shí)，這時(shí)要對最優(yōu)解(非整數(shù)解)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，其方法是在邊界直線的附近尋求與目標(biāo)函數(shù)直線距離最近的整點(diǎn)，而不要在最優(yōu)解的附近尋找.7.4基本不等式及應(yīng)用典例精析題型一利用基本不等式比較大小【例1】(1)設(shè)x，yR，且xy(xy)1，則()A.xy2(1) B.xy2(1)C.xy2(1)2 D.xy(1)2(2)已知a，bR，則，的大小順序是.【解析】(1)選A.由已知得xy1(xy)，又xy()2，所以()21(xy).解得xy2(1)或xy2(1).因?yàn)閤y0，所以xy2(1).(2)由有ab2，即ab，所以. 又，所以，所以.【點(diǎn)撥】本題(2)中的結(jié)論由基本不等式簡單推導(dǎo)而來，可作為結(jié)論使用.【變式訓(xùn)練1】設(shè)abc，不等式恒成立，則的取值范圍是.【解析】(，4).因?yàn)閍bc，所以ab0，bc0，ac0.而(ac)()(ab)(bc)()4，所以4.題型二利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x，則函數(shù)y4x2的最大值為；(2)已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc的導(dǎo)數(shù)f(x)，f(0)0，對任意實(shí)數(shù)x，有f(x)0，則的最小值為()A.3 B. C.2 D. 【解析】(1)因?yàn)閤，所以54x0.所以y4x2(54x)3231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，等號(hào)成立.所以x1時(shí)，ymax1.(2)選C.因?yàn)閒(x)0，所以所以c.又f(x)2axb，所以f(0)b0，1112，當(dāng)且僅當(dāng)c且4a2b2時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)撥】應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，常見的技巧是“拆或湊”，同時(shí)注意“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練2】已知x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，求的取值范圍.【解析】由等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)得abxy，cdxy，所以2，當(dāng)0時(shí)，4；當(dāng)0時(shí)，0，故的取值范圍是(，04，).題型三應(yīng)用基本不等式解實(shí)際應(yīng)用問題【例3】某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1 800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少(所購面粉第二天才能使用)；(2)若提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購買面粉不少于210噸時(shí)，其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠(即原價(jià)的90%)，問該廠是否可以利用此優(yōu)惠條件？請說明理由.【解析】(1)設(shè)該廠x天購買一次面粉，其購買量為6x噸，面粉的保管等其他費(fèi)用為36x6(x1)62619x(x1).設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1，則y19x(x1)90061 8009x10 809210 80910 989，當(dāng)且僅當(dāng)9x，即x10時(shí)，取等號(hào).即該廠應(yīng)10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少.(2)若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少應(yīng)35天購買一次面粉，設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件后，每x(x35)天購買一次面粉，平均每天支付的總費(fèi)用為y2，則y29x(x1)90061 8000.99x9 729(x35).因?yàn)閥29，當(dāng)x35時(shí)，y20.所以y29x9 729在35，)上是增函數(shù).所以x35時(shí)，y2取最小值.由10 989知，該廠可以利用此優(yōu)惠條件.【點(diǎn)撥】解決這類應(yīng)用題，首先要依題意構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并通過適當(dāng)?shù)淖冃问顾玫降哪Ｐ头匣静坏仁降慕Y(jié)構(gòu)，再求最值.當(dāng)?shù)忍?hào)不能成立時(shí)，常利用函數(shù)的單調(diào)性來處理.【變式訓(xùn)練3】已知a0，b0，且2ab1，求S24a2b2的最大值.【解析】因?yàn)閍0，b0,2ab1，所以4a2b2(2ab)24ab14ab，且12ab2，即，ab.所以S24a2b22(14ab)24ab1，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時(shí)，等號(hào)成立.總結(jié)提高1.基本不等式的幾種常見變形公式：ab()2(a，bR)；(a0，b0).注意不等式成立的條件及等號(hào)成立的條件.2.合理拆分或配湊因子是常用的技巧，配、湊的目的在于使幾個(gè)數(shù)的積為定值或和為定值，且等號(hào)能夠成立.3.多次使用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意等號(hào)能否同時(shí)成立.7.5不等式的綜合應(yīng)用典例精析題型一含參數(shù)的不等式問題【例1】若不等式組的解集中所含整數(shù)解只有2，求k的取值范圍.【解析】由x2x20有x1或x2，由2x2(52k)x5k0有(2x5)(xk)0.因?yàn)?是原不等式組的解，所以k2.由(2x5)(xk)0有xk.因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解只有2，所以2k3，即3k2，故k的取值范圍是3,2).【點(diǎn)撥】涉及到含參數(shù)的不等式解集的有關(guān)問題時(shí)，借助數(shù)軸分析，往往直觀、簡潔.【變式訓(xùn)練1】不等式(1)na2對任意nN*恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a2，即a(2).而(2)2，則a2；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a2，而22，所以a.綜上可得2a.【點(diǎn)撥】不等式中出現(xiàn)了(1)n的時(shí)候，常常分n為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類討論.題型二不等式在函數(shù)中的應(yīng)用【例2】已知函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上是增函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；(2)設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程f(x)的兩個(gè)相異實(shí)根，若對任意aA及t1,1，不等式m2tm1|x1x2|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)f(x)，因?yàn)閒(x)在1,1上是增函數(shù)，所以當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)0恒成立，令(x)x2ax2，即x2ax20恒成立.所以Aa|1a1.(2)由f(x)得x2ax20.設(shè)x1，x2是方程x2ax20的兩個(gè)根，所以x1x2a，x1x22.從而|x1x2|，因?yàn)閍1,1，所以3，即|x1x2|max3.不等式對任意aA及t1,1不等式恒成立，即m2tm20恒成立.設(shè)g(t)m2tm2mtm22，則解得m2或m2.故m的取值范圍是(，22，).【點(diǎn)撥】對于在給定區(qū)間上恒成立的不等式問題，通?？梢赞D(zhuǎn)化為給定區(qū)間上的函數(shù)最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分離變量或者利用數(shù)形結(jié)合的方法，分離變量和數(shù)形結(jié)合更加簡單明了.【變式訓(xùn)練2】設(shè)a，b0，且ab1，不等式恒成立，則的取值范圍是. 【解析】1，).因?yàn)閍b1，所以1，所以1.題型三不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例3】某森林出現(xiàn)火災(zāi)，火勢正以100 m2/分鐘的速度順風(fēng)蔓延，消防站接到報(bào)警立即派消防隊(duì)員前去，在火災(zāi)發(fā)生后5分鐘到達(dá)救火現(xiàn)場，已知消防隊(duì)員在現(xiàn)場平均每人滅火50 m2/分鐘，所消耗的滅火材料，勞務(wù)津貼等費(fèi)用為人均125元/分鐘，另附加每次救火所耗損的車輛，器械和裝備等費(fèi)用人均100元，而燒毀森林的損失費(fèi)60元/m2，問應(yīng)該派多少消防隊(duì)員前去救火才能使總損失最少？【解析】設(shè)派x名消防隊(duì)員前去救火，用t分鐘將火撲滅，總損失為y，則t，y滅火勞務(wù)津貼車輛、器械裝備費(fèi)森林損失費(fèi)125xt100x60(500100t)125x100x30 000100(x2)31 450231 45036 450，當(dāng)且僅當(dāng)100(x2)，即x27時(shí)，y有最小值36 450，故應(yīng)派27人前去救火才能使總損失最少，最少損失36 450元.【點(diǎn)撥】本題需要把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是歷年高考考查的重要內(nèi)容.【變式訓(xùn)練3】某學(xué)校擬建一塊周長為400 m的操場，如圖所示，操場的兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大，試問如何設(shè)計(jì)矩形的長和寬？【解析】設(shè)中間矩形區(qū)域的長，寬分別為x m，y m，中間的矩形區(qū)域面積為S，則半圓的周長為，因?yàn)椴賵鲋荛L為400，所以2x2400，即2xy400(0x200,0y)，所以Sxy(2x)(y)2，由解得所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即把矩形的長和寬分別設(shè)計(jì)為100 m和m時(shí)，矩形區(qū)域面積最大.總結(jié)提高1.不等式應(yīng)用大致可分為兩類：一類是建立不等式求參數(shù)的取值范圍，或解決一些實(shí)際應(yīng)用問題；另一類是建立函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式求最值問題.不等式的綜合題主要是不等式與函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、三角函數(shù)等知識(shí)的綜合.解決這些問題的關(guān)鍵是找出綜合題的各部分知識(shí)及聯(lián)系，充分利用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法解題.2.建立不等式的主要途徑有：利用基本不等式；利用問題的幾何意義；利用判別式；利用函數(shù)的有界性；利用函數(shù)的單調(diào)性等.3.解答不等式的實(shí)際應(yīng)用問題一般分四步，即審題、建模、求解、檢驗(yàn).