一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)1.函數(shù)的零點(diǎn)使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。例如是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)。注：函數(shù)有零點(diǎn) 函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn) 方程有實(shí)根2.函數(shù)零點(diǎn)的判定：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有。那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在。3函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，注意它是數(shù)而不是點(diǎn)4.基本函數(shù)模型：函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型二次函數(shù)模型指數(shù)型函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)對(duì)數(shù)型函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)冪型函數(shù)模型f(x)axnb(a，b為常數(shù)，a0)5.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(1)審題：數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的文字?jǐn)⑹鲩L，數(shù)量關(guān)系分散且難以把握，因此，要認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，明確問題的實(shí)際背景，收集整理數(shù)據(jù)信息，這是解答數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)(2)建模：在明確了問題的實(shí)際背景和收集整理數(shù)據(jù)信息的基礎(chǔ)上進(jìn)行科學(xué)的抽象概括，將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，合理引入自變量，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式(也叫目標(biāo)函數(shù))，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型(3)解模：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題(即數(shù)學(xué)模型或目標(biāo)函數(shù))予以解答，求得結(jié)果(4)還原：將求解數(shù)學(xué)模型所得的結(jié)果還原為實(shí)際問題的意義，回答數(shù)學(xué)應(yīng)用題提出的問題以上過程可以用示意圖表示為：模擬函數(shù)的過程可以用下面框圖表示：二、題之本：思想方法技巧1.判斷函數(shù)在給定區(qū)間零點(diǎn)的步驟(1)確定函數(shù)的圖象在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)計(jì)算f(a)，f(b)的值并判斷f(a)f(b)的符號(hào)；(3)若f(a)f(b)0，則有實(shí)數(shù)解除了用上面的零點(diǎn)存在性定理判斷外，有時(shí)還需結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象來作出判斷2確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程f(x)0的實(shí)根個(gè)數(shù))的方法：(1)判斷二次函數(shù)f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般由對(duì)應(yīng)的二次方程f(x)0的判別式0，0，0來完成；對(duì)于一些不便用判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的二次函數(shù)，則要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷(2) 連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上有f(a)f(b)0時(shí)，函數(shù)在(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，但不能確定究竟有多少個(gè)要更準(zhǔn)確地判斷函數(shù)在(a，b)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，還得結(jié)合函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性、極值等性質(zhì)進(jìn)行判斷如三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(3)若函數(shù)f(x)在上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且是單調(diào)函數(shù)，又f(a)f(b)0，則yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一零點(diǎn)(4)對(duì)于解析式較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)，可根據(jù)解析式特征，利用函數(shù)與方程思想化為f(x)g(x)的形式，通過考察兩函數(shù)圖像交點(diǎn)來確定零。3.“實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“”，你是否注意到必須；若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形？例如：對(duì)一切恒成立，求a的取值范圍，你討論了a2的情況了嗎？4.數(shù)模型的選擇解題過程中選用哪種函數(shù)模型，要根據(jù)題目具體要求進(jìn)行抽象和概括，靈活地選取和建立數(shù)學(xué)模型一般來說：如果實(shí)際問題的增長特點(diǎn)為直線上升，則選擇直線模型；若增長的特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快(指數(shù)爆炸)，則選擇指數(shù)型函數(shù)模型；若增長的特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值的增大速度越來越慢，則選擇對(duì)數(shù)型函數(shù)模型；如果實(shí)際問題中變量間的關(guān)系，不能用同一個(gè)關(guān)系式表示，則選擇分段函數(shù)模型等。另外，常見的出租車計(jì)費(fèi)問題、稅收問題、商品銷售等問題，通常用分段函數(shù)模型；面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題常選擇冪型函數(shù)模型，特別是二次函數(shù)模型；而對(duì)于利率、細(xì)胞分裂、物質(zhì)衰變，則常選擇指數(shù)型函數(shù)模型三、題之變：課本典例改編26.原題（必修1第八十八頁例1）求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).改編1 函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4【答案】【解析】易知函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)方程|log0.5x|x的根的個(gè)數(shù)函數(shù)y1|log0.5x|與y2x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故選B改編2 已知函數(shù),若在區(qū)間(2,3)內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù),不等式恒成立，且在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )【答案】改編3函數(shù)yx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3【答案】B【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別做出y1，y2的圖象，根據(jù)圖象可以看出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.故選B.27.原題（必修1第九十頁例2）借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解（精確度0.1）.改編1 用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0_，第二次應(yīng)計(jì)算_ 【解析】f(x)x33x1是R上的連續(xù)函數(shù)，且f(0)<0，f(0.5)>0，則f(x)在x(0,0.5)上存在零點(diǎn)，且第二次驗(yàn)證時(shí)需驗(yàn)證f(0.25)的符號(hào)改編2 為了求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，某同學(xué)利用計(jì)算器得到自變量和函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值（精確度0.1）如下表所示1.251.31251.3751.43751.51.56250.87160.57880.28130.21010.328430.64115則方程的近似解（精確到0.1）可取為（ ） A1.32B1.39C1.4D1.3【答案】C.28.原題（必修1第九十五頁例1）假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？改編1 某市一家商場的新年最高促銷獎(jiǎng)設(shè)立了三種領(lǐng)獎(jiǎng)方式，這三種領(lǐng)獎(jiǎng)方式如下：方式一：每天到該商場領(lǐng)取獎(jiǎng)品，價(jià)值為40元；方式二：第一天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品的價(jià)值為10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品的價(jià)值為0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。若商場的獎(jiǎng)品總價(jià)值不超過600元，則促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長設(shè)置為幾天？在領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長的情況下，你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎(jiǎng)方式讓領(lǐng)獎(jiǎng)?wù)呤芤娓?？【解析】設(shè)促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)為天，三種方式的領(lǐng)取獎(jiǎng)品總價(jià)值分別為。則；要使獎(jiǎng)品總價(jià)值不超過600元，則 解得又 ，故答：促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長可設(shè)置10天，在這10天內(nèi)選擇方式二會(huì)讓領(lǐng)獎(jiǎng)?wù)呤芤娓?改編2 某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；(2)若該家庭有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？29.原題（必修1第一百一十二頁復(fù)習(xí)參考習(xí)A組第七題）改編1 如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE4米，CD6米為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上(1)設(shè)MPx米，PNy米，將y表示成x的函數(shù)，并求出該函數(shù)的定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值改編2 已知線段的長為,以為直徑的圓有一內(nèi)接梯形，若橢圓以為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的離心率的范圍【解析】梯形為圓內(nèi)接梯形，故其為等腰梯形，設(shè)，則在中，由橢圓的定義知離心率，其中，所以，故橢圓離心率30.原題（必修1第一百一十三頁復(fù)習(xí)參考習(xí)A組第九題）某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時(shí)間的市場供應(yīng)，若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開始x月后，公司的存貨量大致滿足模型，那么下次生產(chǎn)應(yīng)在多長時(shí)間后開始？改編1 某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時(shí)間的市場供應(yīng)，在存貨量變?yōu)?的前一個(gè)月，公司進(jìn)行下次生產(chǎn)。若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開始月后，公司的存貨量大致滿足模型，那么下次生產(chǎn)應(yīng)在 月后開始【答案】兩個(gè)月.改編2研究表明：使全球氣候逐年變暖的一個(gè)重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加據(jù)測，2010年、2011年、2012年大氣中的CO2濃度分別比2009年增加了1個(gè)可比單位、3個(gè)可比單位、6個(gè)可比單位若用一個(gè)函數(shù)模擬每年CO2濃度增加的可比單位數(shù)與年份增加數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)f(x)px2qxr(其中p，q，r為常數(shù))或函數(shù)g(x)abxc(其中a，b，c為常數(shù))，且又知2014年大氣中的CO2濃度比2009年增加了16個(gè)可比單位，請(qǐng)問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？【解析】：若以f(x)px2qxr作模擬函數(shù)，則依題意得：解得p，q，r0，所以f(x)x2x.若以g(x)abxc作模擬函數(shù)，則 解得a，b，c3.所以g(x)3.利用f(x)，g(x)對(duì)2014年的CO2濃度作估算，則其數(shù)值分別為：f(5)15可比單位，g(5)17.25可比單位，|f(5)16|g(5)16|，故選f(x)x2x作為模擬函數(shù)較好