第九節(jié)圓錐曲線的綜合問題 考點(diǎn)一圓錐曲線中的最值(或取值范圍)問題 例1(2013新課標(biāo)全國卷)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：1 (a>b>0)右焦點(diǎn)的直線xy0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值自主解答(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則1，1，1，由此可得1.因?yàn)閤1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程為1.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設(shè)直線CD的方程為yxn，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因?yàn)橹本€CD的斜率為1，所以|CD|x4x3|.由已知，四邊形ACBD的面積S|CD|AB|.當(dāng)n0時(shí)，S取得最大值，最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.【互動探究】若本例的條件不變，則四邊形ACBD的面積有最小值嗎？若有，求出其值；若沒有，說明理由解：由(2)可知3x24nx2n260，又yxn與橢圓1相交，(4n)243(2n26)8(9n2)>0，即3<n<3,0n2<9，而SACBD，0<SACBD，即SACBD沒有最小值 【方法規(guī)律】1解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五方面考慮(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍2圓錐曲線中常見最值問題及解題方法(1)兩類最值問題：涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題(2)兩種常見解法：幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法等求解如圖，橢圓C：1(ab0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分(1)求橢圓C的方程；(2)求ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程解：(1)設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F(c,0)，則由題意得得所以橢圓方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M.由題意知直線AB的斜率存在且不為零，故可設(shè)直線AB的方程為ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，則64k2m24(34k2)(4m212)0，所以線段AB的中點(diǎn)M.因?yàn)镸在直線OP上，所以.得m0(舍去)或k.此時(shí)方程為3x23mxm230，則3(12m2)0，所以|AB|x1x2|.設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則d.設(shè)ABP的面積為S，則S|AB|d.其中m(2，0)(0,2)令u(m)(12m2)(m4)2，m(2，0)(0,2)，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，u(m)取到最大值即S取到最大值綜上，所求直線l的方程為3x2y220.考點(diǎn)二定 點(diǎn) 問 題 例2(2013陜西高考)已知動圓過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)B(1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是PBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn)自主解答(1)如圖，設(shè)動圓圓心O1(x，y)，由題意，|O1A|O1M|，當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O1作O1HMN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn)，|O1M|，又|O1A|，化簡得y28x(x0)又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y28x，動圓圓心的軌跡C的方程為y28x.(2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20，其中32kb64>0.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2，x1x2，因?yàn)閤軸是PBQ的角平分線，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(kb)(x1x2)2b0，將代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此時(shí)>0，直線l的方程為yk(x1)，直線l過定點(diǎn)(1,0)【方法規(guī)律】圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)(2)特殊到一般法：根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t，m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.(1)設(shè)動點(diǎn)P滿足PF2PB24，求點(diǎn)P的軌跡；(2)設(shè)t9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))解：由題設(shè)得A(3,0)，B(3,0)，F(xiàn)(2,0)(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由PF2(x2)2y2，PB2(x3)2y2，PF2PB24，得(x2)2y2(x3)2y24，化簡得x.故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x.(2)證明：由題設(shè)知，直線AT的方程為y(x3)，直線BT的方程為y(x3)點(diǎn)M(x1，y1)滿足解得，因?yàn)閤13，則，解得x1，從而得y1.點(diǎn)N(x2，y2)滿足解得x2，y2.若x1x2，則由及m>0，得m2，此時(shí)直線MN的方程為x1，過點(diǎn)D(1,0)若x1x2，則m2，直線MD的斜率kMD，直線ND的斜率kND，得kMDkND，所以直線MN過D點(diǎn)因此，直線MN必過x軸上的點(diǎn)(1,0)高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三 圓錐曲線中的定值問題1圓錐曲線中的定值問題，是近幾年來高考命題的熱點(diǎn)，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為高檔題2高考中關(guān)于圓錐曲線中的定值問題有以下幾個(gè)命題角度：(1)求代數(shù)式為定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值；(3)求某線段長為定值例3(2013江西高考)橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，ab3.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2mk為定值自主解答(1)因?yàn)閑，所以ac，bc.代入ab3，得c，a2，b1.故橢圓C的方程為y21.(2)證明：法一：因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為yk(x2)，把代入y21，解得P.直線AD的方程為：yx1.與聯(lián)立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三點(diǎn)共線知，解得N.所以MN的斜率為m，則2mkk(定值)法二：設(shè)P(x0，y0)(x00，x02)，則k，直線AD的方程為：y(x2)，直線BP的方程為：y(x2)，直線DP的方程為：y1x，令y0，由于y01，可得N聯(lián)立解得M，因此MN的斜率為m，所以2mk(定值)圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得如圖所示，已知點(diǎn)A(1，)是離心率為的橢圓C：1(a>b>0)上的一點(diǎn)，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合(1)求橢圓C的方程；(2)ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由；(3)求證：直線AB、AD斜率之和為定值解：(1)由題意，可得e，1，a2b2c2，解得a2，b，c，所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線BD的方程為yxm，D(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x22mxm240，所以8m264>0，則2<m<2，x1x2m，x1x2.所以|BD|x1x2|.設(shè)d為點(diǎn)A到直線BD：yxm的距離，所以d.所以SABD|BD|d，當(dāng)且僅當(dāng)8m2m2，即m2時(shí)取等號因?yàn)?(2，2)，所以當(dāng)m2時(shí)，ABD的面積最大，最大值為.(3)證明：設(shè)直線AB、AD的斜率分別為kAB、kAD，則kADkAB2m，(*)將(2)中、式代入(*)式，整理得2m0，即kADkAB0.故直線AB、AD斜率之和為定值課堂歸納通法領(lǐng)悟2種方法求定值問題常見的兩種方法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；(2)直接推理、計(jì)算，并在此過程中消去變量，從而得到定值4個(gè)重視求定值、最值等圓錐曲線綜合問題要四重視(1)重視定義在解題中的作用；(2)重視平面幾何知識在解題中的作用；(3)重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用；(4)重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用5方面考慮求最值(或范圍)問題需從以下五方面考慮見本節(jié)考點(diǎn)一方法規(guī)律