課時(shí)鞏固過關(guān)練(十六)圓錐曲線的概念與性質(zhì)、與弦有關(guān)的計(jì)算問題一、選擇題1已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其中F1(2，0)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|OF1|且|PF1|4，則橢圓C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：設(shè)橢圓的焦距為2c，連接PF2，如圖所示由F1(2，0)，得c2，又由|OP|OF1|OF2|，知PF1PF2，在PF1F2中，由勾股定理，得|PF2|8.由橢圓定義，得|PF1|PF2|2a4812，從而a6，得a236，于是b2a2c236(2)216，橢圓的方程為1.故選C.答案：C2“0k<3”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件解析：0k<3，方程1表示雙曲線；反之，方程1表示雙曲線，(k1)(k5)<0，解得1<k<5.“0k<3”是“方程1表示雙曲線”的充分不必要條件故選A.答案：A3(2016浙江瑞安高三上學(xué)期四校聯(lián)考)已知直線yk(x2)(k>0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)若|FA|2|FB|，則k()A. B.C. D.解析：拋物線y28x的準(zhǔn)線為x2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可知|FA|x12，|FB|x22，|FA|2|FB|，x122(x22)，x12x22.將yk(x2)(k>0)代入y28x，消去y并整理可得k2x2(4k28)x4k20.由韋達(dá)定理可得x1x24，x1x24.解得x1x2414，k>0，解得k.故選D.答案：D4設(shè)圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線上存在點(diǎn)P滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線的離心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或解析：|PF1|F1F2|PF2|432，設(shè)|PF1|4k，|F1F2|3k，|PF2|2k(k>0)，若圓錐曲線為橢圓，則2a|PF1|PF2|6k,2c|F1F2|3k，則離心率e；若圓錐曲線為雙曲線，則2a|PF1|PF2|2k,2c|F1F2|3k，則離心率e，故選A.答案：A5設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為()A. B.C. D.解析：由題意可知直線AB的方程為y，代入拋物線的方程得4y212y90，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y23，y1y2，SOAB|OF|y1y2|.故選D.答案：D6過點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于()A. B.C. D.解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.故選B.答案：B7(2016上海嘉定一模)已知圓M過定點(diǎn)E(2,0)，圓心M在拋物線y24x上運(yùn)動(dòng)，若y軸截圓M所得的弦為AB，則|AB|等于()A4 B3C2 D1解析：如圖，圓心M在拋物線y24x上，設(shè)M，r，圓M的方程為2(yy0)22y.令x0，得(yy0)2y4y，(yy0)24，yy02.|AB|y02(y02)4.故選A.答案：A8經(jīng)過橢圓y21的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于()A3 BC或3 D解析：由y21，得a22，b21，c2a2b21，焦點(diǎn)為(1,0)不妨設(shè)直線l過右焦點(diǎn)，傾斜角為45，則直線l的方程為yx1.代入y21得x22(x1)220，即3x24x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x20，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)11，x1x2y1y20.同理，可得直線l過左焦點(diǎn)時(shí)，.故選B.答案：B二、填空題9(2015山東高考)平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p>0)交于點(diǎn)O，A，B，若OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為_解析：設(shè)OA所在的直線方程為yx，則OB所在的直線方程為yx，解方程組得所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為.因?yàn)镕是ABC的垂心，所以kOBkAF1.所以1.所以e21e.答案：三、解答題10(2015江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若|PC|2AB|，求直線AB的方程解：(1)由題意，得，且c3，解得a，c1，則b1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)當(dāng)ABx軸時(shí)，AB，又CP3，不符合題意當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入橢圓方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，則x1,2，且x1x2，x1x2，又y1y2k(x1x2)2kk2k，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，|AB|.若k0，則線段AB的垂直平分線為y軸、與左準(zhǔn)線平行，不符合題意從而k0，故直線PC的方程為y，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，從而|PC|，因?yàn)閨PC|2|AB|，所以，解得k1.此時(shí)直線AB的方程為yx1或yx1.11已知橢圓G：y21，過點(diǎn)(m,0)作圓x2y21的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值解：(1)由已知得a2，b1，所以c，所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，離心率e.(2)由題意知|m|1，當(dāng)m1時(shí)，切線l的方程為x1，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，.此時(shí)|AB|，當(dāng)m1時(shí)，同理可得|AB|.當(dāng)|m|>1時(shí)，設(shè)切線l的方程為yk(xm)，由得(14k2)x28k2mx4k2m240，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2，又由切線l與圓x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于當(dāng)m3時(shí)，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因?yàn)閨AB|2，當(dāng)且僅當(dāng)m時(shí)，|AB|2，所以|AB|的最大值為2.