課時(shí)規(guī)范練71　數(shù)學(xué)歸納法 　課時(shí)規(guī)范練第113頁(yè)　 一、選擇題 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊所得的代數(shù)式是(　　) A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 答案:C 解析:左邊表示從1開(kāi)始,連續(xù)2n+1個(gè)正整數(shù)的和,故n=1時(shí),表示1+2+3的和. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式+…+(n≥2,n∈N*)的過(guò)程中,由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式左邊(　　) A.增加了一項(xiàng) B.增加了兩項(xiàng) C.增加了兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng) D.以上各種情況均不對(duì) 答案:C 解析:當(dāng)n=k+1時(shí),不等式為+…+,∴比當(dāng)n=k時(shí)增加了項(xiàng).但最左端少了一項(xiàng). 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1++…+成立時(shí),起始值n至少應(yīng)取為(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案:B 解析:∵1++…+=2-,而1++…+,故起始值n至少取8. 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)”,從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為(　　) A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. 答案:B 解析:當(dāng)n=k時(shí),等式為(k+1)(k+2)…(k+k)=2k13…(2k-1), 當(dāng)n=k+1時(shí),等式為(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=2k+113…(2k+1), ∴左端增乘=2(2k+1). 5.在數(shù)列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通過(guò)求a2,a3,a4,猜想an的表達(dá)式為(　　) A. B.[來(lái)源:] C. D. 答案:C 解析:由a1=,Sn=n(2n-1)an求得a2=,a3=,a4=.猜想an=. 6.設(shè)函數(shù)f(n)=(2n+9)3n+1+9,當(dāng)n∈N*時(shí),f(n)能被m(m∈N*)整除,猜想m的最大值為(　　) A.9 B.18 C.27 D.36 答案:D 解析:f(n+1)-f(n)=(2n+11)3n+2-(2n+9)3n+1=4(n+6)3n+1,當(dāng)n=1時(shí),f(2)-f(1)=479為最小值,據(jù)此可猜想D正確. 7.對(duì)于不等式<n+1(n∈N*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下: (1)當(dāng)n=1時(shí),<1+1,不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),不等式成立,即<k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí),=(k+1)+1, 所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立,則上述證法(　　) A.過(guò)程全部正確 B.n=1驗(yàn)得不正確 C.歸納假設(shè)不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確 答案:D 解析:在n=k+1時(shí),沒(méi)有應(yīng)用n=k時(shí)的假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法. 二、填空題 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,且n∈N*)”,在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊計(jì)算所得的結(jié)果是　　　　　. 答案:1+a+a2 解析:首先觀(guān)察等式兩邊的構(gòu)成情況,它的左邊是按a的升冪順序排列的,共有n+2項(xiàng).因此當(dāng)n=1時(shí),共有3項(xiàng),應(yīng)該是1+a+a2. 9.在△ABC中,不等式成立;在四邊形ABCD中,不等式成立;在五邊形ABCDE中,不等式成立…… 猜想在n邊形A1A2…An中,有不等式　　　　成立.[來(lái)源:] 答案:+…+ 10.用數(shù)學(xué)歸納法證明(k>1),則當(dāng)n=k+1時(shí),左端應(yīng)乘上　　　　　　　　　　　　　,這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是　　　　　. 答案:　2k-1 解析:當(dāng)n=k時(shí),. 當(dāng)n=k+1時(shí),. ∴左邊應(yīng)乘上,設(shè)第一項(xiàng)a1=2k+1,an=2k+1-1,d=2, ∴n==2k-1. 三、解答題 11.若n為大于1的自然數(shù),求證:+…+.[來(lái)源:] 解:(1)當(dāng)n=2時(shí),. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)不等式成立, 即+…+, 那么當(dāng)n=k+1時(shí), +…+ =+…+ = > =. 這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立. 由(1)(2)可知,原不等式對(duì)任意大于1的自然數(shù)都成立. 12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1,n=1,2,3,…. (1)求a1,a2; (2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,并給出嚴(yán)格的證明. 解:(1)當(dāng)n=1時(shí),x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1, 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=. 當(dāng)n=2時(shí),x2-a2x-a2=0有一根為S2-1=a2-, 于是-a2-a2=0,解得a2=. (2)由題設(shè)知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 即-2Sn+1-anSn=0. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1, 代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.(*) 由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=. 由(*)式可得S3=. 由此猜想Sn=,n=1,2,3,…. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論. ①n=1時(shí)已知結(jié)論成立. ②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立,即Sk=, 當(dāng)n=k+1時(shí),由(*)得Sk+1=,即Sk+1=, 故n=k+1時(shí)結(jié)論也成立. 綜上,由①②可知Sn=對(duì)所有正整數(shù)n都成立.[來(lái)源:]