第48練 不等式綜合練 訓(xùn)練目標(biāo) 鞏固不等式的基礎(chǔ)知識，提高不等式在解決函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、向量、幾何等方面的應(yīng)用能力，訓(xùn)練解題步驟的規(guī)范性． 訓(xùn)練題型 (1)求函數(shù)值域、最值；(2)解決與數(shù)列有關(guān)的不等式問題、最值問題；(3)解決恒成立問題、求參數(shù)范圍問題；(4)不等式證明． 解題策略 將問題中的條件進行綜合分析、變形轉(zhuǎn)化，形成不等式“模型”，從而利用不等式性質(zhì)或基本不等式解決. 一、選擇題 1．已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，則(?RP)∩Q等于(　　) A．[2,3] B．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C．(2,3] D．(－∞，－1]∪(3，＋∞) 2．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，兩定點A，B滿足||＝||＝＝2，由點集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 3．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，則f(x)有(　　) A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4 4．對于實數(shù)x，規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范圍是(　　) A．(，) B．[2,8] C．[2,8) D．[2,7) 5．(2016濰坊聯(lián)考)已知不等式<0的解集為{x|a<x<b}，點A(a，b)在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，則＋的最小值為(　　) A．4 B．8 C．9 D．12 二、填空題 6．(2016山西大學(xué)附中檢測)已知函數(shù)f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，則的最小值為________． 7．(2017寧德質(zhì)檢)設(shè)P是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點，向量m＝(1,1)，n＝(2,1)．若＝λm＋μn(λ，μ∈R)，則μ的最大值為________． 8．(2015山東)定義運算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，當(dāng)x>0，y>0時，x?y＋(2y)?x的最小值為________． 三、解答題 9．(2016福建長樂二中等五校期中聯(lián)考)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)萬元，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，C(x)＝x2＋10x(萬元)；當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時，C(x)＝51x＋－1 450(萬元)．通過市場分析，若每件售價為500元時，該廠一年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷售完． (1)寫出年利潤L(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式； (2)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？ 10．(2016?？谝荒?已知函數(shù)f(x)＝x＋＋2(m為實常數(shù))． (1)若函數(shù)f(x)圖象上動點P到定點Q(0,2)的距離的最小值為，求實數(shù)m的值； (2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實數(shù)m的取值范圍； (3)設(shè)m<0，若不等式f(x)≤kx在x∈[，1]時有解，求k的取值范圍． 答案精析 1．C　[依題意，得P＝{x|－1≤x≤2}，Q＝{x|1<x≤3}，則(?RP)∩Q＝(2,3]，故選C.] 2．D　[由||＝||＝＝2知〈，〉＝. 設(shè)＝(2,0)，＝(1，)， ＝(x，y)，則 解得 由|λ|＋|μ|≤1得|x－y|＋|2y|≤2. 作出可行域，如圖所示． 則所求面積S＝24＝4.] 3．C　[∵x<0，∴f(x)＝－[(－x)＋]－2≤－2－2＝－4， 當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時取等號．] 4．C　[由4[x]2－36[x]＋45<0得<[x]<，又因為[x]表示不大于x的最大整數(shù)，所以2≤x<8.故選C.] 5．C　[易知不等式<0的解集為(－2，－1)，所以a＝－2，b＝－1,2m＋n＝1，＋＝(2m＋n)(＋)＝5＋＋≥5＋4＝9(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時取等號)，所以＋的最小值為9.] 6．2 解析　由函數(shù)f(x)＝|lg x|，a>b>0， f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，所以lg a＝－lg b，b＝，a－b＝a－>0，則＝ ＝a－＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a－＝，即a＝時，等號成立)． 7．3 解析　設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，因為＝λm＋μn， 所以 解得μ＝x－y.題中不等式組表示的可行域是如圖所示的陰影部分， 由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)μ＝x－y過點G(3,0)時，μ取得最大值3－0＝3. 8. 解析　由題意，得x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號． 9．解　(1)當(dāng)0<x<80，x∈N*時， L(x)＝－x2－10x－250＝－x2＋40x－250； 當(dāng)x≥80，x∈N*時， L(x)＝－51x－＋1 450－250＝1 200－(x＋)， ∴L(x)＝ (2)當(dāng)0<x<80，x∈N*時，L(x)＝－(x－60)2＋950， ∴當(dāng)x＝60時，L(x)取得最大值L(60)＝950. 當(dāng)x≥80，x∈N*時， L(x)＝1 200－(x＋) ≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000， ∴當(dāng)x＝，即x＝100時，L(x)取得最大值L(100)＝1 000>950. 綜上所述，當(dāng)x＝100時，L(x)取得最大值1 000， 即年產(chǎn)量為100千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大． 10．解　(1)設(shè)P(x，y)，則y＝x＋＋2， PQ2＝x2＋(y－2)2＝x2＋(x＋)2 ＝2x2＋＋2m≥2|m|＋2m＝2， 當(dāng)m>0時，解得m＝－1； 當(dāng)m<0時，解得m＝－－1. 所以m＝－1或m＝－－1. (2)由題意知，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2， 則f(x2)－f(x1)＝x2＋＋2－(x1＋＋2)＝(x2－x1)>0. 因為x2－x1>0，x1x2>0， 所以x1x2－m>0，即m<x1x2. 由x2>x1≥2，得x1x2>4，所以m≤4. 所以m的取值范圍是(－∞，4]． (3)由f(x)≤kx，得x＋＋2≤kx. 因為x∈[，1]，所以k≥＋＋1. 令t＝，則t∈[1,2]， 所以k≥mt2＋2t＋1. 令g(t)＝mt2＋2t＋1，t∈[1,2]， 于是，要使原不等式在x∈[，1]時有解，當(dāng)且僅當(dāng)k≥[g(t)]min(t∈[1,2])． 因為m<0， 所以g(t)＝m(t＋)2＋1－的圖象開口向下， 對稱軸為直線t＝－>0. 因為t∈[1,2]，所以當(dāng)0<－≤， 即m≤－時，g(t)min＝g(2)＝4m＋5； 當(dāng)－>，即－<m<0時， g(t)min＝g(1)＝m＋3. 綜上，當(dāng)m≤－時，k∈[4m＋5，＋∞)； 當(dāng)－<m<0時，k∈[m＋3，＋∞)．