題型練10大題綜合練(二)1.設(shè)數(shù)列an(n=1,2,3,)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列1an的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求使得|Tn-1|<11000成立的n的最小值.2.某工廠生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分,指標(biāo)大于或等于88為合格品,小于88為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:測(cè)試指標(biāo)80,84)84,88)88,92)92,96)96,100產(chǎn)品A61442317產(chǎn)品B81740305(1)試分別估計(jì)產(chǎn)品A,B為合格品的概率;(2)生產(chǎn)1件產(chǎn)品A,若是合格品則盈利45元,若是次品則虧損10元;生產(chǎn)1件產(chǎn)品B,若是合格品則盈利60元,若是次品則虧損15元.在(1)的前提下,X為生產(chǎn)1件產(chǎn)品A和1件產(chǎn)品B所得的總利潤(rùn),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;求生產(chǎn)5件產(chǎn)品B所得利潤(rùn)不少于150元的概率.3.如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.4.設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)M(2,2),N(6,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓E的方程;(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OAOB?若存在,寫(xiě)出該圓的方程,并求|AB|的取值范圍:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.5.已知函數(shù)f(x)=aln x-ax-3(aR).(1)若a=-1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2)處的切線的傾斜角為45,對(duì)于任意的t1,2,函數(shù)g(x)=x3+x2f(x)+m2在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍;(3)求證:ln22ln33ln44lnnn<1n(n2,nN*).參考答案題型練10大題綜合練(二)1.解(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).從而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因?yàn)閍1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.故an=2n.(2)由(1)得1an=12n.所以Tn=12+122+12n=121-12n1-12=1-12n.由|Tn-1|<11000,得1-12n-1<11000,即2n>1000.因?yàn)?9=512<1000<1024=210,所以n10.于是,使|Tn-1|<11000成立的n的最小值為10.2.解(1)由題意知,產(chǎn)品A為合格品的概率約為42+31+7100=45,產(chǎn)品B為合格品的概率約為40+30+5100=34.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為-25,30,50,105.P(X=-25)=1-451-34=120;P(X=30)=451-34=15;P(X=50)=1-4534=320;P(X=105)=4534=35.所以隨機(jī)變量X的分布列為X-253050105P1201532035E(X)=(-25)120+3015+50320+10535=75.25.生產(chǎn)的5件產(chǎn)品B中,合格品為3,4,5件時(shí),所得利潤(rùn)不少于150元,記“生產(chǎn)5件產(chǎn)品B所得利潤(rùn)不少于150元”為事件M,則P(M)=C53343142+C5434414+C55345=459512.3.(1)證明延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.因?yàn)槠矫鍮CFE平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因?yàn)镋FBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解法一過(guò)點(diǎn)F作FQAK于Q,連接BQ.因?yàn)锽F平面ACK,所以BFAK,則AK平面BQF,所以BQAK.所以BQF是二面角B-AD-F的平面角.在RtACK中,AC=3,CK=2,得FQ=31313.在RtBQF中,FQ=31313,BF=3,得cosBQF=34.所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為34.解法二如圖,延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,則BCK為等邊三角形.取BC的中點(diǎn)O,則KOBC,又平面BCFE平面ABC,所以,KO平面ABC.以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以射線OB,OK的方向?yàn)閤,z的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,3),A(-1,-3,0),E12,0,32,F-12,0,32.因此,AC=(0,3,0),AK=(1,3,3),AB=(2,3,0).設(shè)平面ACK的法向量為m=(x1,y1,z1),平面ABK的法向量為n=(x2,y2,z2).由ACm=0,AKm=0得3y1=0,x1+3y1+3z1=0,取m=(3,0,-1);由ABn=0,AKn=0得2x2+3y2=0,x2+3y2+3z2=0,取n=(3,-2,3).于是,cos<m,n>=mn|m|n|=34.所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為34.4.解(1)將M,N的坐標(biāo)代入橢圓E的方程,得4a2+2b2=1,6a2+1b2=1,解得a2=8,b2=4.所以橢圓E的方程為x28+y24=1.(2)假設(shè)滿足題意的圓存在,其方程為x2+y2=R2,其中0<R<2.設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),令直線AB的方程為y=kx+m,將其代入橢圓E的方程并整理,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-82k2+1.因?yàn)镺AOB,所以x1x2+y1y2=0.將y1=kx1+m,y2=kx2+m代入,得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.將代入,得m2=83(1+k2).因?yàn)橹本€AB和圓相切,所以R=|m|1+k2,將其代入得R=263,所以存在圓x2+y2=83滿足題意.當(dāng)切線AB的斜率不存在時(shí),易得x12=x22=83,由橢圓E的方程得y12=y22=83,顯然OAOB.綜上所述,存在圓x2+y2=83滿足題意.如圖,過(guò)原點(diǎn)O作ODAB,垂足為D,則D為切點(diǎn),設(shè)OAB=,則為銳角,且|AD|=263tan,|BD|=263tan,所以|AB|=263tan+1tan.因?yàn)?|OA|22,所以22tan2.令x=tan,易證:當(dāng)x22,1時(shí),|AB|=263x+1x單調(diào)遞減;當(dāng)x1,2時(shí),|AB|=263x+1x單調(diào)遞增.所以463|AB|23.5.(1)解當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x-1x(x>0),由f(x)>0,得x(1,+);由f(x)<0,得x(0,1),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+);單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).(2)解f(x)=a(1-x)x(x>0),f(2)=-a2=1.a=-2,f(x)=-2lnx+2x-3,g(x)=x3+m2+2x2-2x.g(x)=3x2+(m+4)x-2.g(x)在區(qū)間(t,3)上不是單調(diào)函數(shù),且g(0)=-2,g(t)<0,g(3)>0.由題意知,對(duì)于任意的t1,2,g(t)<0恒成立,g(1)<0,g(2)<0,g(3)>0,-373<m<-9.(3)證明由(1)當(dāng)x(1,+)時(shí),f(x)>f(1),即-lnx+x-1>0,0<lnx<x-1對(duì)一切x(1,+)恒成立.n2,nN*,則有0<lnn<n-1,0<lnnn<n-1n,ln22ln33ln44lnnn<122334n-1n=1n(n2,nN*).ln22ln33ln44lnnn<1n(n2,nN*).