一、題之源：課本基礎知識 1．絕對值三角不等式 定理1：如果a，b是實數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立． 定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立． 2．絕對值不等式的解法 (1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集： 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ? ? |x|>a {x|x>a或x<－a} {x|x∈R且x≠0} R (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c． 3．基本不等式 定理1：設a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立． 定理2：如果a、b為正數(shù)，則≥，當且僅當a＝b時，等號成立． 定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則≥，當且僅當a＝b＝c時，等號成立． 定理4：(一般形式的算術—幾何平均不等式)如果a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則≥，當且僅當a1＝a2＝…＝an時，等號成立． 4．柯西不等式 (1)設a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時等號成立． (2)若ai，bi(i＝1，2，…，n)為實數(shù)，則(a)(b)≥(aibi)2，當且僅當＝＝…＝(當ai＝0時，約定bi＝0，i＝1，2，…，n)時等號成立． (3)柯西不等式的向量形式：設α，β為平面上的兩個向量，則|α||β|≥|αβ|，當且僅當α，β共線時等號成立． 5．不等式的證明方法 證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等． 二、題之本：思想方法技巧 1．解絕對值不等式要掌握去絕對值符號的方法，必要時運用分類討論的思想，有時也可利用絕對值的幾何意義解題．去掉絕對值符號的方法主要有：公式法、分段討論法、平方法、幾何法等．這幾種方法應用時各有側重，在解只含有一個絕對值的不等式時，用公式法較為簡便；但是若不等式含有多個絕對值時，則應采用分段討論法；應用平方法時，要注意只有在不等式兩邊均為正的情況下才能運用．因此，在去絕對值符號時，用何種方法須視具體情況而定． 2．在對不等式證明題進行分析，尋找解(證)題的途徑時，要提倡綜合法和分析法同時使用，如同打山洞一樣，由兩頭向中間掘進，這樣可以縮短條件與結論的距離，是數(shù)學解題分析中最有效的方法之一． 3．作差比較法一般適用于式子為多項式、對數(shù)式、三角式結構；作商比較法一般適用于式子為乘積、冪結構． 4．運用“f(x)≤a?f(x)max≤a，f(x)≥a?f(x)min≥a”可解決恒成立問題中的參數(shù)范圍問題． 5．用放縮法證不等式，將所證不等式中的某些項的質(zhì)適當放大或縮小(主要方法是拆分、配湊、增減項等)，可使有關項之間的不等關系更加明晰，更加強化，且有利于式子的代數(shù)變形、化簡，從而達到證明的目的．這種方法靈活性較大，技巧性較強． 6.注意下面幾個絕對值的函數(shù)最值的求法： ，。 三、題之變：課本典例改編 1. 原題（選修4-5第十頁習題1.1第十一題）改編1 已知.求的最小值. 【解析】由于，當=時有最小值. 改編2 已知求的最小值. 【解析】故ax=by=cz時，有最小值. 改編3 已知，求的最大值. 【解析】由于，當a=b=c時有最大值3. 2.原題（選修4-5第十頁習題1.1第十五題）改編 已知若H=max{，，}，求H的最小值． 【解析】H>0,H>0.H>0,. 3.原題（選修4-5第十六頁例3）改編1 不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍 . 改編2 已知函數(shù)（1）若不等式的解集為，求實數(shù)的值。（2）在（1）的條件下，令（?。┤舨坏仁綄σ磺袑崝?shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍。（ⅱ）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。 【解析】（1）由得：，所以 ，即 . （2）由（1）可得：，則 （?。?，則的最小值是15，故，解得，所以實數(shù)的取值范圍是. （ⅱ）由題意得：, ，即解不等式得：,所以實數(shù)的取值范圍是. 4.原題（選修4-5第十頁習題1.1第十一題）改編 設，且， 若不等式對一切正實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍。