【備戰(zhàn)2016】（湖北版）高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編 專題12 概率與統(tǒng)計(jì)（含解析）理一選擇題1. 【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷12】以平行六面體ABCDABCD的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率p為（ ）A B C D【答案】A2.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷9】連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（ ）ABCD【答案】C3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷文7】將5本不同的書全發(fā)給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少有一本書的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：將5本不同的書全發(fā)給4名同學(xué)共有45種發(fā)法，其中每名同學(xué)至少有一本書的發(fā)法有，故每名同學(xué)至少有一本書的概率是P=，選A.4.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷3】投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n,則復(fù)數(shù)（m+ni）(n-mi)為實(shí)數(shù)的概率為（ ）A、 B、 C、 D、5.【2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷4】投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是（ ）A B C D 【答案】C6.【2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷6】將參加夏令營(yíng)的600名學(xué)生編號(hào)為：001，002，600，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003這600名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到300在第營(yíng)區(qū)，從301到495住在第營(yíng)區(qū)，從496到600在第營(yíng)區(qū)，三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)依次為A26, 16, 8, B25，17，8 C25，16，9 D24，17，9【答案】B【解析】試題分析：依題意可知，在隨機(jī)抽樣中，首次抽到003號(hào)，以后每隔12個(gè)號(hào)抽到一個(gè)人，則分別是003、015、027、039構(gòu)成以3為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列，故可分別求出在001到300中有25人，在301至495號(hào)中共有17人，則496到600中有8人， 所以B正確。 7.【2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷5】已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6【答案】B8.【2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷7】如圖，用K、三類不同的原件連接成一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)K正常工作且至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K、正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為（ ） A.0.960 B. 0.864 C. 0.720 D.0.576【答案】B【解析】 試題分析：分兩種情況：K正常且中一個(gè)正常，全部正常。故.9.【2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷8】如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓. 在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（ ）A B C D【答案】A10.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷9】如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割成125個(gè)同樣大小的小正方體。經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體，記它的涂油漆面數(shù)為，則的均值為（ ） A. B. C. D. 第9題圖【答案】B【解析】試題分析：三面涂有油漆的有8塊，兩面涂有油漆的有36塊，一面涂有油漆的有54塊，沒有涂有油漆的有27塊，所以.故選B.11.2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷4】根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)3456784.02.50.5得到的回歸方程為，則（ ）A. , B. , C. , D. , 【答案】B【解析】試題分析：依題意，畫散點(diǎn)圖知，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，所以，.選B.考點(diǎn)：已知樣本數(shù)判斷線性回歸方程中的與的符號(hào)，容易題.12. 【2015高考湖北，理2】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ） A134石 B169石 C338石 D1365石【答案】B【解析】依題意，這批米內(nèi)夾谷約為石，選B.【考點(diǎn)定位】用樣本估計(jì)總體.13. 【2015高考湖北，理4】設(shè)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示下列結(jié)論中正確的是（ ）A B C對(duì)任意正數(shù)， D對(duì)任意正數(shù)，【答案】C【解析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，、的密度曲線分別關(guān)于、對(duì)稱，因此結(jié)合所給圖象可得且的密度曲線較的密度曲線“瘦高”，所以，所以對(duì)任意正數(shù)，.【考點(diǎn)定位】正態(tài)分布密度曲線.14. 【2015高考湖北，理7】在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則 （ ）A B C D 二填空題1.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷12】接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為080，現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為 精確到001）【答案】0.94【解析】試題分析：P0.94.2.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】某籃運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率（用數(shù)值作答）3.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷文12】甲、乙、丙三人將參加某項(xiàng)測(cè)試，他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是0.8、0.6、0.5，則三人都達(dá)標(biāo)的概率是 ，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是 ?！敬鸢浮?.24 0.76【解析】試題分析：三人均達(dá)標(biāo)為0.80.60.5=0.24,三人中至少有一人達(dá)標(biāo)為1-0.24=0.76.4.【2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷文13】一個(gè)病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9.則服用這咱新藥的4個(gè)病人中至少3人被治愈的概率為_（用數(shù)字作答）.5.【2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷文13】在30瓶飲料中，有3瓶已過(guò)了保持期從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過(guò)保質(zhì)期飲料的概率為 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）【答案】【解析】試題分析：.考點(diǎn)：考查獨(dú)立事件的概率，屬于簡(jiǎn)單題.6.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷12】樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì),樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻數(shù)為 ，數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為 . 7.【2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E=8.9，則y的值為 .【答案】0.4【解析】試題分析：由表格可知：，聯(lián)合解得.8.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷11】從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖所示。（I）直方圖中的值為 ；（II）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為 。 【答案】0.0044 70【解析】試題分析：， .三解答題1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷文21】某會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)相同.假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為p1，壽命為2年以上的概率為p2.從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換. （）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率； （）在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，求該盞燈需要更換燈泡的概率； （）當(dāng)p1=0.8，p2=0.3時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）.【解析】（I）在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為需要更換2只燈泡的概率為（II）對(duì)該盞燈來(lái)說(shuō)，在第1、2次都更換了燈泡的概率為（1-p1）2；在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為p1(1-p2)，故所求的概率為（III）至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況，換5只的概率為p5（其中p為（II）中所求，下同）換4只的概率為（1-p），故至少換4只燈泡的概率為2.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)的分布列和的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率.李明實(shí)際參加考試次數(shù)的分布列為1234P0.60.280.0960.024的期望E=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544.李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為1(10.6)(10.7)(1-0.8)(10.9)=0.9976.3.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布。已知成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有12名。（）、試問(wèn)此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？（）、若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問(wèn)設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可共查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.98574.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷17】在生產(chǎn)過(guò)程中，測(cè)得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細(xì)的一種量）共有100個(gè)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如右表：（）在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖；（）估計(jì)纖度落在中的概率及纖度小于1.40的概率是多少；（）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值（例如區(qū)間的中點(diǎn)值是1.32）作為代表. 據(jù)此，估計(jì)纖度的期望.分 組頻 數(shù)4253029102合 計(jì)100【解析】（）（）纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為（）總體數(shù)據(jù)的期望約為5.【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷17】袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)（n=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球.表示所取球的標(biāo)號(hào).（）求的分布列，期望和方差；（）若=a-b,E=1,D=11,試求a,b的值.【解析】（）的分布列為：01234P（）由，得a22.7511，即又所以當(dāng)a=2時(shí)，由121.5+b,得b=-2; 當(dāng)a=-2時(shí)，由1-21.5+b，得b=4.或即為所求.6.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷16】一個(gè)盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)2，3，4，5；另一個(gè)盒子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)3，4，5，6。現(xiàn)從一個(gè)盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x；再?gòu)牧硪缓凶永锶稳∫粡埧ㄆ渖厦娴臄?shù)記為y，記隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望?！窘馕觥恳李}意，可分別取、6、11取，則有的分布列為567891011 .7.【2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對(duì)工期的影響如下表：歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9. 求：（）工期延誤天數(shù)的均值與方差； （）在降水量X至少是的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率. 降水量X工期延誤天數(shù)02610【解析】（）由已知條件和概率的加法公式有：，.所以的分布列為：026100.30.40.20.1 于是，；. 故工期延誤天數(shù)的均值為3，方差為. （）由概率的加法公式，又. 由條件概率，得.故在降水量X至少是mm的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率是. 8.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過(guò)900的概率為。（I）求的值；（參考數(shù)據(jù)：若，有，。）（II）某客運(yùn)公司用、兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，、兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的運(yùn)營(yíng)成本分別為1600元/輛和2400元/輛。公司擬組建一個(gè)不超過(guò)21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求型車不多于型車7輛。若每天要以不小于的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的運(yùn)營(yíng)成本最小，那么應(yīng)配備型車、型車各多少輛？【解析】（I）（II）設(shè)配備型車輛，型車輛，運(yùn)營(yíng)成本為元，由已知條件得，而作出可行域，得到最優(yōu)解。所以配備型車5輛，型車12輛可使運(yùn)營(yíng)成本最小。9.【2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.（I）求未來(lái)4年中，至多1年的年入流量超過(guò)120的概率；（）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系:年入流量發(fā)電量最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？【解析】當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此.由此得的分布列如下：4200100000.20.8所以.安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī).依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此；當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，由此得的分布列如下：349200150000.20.80.1所以.綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).考點(diǎn)：二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量的均值.10. 【2015高考湖北，理20】某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)兩種奶制品生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時(shí)，獲利1000元；生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時(shí)，獲利1200元要求每天產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過(guò)產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過(guò)12小時(shí). 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利（單位：元）是一個(gè)隨機(jī)變量（）求的分布列和均值；（） 若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過(guò)10000元的概率【答案】（）的分布列為：816010200108000.30.50.2；（）0.973.【解析】（）設(shè)每天兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為，相應(yīng)的獲利為，則有 （1）第20題解答圖1第20題解答圖2第20題解答圖3目標(biāo)函數(shù)為 最大獲利故最大獲利的分布列為816010200108000.30.50.2因此， （）由（）知，一天最大獲利超過(guò)10000元的概率，由二項(xiàng)分布，3天中至少有1天最大獲利超過(guò)10000元的概率為 【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃的實(shí)際運(yùn)用，隨機(jī)變量的獨(dú)立性，分布列與均值，二項(xiàng)分布.